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文档简介
福建省“超级全能生”2024届全国高三模拟考(一)全国卷数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设,随机变量的分布列是01则当在内增大时,()A.减小,减小 B.减小,增大C.增大,减小 D.增大,增大2.若双曲线的离心率为,则双曲线的焦距为()A. B. C.6 D.83.在区间上随机取一个数,使得成立的概率为等差数列的公差,且,若,则的最小值为()A.8 B.9 C.10 D.114.数学中的数形结合,也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,曲线恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论:①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2;③曲线C围成区域的面积大于;④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④5.若双曲线:()的一个焦点为,过点的直线与双曲线交于、两点,且的中点为,则的方程为()A. B. C. D.6.已知函数.设,若对任意不相等的正数,,恒有,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.7.已知双曲线的实轴长为,离心率为,、分别为双曲线的左、右焦点,点在双曲线上运动,若为锐角三角形,则的取值范围是()A. B. C. D.8.已知函数,,当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为()A. B. C. D.9.盒子中有编号为1,2,3,4,5,6,7的7个相同的球,从中任取3个编号不同的球,则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是()A. B. C. D.10.设,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11.当时,函数的图象大致是()A. B.C. D.12.已知向量,,则与的夹角为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数恰好有3个不同的零点,则实数的取值范围为____14.由于受到网络电商的冲击,某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响,承受了一定的经济损失,现将地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示,估算月经济损失的平均数为,中位数为n,则_________.15.若双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为______.16.已知函数的图象在处的切线斜率为,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图在四边形中,,,为中点,.(1)求;(2)若,求面积的最大值.18.(12分)设数列是等比数列,,已知,(1)求数列的首项和公比;(2)求数列的通项公式.19.(12分)如图,点是以为直径的圆上异于、的一点,直角梯形所在平面与圆所在平面垂直,且,.(1)证明:平面;(2)求点到平面的距离.20.(12分)某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验,并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据,且作了一定的数据处理(如下表),得到了散点图(如下图).表中,.(1)根据散点图判断,与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型?(不必说明理由)(2)根据判断结果和表中数据,建立关于的回归方程;(3)若单位时间内煤气输出量与旋转的弧度数成正比,那么,利用第(2)问求得的回归方程知为多少时,烧开一壶水最省煤气?附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为,21.(12分)已知抛物线,过点的直线交抛物线于两点,坐标原点为,.(1)求抛物线的方程;(2)当以为直径的圆与轴相切时,求直线的方程.22.(10分)已知函数,.(1)若曲线在点处的切线方程为,求,;(2)当时,,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】
,,判断其在内的单调性即可.【题目详解】解:根据题意在内递增,,是以为对称轴,开口向下的抛物线,所以在上单调递减,故选:C.【题目点拨】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差,属于中档题.2、A【解题分析】
依题意可得,再根据离心率求出,即可求出,从而得解;【题目详解】解:∵双曲线的离心率为,所以,∴,∴,双曲线的焦距为.故选:A【题目点拨】本题考查双曲线的简单几何性质,属于基础题.3、D【解题分析】
由题意,本题符合几何概型,只要求出区间的长度以及使不等式成立的的范围区间长度,利用几何概型公式可得概率,即等差数列的公差,利用条件,求得,从而求得,解不等式求得结果.【题目详解】由题意,本题符合几何概型,区间长度为6,使得成立的的范围为,区间长度为2,故使得成立的概率为,又,,,令,则有,故的最小值为11,故选:D.【题目点拨】该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题,涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式,等差数列的通项公式,属于基础题目.4、B【解题分析】
利用基本不等式得,可判断②;和联立解得可判断①③;由图可判断④.【题目详解】,解得(当且仅当时取等号),则②正确;将和联立,解得,即圆与曲线C相切于点,,,,则①和③都错误;由,得④正确.故选:B.【题目点拨】本题考查曲线与方程的应用,根据方程,判断曲线的性质及结论,考查学生逻辑推理能力,是一道有一定难度的题.5、D【解题分析】
求出直线的斜率和方程,代入双曲线的方程,运用韦达定理和中点坐标公式,结合焦点的坐标,可得的方程组,求得的值,即可得到答案.【题目详解】由题意,直线的斜率为,可得直线的方程为,把直线的方程代入双曲线,可得,设,则,由的中点为,可得,解答,又由,即,解得,所以双曲线的标准方程为.故选:D.【题目点拨】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解,其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组,合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.6、D【解题分析】
求解的导函数,研究其单调性,对任意不相等的正数,构造新函数,讨论其单调性即可求解.【题目详解】的定义域为,,当时,,故在单调递减;不妨设,而,知在单调递减,从而对任意、,恒有,即,,,令,则,原不等式等价于在单调递减,即,从而,因为,所以实数a的取值范围是故选:D.【题目点拨】此题考查含参函数研究单调性问题,根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题,属于一般性题目.7、A【解题分析】
