新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题5解析几何第2讲圆锥曲线的方程和性质核心考点2圆锥曲线的几何性质教师用书

核心考点2圆锥曲线的几何性质核心知识·精归纳1.椭圆、双曲线中a，b，c，e之间的关系(1)在椭圆中，a2＝b2＋c2；离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2)).(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).2.双曲线的渐近线方程与焦点坐标(1)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，焦点坐标为F1(－c,0)和F2(c,0)．(2)双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x，焦点坐标为F1(0，－c，)和F2(0，c)．3.抛物线的焦点坐标与准线方程(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程x＝－eq\f(p,2).(2)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，准线方程y＝－eq\f(p,2).多维题组·明技法角度1：离心率问题1.(2023·邵阳二模)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.在椭圆上存在点P使得eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，则椭圆离心率的取值范围是(B)A．[eq\r(2)－1,1) B．(eq\r(2)－1,1)C．(0，eq\r(2)－1) D．(0，eq\r(2)－1]【解析】∵eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，∴在△PF1F2中，由正弦定理知eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(|PF2|,|PF1|)，∵eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，∴eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(a,c)＝eq\f(1,e)，即|PF1|＝e|PF2|①.又∵P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a，将①代入得|PF2|＝eq\f(2a,e＋1)∈(a－c，a＋c)，同除以a得，1－e＜eq\f(2,e＋1)＜1＋e，得eq\r(2)－1＜e＜1.故选B.2.(2023·金东区校级三模)已知F1，F2分别为双曲线：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq\f(1,4)，则双曲线的离心率为(B)A.eq\f(17,8) B．eq\f(17,15)C．eq\f(15,8) D．eq\f(8,5)【解析】PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq\f(1,4)，则|PF1|＝4|PF2|，△PF1F2是直角三角形，O是F1F2的中点，又|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝c，且点P在渐近线y＝eq\f(a,b)x上，如图，点P在第三象限，则点P坐标为(－b，－a)，∵|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|2＝16|PF2|2，∴b2＋(－a－c)2＝16b2＋16(－a＋c)2，又b2＝c2－a2，∴15c2－17ac＝0，则e＝eq\f(17,15).故选B.角度2：双曲线渐近线问题3.(2023·河南三模)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，M，N，P是双曲线C上的点，其中线段MN的中点恰为坐标原点O，且点M在第一象限，若eq\o(NP,\s\up6(→))＝3eq\o(NF,\s\up6(→))，∠OFM＝∠OMF，则双曲线C的渐近线方程为(B)A．y＝±eq\f(4,3)x B．y＝±eq\f(2\r(2),3)xC．y＝±eq\f(3\r(2),4)x D．y＝±eq\f(3,4)x【解析】设双曲线C的右焦点为F′，连接PF′，MF′，NF′，∵∠OFM＝∠OMF，∴|OM|＝|OF|＝|OF′|，∴MF′⊥MF，又O为MN中点，∴四边形MFNF′为矩形；设|NF|＝x，则|PF|＝2x，|PN|＝3x，∴|NF′|＝2a＋x，|PF′|＝2a＋2x，∵|PN|2＋|NF′|2＝|PF′|2，∴9x2＋(2a＋x)2＝(2a＋2x)2，解得：x＝eq\f(2,3)a，又|NF|2＋|NF′|2＝|FF′|2，∴eq\f(4,9)a2＋eq\f(64,9)a2＝4c2，即eq\f(68,9)a2＝4a2＋4b2，整理可得：eq\f(b,a)＝eq\f(2\r(2),3)，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(2\r(2),3)x.故选B.4.(2023·安庆二模)已知双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1，(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，过x轴上方的焦点F1的直线与双曲线上支交于M，N两点，以NF2为直径的圆经过点M，若|MF2|，|MN|，|NF2|成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(6),3)x.【解析】如图所示：由双曲线的定义|MF2|＝2a＋|MF1|，|NF2|＝2a＋|NF1|，所以|MF2|＋|NF2|＝4a＋|MF1|＋|NF1|＝4a＋|MN|.因为|MF2|，|MN|，|NF2|成等差数列，所以|MF2|＋|NF2|＝2|MN|，即4a＋|MN|＝2|MN|，|MN|＝4a.令|MF1|＝x，在△MNF2中，MF2⊥MF1，所以|MF2|2＋|MN|2＝|NF2|2，即(2a＋x)2＋(4a)2＝(6a－x)2，解得x＝a，即|MF1|＝a，|MF2|＝3a，又在Rt△F1MF2中，a2＋(3a)2＝(2c)2,2c2＝5a2，又c2＝a2＋b2，所以2b2＝3a2，即eq\f(a,b)＝eq\f(\r(6),3)，y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\f(\r(6),3)x.