新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题4立体几何第1讲空间几何体核心考点1基本立体图形教师用书

第1讲空间几何体高频考点高考预测空间几何体的结构特征、直观图继续在选择填空中考查空间几何体的面积以及体积的求法，注意数学文化思想的渗透考查．与几何体的表面积、体积有关的最值问题是命题的热点.空间几何体的表面积与体积的求法与球有关的切、接问题1.(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若eq\f(S甲,S乙)＝2，则eq\f(V甲,V乙)＝(C)A.eq\r(5) B．2eq\r(2)C．eq\r(10) D．eq\f(5\r(10),4)【解析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，则eq\f(S甲,S乙)＝eq\f(πr1l,πr2l)＝eq\f(r1,r2)＝2，所以r1＝2r2，又eq\f(2πr1,l)＋eq\f(2πr2,l)＝2π，则eq\f(r1＋r2,l)＝1，所以r1＝eq\f(2,3)l，r2＝eq\f(1,3)l，所以甲圆锥的高h1＝eq\r(l2－\f(4,9)l2)＝eq\f(\r(5),3)l，乙圆锥的高h2＝eq\r(l2－\f(1,9)l2)＝eq\f(2\r(2),3)l，所以eq\f(V甲,V乙)＝eq\f(\f(1,3)πr\o\al(2,1)h1,\f(1,3)πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(\f(4,9)l2×\f(\r(5),3)l,\f(1,9)l2×\f(2\r(2),3)l)＝eq\r(10).故选C.2.(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为(A)A.eq\f(\r(2),12) B．eq\f(\r(3),12)C．eq\f(\r(2),4) D．eq\f(\r(3),4)【解析】因为AC⊥BC，AC＝BC＝1，所以底面ABC为等腰直角三角形，所以△ABC所在的截面圆的圆心O1为斜边AB的中点，所以OO1⊥平面ABC，在Rt△ABC中，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(2)，则AO1＝eq\f(\r(2),2)，在Rt△AOO1中，OO1＝eq\r(OA2－AO\o\al(2,1))＝eq\f(\r(2),2)，故三棱锥O－ABC的体积为V＝eq\f(1,3)·S△ABC·OO1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),12).故选A.3.(2021·全国新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为eq\r(2)，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(B)A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)【解析】由题意，设母线长为l，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有2π·eq\r(2)＝π·l，解得l＝2eq\r(2)，所以该圆锥的母线长为2eq\r(2).故选B.4.(2022·全国新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(eq\r(7)≈2.65)(C)A．1.0×109m3 B．1.2×109m3C．1.4×109m3 D．1.6×109m3【解析】依题意可知棱台的高为MN＝157.5－148.5＝9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V.棱台上底面积S＝140.0km2＝140×106m2，下底面积S′＝180.0km2＝180×106m2，∴V＝eq\f(1,3)heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S＋S′＋\r(SS′)))＝eq\f(1,3)×9×(140×106＋180×106＋eq\r(140×180×1012))＝3×(320＋60eq\r(7))×106≈(96＋18×2.65)×107＝1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C.5.(多选)(2023·全国新课标Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(ABD)A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体【解析】对于A，棱长为1的正方体内切球的直径为1＞0.99，选项A正确；对于B，如图，正方体内部最大的正四面体D－A1BC1的棱长为eq\r(12＋12)＝eq\r(2)>1.4，选项B正确；对于C，棱长为1的正方体的对角线为eq\r(3)<1.8，选项C错误；对于D，如图，六边形EFGHIJ为正六边形，E，F，G，H，I，J为棱的中点，高为0.01m可忽略不计，看作直径为1.2m的平面圆，六边形EFGHIJ边长为eq\f(\r(2),2)m，∠GFH＝∠GHF＝30°，所以FH＝eq\r(3)FG＝eq\r(3)GH＝eq\f(\r(6),2)m，故六边形EFGHIJ内切圆直径为eq\f(\r(6),2)m，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＝eq\f(3,2)>(1.2)2＝1.44，选项D正确．故选ABD.6.(多选)(2023·全国新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则(AC)A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为4eq\r(3)πC．AC＝2eq\r(2)D．△PAC的面积为eq\r(3)【解析】取AC中点D，则OD⊥AC，PD⊥AC，由二面角的定义可知，二面角P－AC－O的平面角即为∠PDO＝45°，对于A，△PAB中，由于PA＝PB＝2，∠APB＝120°，则PO＝1，AO＝eq\r(3)，则OD＝1，V＝eq\f(1,3)·3π·1＝π，选项A正确；对于B，S侧＝π×eq\r(3)×2＝2eq\r(3)π，选项B错误；对于C，AC＝2eq\r(3－1)＝2eq\r(2)eq\r()，选项C正确；对于D，PD＝eq\r(2)，S△PAC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(2)＝2，选项D错误．