2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市高二（上）期末数学试卷

2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）圆x2+y2+2x﹣4y﹣6＝0的圆心和半径分别是（）A．（﹣1，﹣2），11 B．（﹣1，2），11 C．（﹣1，﹣2），11 D．（﹣1，2），112．（5分）如果AB＞0且BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE→A．a2 B．12a2 C．144．（5分）已知直线l：A．直线l的倾斜角为5π6B．直线l的斜率为3 C．直线l的一个法向量为u→D．直线l的一个方向向量为v5．（5分）如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线y2a2-x2b2=1(aA．53 B．54 C．43 6．（5分）若直线y＝kx+1与圆x2+y2＝1相交于A，B两点，且∠AOB＝60°（其中O为原点），则k的值为（）A．-33或33 B．33 C．-2或7．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MA⊥MB，则k＝（）A．2 B．22 C．12 D8．（5分）设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足FA→•FB→=0，|FBA．[22，53] B．[53，1） C．[22，3-1] D．[二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知双曲线C：x2A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4 C．离心率为3 D．渐近线方程为x（多选）10．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1=an2A．{an}是递减数列 B．an≥n C．a2022D．1（多选）11．（5分）已知A（﹣1，0），B（1，0），直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为k1，k2则（）A．当k1⋅k2＝﹣2时，P点的轨迹为除去A，B两点的椭圆 B．当k1⋅k2＝2时，P点的轨迹为除去A，B两点的双曲线 C．当k1﹣k2＝2时，P点的轨迹为抛物线 D．当k1k2（多选）12．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1（含边界）内有一动点P，则（）A．若B1P→B．若A1P→C．若B1P→D．若A1E→=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若向量u→=(1，2，2)，v→=(2，-114．（5分）数列{an}中，an+1＝3an.前99项的和S99＝52，则a3+a6+a9+⋯+a99＝．15．（5分）已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y﹣6）2＝1上，则|MA|+|MF|的最小值是．16．（5分）已知A（2，0）、B（8，0）、C（4，2），且动点P满足|PA||PB|=12，则2|PC|+|PB|取得最小值时，点P的坐标是四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知向量a→=（1，5，﹣1），b→=（﹣2，（1）若（ka→+b→）∥（a→（2）以坐标原点O为起点作OA→=a→，OB→=b18．（12分）已知圆C过点M(-4，5)，（1）求圆C的方程；（2）设直线l：mx﹣y+1＝0与圆C相交于A，B两点，若MA⊥MB，求实数m的值．19．（12分）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；（2）若二面角A﹣EF﹣B的大小为23π，求直线AB与平面20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn+1＝3Sn+1（n∈N*）；等差数列{bn}前n项和为Tn满足T7＝49，b5＝9．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=bn[(-1)n-121．（12分）某团队开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图所示，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚8v0秒，其中v0（单位：米（1）以O为原点，以OB方向为x轴正方向，且以米为单位，建立平面直角坐标系，设机器鼠所在位置为点P，求点P的轨迹方程；（2）若游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？22．（12分）已知椭圆Ω：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，椭圆Ω截直线x＝1所得线段的长度为3．过M(3，0)作互相垂直的两条直线l1、l2，直线l1与椭圆Ω交于A、（1）求椭圆Ω的方程；（2）证明：直线EF恒过定点，并求出定点坐标；（3）求四边形ABCD面积S的最小值．

2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）圆x2+y2+2x﹣4y﹣6＝0的圆心和半径分别是（）A．（﹣1，﹣2），11 B．（﹣1，2），11 C．（﹣1，﹣2），11 D．（﹣1，2），11【解答】解：将圆x2+y2+2x﹣4y﹣6＝0化成标准方程，得（x+1）2+（y﹣2）2＝11，∴圆心的坐标是（﹣1，2），半径r=11故选：D．2．（5分）如果AB＞0且BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：因为AB＞0且BC＜0，由Ax+By+C＝0可得y=-AB则-AB＜0，故直线Ax+By+C＝0经过一二四象限．故选：C．3．（5分）正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE→A．a2 B．12a2 C．14【解答】解：如图所示，AF→=1∴→=14（a2cos60°+a2=1故选：C．4．（5分）已知直线l：A．直线l的倾斜角为5π6B．直线l的斜率为3 C．直线l的一个法向量为u→D．直线l的一个方向向量为v【解答】解：因为直线l：3x+y-2=0的斜率故直线的倾斜角为2π3，A，B则直线的一个方向向量为v→=(-3因为1×(-3)+所以u→=（1，3）不是直线的一个法向量，故选：D．