由已知先确定出双曲线方程为,再分别找到为直角三角形的两种情况,最后再结合即可解决.【题目详解】由已知可得,,所以,从而双曲线方程为,不妨设点在双曲线右支上运动,则,当时,此时,所以,,所以;当轴时,,所以,又为锐角三角形,所以.故选:A.【题目点拨】本题考查双曲线的性质及其应用,本题的关键是找到为锐角三角形的临界情况,即为直角三角形,是一道中档题.8、D【解题分析】
由变形可得,可知函数在为增函数,由恒成立,求解参数即可求得取值范围.【题目详解】,即函数在时是单调增函数.则恒成立..令,则时,单调递减,时单调递增.故选:D.【题目点拨】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.9、B【解题分析】
由题意,取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有,所有的情况有种,由古典概型的概率公式即得解.【题目详解】由题意,取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有,所有的情况有种由古典概型,取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为:故选:B【题目点拨】本题考查了排列组合在古典概型中的应用,考查了学生综合分析,概念理解,数学运算的能力,属于中档题.10、B【解题分析】
先解不等式化简两个条件,利用集合法判断充分必要条件即可【题目详解】解不等式可得,解绝对值不等式可得,由于为的子集,据此可知“”是“”的必要不充分条件.故选:B【题目点拨】本题考查了必要不充分条件的判定,考查了学生数学运算,逻辑推理能力,属于基础题.11、B【解题分析】由,解得,即或,函数有两个零点,,不正确,设,则,由,解得或,由,解得:,即是函数的一个极大值点,不成立,排除,故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性,导数的应用以及数学化归思想,属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意选项一一排除.12、B【解题分析】
由已知向量的坐标,利用平面向量的夹角公式,直接可求出结果.【题目详解】解:由题意得,设与的夹角为,,由于向量夹角范围为:,∴.故选:B.【题目点拨】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角,注意向量夹角的范围.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】
恰好有3个不同的零点恰有三个根,然后转化成求函数值域即可.【题目详解】解:恰好有3个不同的零点恰有三个根,令,,在递增;,递减,递增,时,在有一个零点,在有2个零点;故答案为:.【题目点拨】已知函数的零点个数求参数的取值范围是重点也是难点,这类题一般用分离参数的方法,中档题.14、360【解题分析】
先计算第一块小矩形的面积,第二块小矩形的面积,,面积和超过0.5,所以中位数在第二块求解,然后再求得平均数作差即可.【题目详解】第一块小矩形的面积,第二块小矩形的面积,故;而,故.故答案为:360.【题目点拨】本题考查频率分布直方图、样本的数字特征,考查运算求解能力以及数形结合思想,属于基础题.15、【解题分析】
利用,得到的关系式,然后代入双曲线的渐近线方程即可求解.【题目详解】因为双曲线的离心率为,所以,即,因为双曲线的渐近线方程为,所以双曲线的渐近线方程为.故答案为:【题目点拨】本题考查双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键;属于基础题.16、【解题分析】
先对函数f(x)求导,再根据图象在(0,f(0))处切线的斜率为﹣4,得f′(0)=﹣4,由此可求a的值.【题目详解】由函数得,∵函数f(x)的图象在(0,f(0))处切线的斜率为﹣4,,.故答案为4【题目点拨】本题考查了根据曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)1;(2)【解题分析】
(1),在和中分别运用余弦定理可表示出,运用算两次的思想即可求得,进而求出;(2)在中,根据余弦定理和基本不等式,可求得,再由三角形的面积公式以及正弦函数的有界性,求出的面积的最大值.【题目详解】(1)由题设,则在和中由余弦定理得:,即解得,∴(2)在中由余弦定理得,即,∴所以面积的最大值为,此时.【题目点拨】本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用,以及三角形面积公式的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于中档题.18、(1)(2)【解题分析】
本题主要考查了等比数列的通项公式的求解,数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点,要注意掌握.(1)设等比数列{an}的公比为q,则q+q2=6,解方程可求q(2)由(1)可求an=a1•qn-1=2n-1,结合数列的特点,考虑利用错位相减可求数列的和解:(1)(2),两式相减:19、(1)见解析;(2)【解题分析】
(1)取的中点,证明,则平面平面,则可证平面.(2)利用,是平面的高,容易求.,再求,则点到平面的距离可求.【题目详解】解:(1)如图:取的中点,连接、.在中,是的中点,是的中点,平面平面,故平面在直角梯形中,,且,∴四边形是平行四边形,,同理平面又,故平面平面,又平面平面.(2)是圆的直径,点是圆上异于、的一点,又∵平面平面,平面平面平面,可得是三棱锥的高线.在直角梯形中,.设到平面的距离为,则,即由已知得,由余弦定理易知:,则解得,即点到平面的距离为故答案为:.【题目点拨】考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法,是中档题.20、(1)选取更合适;(2);(3)时,煤气用量最小.【解题分析】
(1)根据散点图的特点,可得更适合;(2)先建立关于的回归方程,再得出关于的回归方程;(3)写出函数关系,利用基本不等式得出最小值及其成立的条件.【题目详解】(1)选取更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型;(2)由公式可得:,,所以所求回归直线方程为:;(3)根据题意,设,则煤气用量,当且仅当时,等号成立,即时,煤气用量最小.【题目点拨】此题考查根据题意求回归方程,利用线性回归方程的求法得解,结合基本不等式求最值.21、(1);(2)或【解题分析】试题分析:本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题等基础知识,同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力以及数形结合思想.第一问,设出直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理得到y1+y2,y1y2,,代入到中解出P的值;第二问,结合第一问的过程,利用两种方法求出的长,联立解出m的值,从而得到直线的方程.试题解析:(Ⅰ)设l:x=my-2,代入y2=2px,得y2-2pmy+4p=1.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=
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