角度3：抛物线的焦点弦问题5.(2023·贵州模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若A(1,2eq\r(2))，则|AB|＝(A)A．9 B．7C．6 D．5【解析】由题意直线l的斜率必存在，抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，设直线l：y＝k(x－2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝8x，))得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(4k2＋8,k2)，x1x2＝4，又A(1，2eq\r(2))，则x1＝1，x2＝4，k2＝8，|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝3×3＝9.故选A.6.(2023·茂南区校级三模)已知O为坐标原点，直线l过抛物线D：y2＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线D及其准线依次交于A，B，C三点(其中点B在A，C之间)，若|AF|＝4，|BC|＝2|BF|.则△OAB的面积是eq\f(4\r(3),3).【解析】过点B作BM垂直于准线，垂足为M，过点A作AN垂直于准线，垂足为N，设准线与x轴相交于点P，如图，则|BM|＝|BF|，|AN|＝|AF|＝4，在△MBC中，|BC|＝2|BF|，所以|BC|＝2|BM|，所以∠MCB＝30°，故在△ANC中，|AC|＝2|AN|＝8，所以|AC|＝|AF|＋|CF|＝8，则|CF|＝8－|AF|＝4.又CN⊥x轴，∠MCB＝30°，所以|PF|＝eq\f(1,2)|CF|＝2，又抛物线D：y2＝2px，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以|PF|＝eq\f(p,2)＋eq\f(p,2)＝p＝2，所以抛物线D：y2＝4x，点F(1,0)．因为∠MCB＝30°，所以直线AB的斜率k＝－eq\r(3)，则直线AB：y＝－eq\r(3)(x－1)，与抛物线方程联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x－1，,y2＝4x，))消y并化简得3x2－10x＋3＝0，易得Δ＞0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(10,3)，则|AB|＝|BF|＋|AF|＝|BM|＋|AN|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p＝eq\f(10,3)＋2＝eq\f(16,3)，又直线AB：y＝－eq\r(3)(x－1)，可化为eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0，则点O到直线AB的距离d＝eq\f(|－\r(3)|,\r(3＋1))＝eq\f(\r(3),2)，所以S△OAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(16,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4\r(3),3).方法技巧·精提炼1.圆锥曲线中有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来解决．2.涉及双曲线渐近线的常用结论(1)求双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，得y＝±eq\f(b,a)x，或令eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝0，得y＝±eq\f(a,b)x.(2)已知渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称．3.抛物线焦点弦的4个性质设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则性质1：x1·x2＝eq\f(p2,4).性质2：y1·y2＝－p2.性质3：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角)．性质4：eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．加固训练·促提高1.(2023·船营区校级模拟)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－2,2)，0)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)－2,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)－1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1))【解析】如图所示，∠B1PA2是eq\o(B2A2,\s\up6(→))与eq\o(F2B1,\s\up6(→))的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则eq\o(B2A2,\s\up6(→))＝(a，－b)，eq\o(F2B1,\s\up6(→))＝(－c，－b)；∵向量的夹角为钝角时，eq\o(B2A2,\s\up6(→))·eq\o(F2B1,\s\up6(→))<0，∴－ac＋b2＜0，又b2＝a2－c2，∴a2－ac－c2＜0；两边除以a2得1－e－e2＜0，即e2＋e－1＞0；解得e＜eq\f(－1－\r(5),2)，或e＞eq\f(－1＋\r(5),2)；又∵0＜e＜1，∴eq\f(－1＋\r(5),2)＜e＜1；∴椭圆离心率e的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(5),2)，1)).故选D.2.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(D)A.eq\f(3\r(3),4) B．eq\f(9\r(3),8)C．eq\f(63,32) D．eq\f(9,4)【解析】由2p＝3，及|AB|＝eq\f(2p,sin2α)，得|AB|＝eq\f(2p,sin2α)＝eq\f(3,sin230°)＝12.又原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin30°＝eq\f(3,8)，故S△OAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×12×eq\f(3,8)＝eq\