故选AC.7.(2023·全国新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，则该棱台的体积为eq\f(7\r(6),6).【解析】如图，设正四棱台ABCD－A1B1C1D1的上下底面中心分别为M，N，过A1作A1H⊥AC，垂足为H，由题意易知A1M＝HN＝eq\f(\r(2),2)，又AN＝eq\r(2)，∴AH＝AN－HN＝eq\f(\r(2),2)，又AA1＝eq\r(2)，∴A1H＝MN＝eq\f(\r(6),2)，∴该四棱台的体积为eq\f(1,3)×(1＋4＋eq\r(1×4))×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(7\r(6),6).故答案为eq\f(7\r(6),6).8.(2023·全国新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为_28__.【解析】如图所示，根据题意易知△SO1A1∽△SOA，∴eq\f(SO1,SO)＝eq\f(O1A1,OA)＝eq\f(\r(2),2\r(2))＝eq\f(1,2)，又SO1＝3，∴SO＝6，∴OO1＝3，又上下底面正方形边长分别为2,4，∴所得棱台的体积为eq\f(1,3)×(4＋16＋eq\r(4×16))×3＝28.故答案为28.核心考点1基本立体图形核心知识·精归纳1.基本立体图形的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相_平行__且_全等__多边形互相_平行__且_相似__侧棱互相_平行__且_相等__相交于_一点__，但不一定相等延长线交于_一点__侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称图形母线轴截面旋转图形圆柱互相平行且相等，_垂直__于底面全等的矩形矩形圆锥长度相等且相交于_一点__全等的等腰三角形直角三角形圆台延长线交于_一点__全等的等腰梯形直角梯形球圆半圆形2.立体图形的直观图斜二测画法直观图面积为原图形面积的eq\f(\r(2),4).多维题组·明技法角度1：基本立体图形的结构1.(多选)给出下列命题，其中真命题是(BCD)A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直C．在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱D．存在每个面都是直角三角形的四面体【解析】A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；C正确，因为过相对侧棱的两个截面的交线平行于侧棱，又两个截面都垂直于底面，故该四棱柱为直四棱柱；D正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．2.下列命题正确的是(D)A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线B．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥C．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等D．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台【解析】A不一定，只有当这两点的连线垂直于底面时才是母线；B不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；C错误，棱台的上、下底面相似且对应边互相平行．棱台的各侧棱延长线交于一点，但是这些侧棱的长不一定相等．角度2：立体图形的直观图3.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则△ABC是(C)A．钝角三角形B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【解析】将其还原成原图，设A′C′＝2，则可得OB＝2O′B′＝1，AC＝A′C′＝2，从而AB＝BC＝eq\r(2)，所以AB2＋BC2＝AC2，即AB⊥BC，故△ABC是等腰直角三角形．故选C.4．如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为45°；腰和上底均为1，下底为eq\r(2)＋1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为2＋eq\r(2).【解析】∵平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，∴平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，∵梯形的下底边长为1＋eq\r(2)，∴原平面图形的面积S＝eq\f(1＋1＋\r(2),2)×2＝2＋eq\r(2).方法技巧·精提炼1.空间几何体结构特征的判断技巧紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定，说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．2.斜二测画法的技巧(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形．加固训练·促提高1.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是(C)A．30° B．45°C．60° D．90°【解析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，依题意可得2r＝l，所以圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的顶角为60°.2.在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所