5．（5分）如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线y2a2-x2b2=1(aA．53 B．54 C．43 【解答】解：由上焦点F到下顶点的距离为18，得a+c＝18①，点F（0，c）到渐近线y=abx，即ax﹣by＝0又c2＝a2+b2③，联立①②③解得：a＝8，c＝10，b＝6，所以e=c故选：B．6．（5分）若直线y＝kx+1与圆x2+y2＝1相交于A，B两点，且∠AOB＝60°（其中O为原点），则k的值为（）A．-33或33 B．33 C．-2或【解答】解：∵y＝kx+1与圆x2+y2＝1相交于点（0，1），设A（0，1），又∵∠AOB＝60°，∴圆心（0，0）到直线的距离d=1解得，k＝±33故选：A．7．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MA⊥MB，则k＝（）A．2 B．22 C．12 D【解答】解：如图，取AB的中点N，分别过A，B作准线l的垂线垂足点分别为E，F，则N到准线的距离d=12（|AE|+|BF|）=12（|AF|+|BF|）=∴以AB为直径的圆与准线l相切，又MA⊥MB，∴切点为M，又M为（﹣2，2），∴N点纵坐标为2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝2yN＝4，又点A，B在抛物线C：y2＝8x上，∴y12=8∴k=y1故选：D．8．（5分）设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足FA→•FB→=0，|FBA．[22，53] B．[53，1） C．[22，3-1] D．[【解答】解：作出椭圆的左焦点F'，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF'为平行四边形，又FA→•FB→即FA⊥FB，故平行四边形AFBF'为矩形，∴|AB|＝|FF'|＝2c，设AF'＝n，AF＝m，则在直角三角形ABF中，m+n＝2a，m2+n2＝4c2，①得mn＝2b2，②①÷②得mn+nm=2c又由|FB|≤|FA|≤2|FB|，得mn=t∈[1，∴t+1t=2c2b2∈[2，5即1≤c2b2即45≤即45≤a2则95≤即12≤c2得22≤则椭圆的离心率的取值范围是[22，53故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知双曲线C：x2A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4 C．离心率为3 D．渐近线方程为x【解答】解：双曲线C：x23-y2=1的焦点在x轴上，且b＝1，a=3，对于A，实轴长是23，虚轴长是2，故错；对于B，焦距为2c＝4，故正确；对于C，离心率e=c对于D，渐近线方程为y=±ba故选：BD．（多选）10．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1=an2A．{an}是递减数列 B．an≥n C．a2022D．1【解答】解：对A选项，∵an+1-an=an2≥0，又当an＝0时，与a1＝∴该数列递增数列，∴A选项错误；对B选项，∵an根据A知：an2≥1，即an-12+an-2对C选项，∵an=ana∴an=anan-1×∴a2022＞2对D选项，由an+1=a即1a∴1a又1an+1＞∴1a1+1故选：BD．（多选）11．（5分）已知A（﹣1，0），B（1，0），直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为k1，k2则（）A．当k1⋅k2＝﹣2时，P点的轨迹为除去A，B两点的椭圆 B．当k1⋅k2＝2时，P点的轨迹为除去A，B两点的双曲线 C．当k1﹣k2＝2时，P点的轨迹为抛物线 D．当k1k2【解答】解：设P的坐标（x，y），A中，当k1⋅k2＝﹣2时，即yx+1•yx-1=-2（x≠±1），整理可得：x2+y22=1，（x≠±1），所以PB中，当k1⋅k2＝2时，即yx+1•yx-1=2，（x≠±1），整理可得：x2-y22=1，（x≠±1），所以PC中，当k1﹣k2＝2时，即yx+1-yx-1=2，（x≠±1），整理可得x2＝﹣y+1，（x≠±1），所以P的轨迹为除去AD中，k1k2=2，即k1＝2k2，k2≠0，即yx+1=2•yx-1=2，（x≠±1，且y≠0），整理可得x＝﹣3，（y≠0），所以P的轨迹为去掉（﹣故选：AB．（多选）12．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1（含边界）内有一动点P，则（）A．若B1P→B．若A1P→C．若B1P→D．若A1E→=【解答】解：对于A，B1则B1P→=（1﹣n）B1B→+nB1A1→=B1从而可知点P在线段BA1上，由于B1D1不垂直侧面ABB1A1，故B1P→对于B，易证A1C1⊥B1D，BC1⊥B1D，从而可知B1D⊥平面A1BC1，由A1P→=λA1B→(0＜λ＜1)，可知点P在线段BA1上，因此对于C，B1P→⋅A1E→==14×23B1A→=16（B1B→=16（B1B→•A1B1→+2=16（0+0﹣4+0）=-对于D，设B1P→=λ所以B1P→•A1E→==12（λB1B→+μ=12（λB1B→•A1B1→+2λB1B=12（0+0﹣4μ+0）＝﹣2μ＝﹣1，得μ=12，从而可知故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若向量u→=(1，2，2)，v→=(2，-1【解答】解：向量u→=(1，∴cos＜u则u→与v→夹角的正弦值为：故答案为：65914．（5分）数列{an}中，an+1＝3an.前99项的和S99＝52，则a3+a6+a9+⋯+a99＝36．【解答】解：∵an+1＝3an，∴数列{an}为等比数列，且q＝3，∵前99项的和S99＝（a1+a4+•••+a97）+（a2+a5+•••+a98）+（a3+a6+•••+a99）＝（1q2+1q+1）（a3+a6+a9+⋯+a99）=139（a3+a6+a9∴a3+a6+a9+⋯+a99＝36，故答案为：36．15．（5分）已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y﹣6）2＝1上，则|MA|+|MF|的最小值是6．【解答】解：抛物线x2＝4y的焦点F（0，1），准线方程为y＝﹣1，如图所示：利用抛物线的定义知：|MP|＝|MF|，当A，M，P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小．即CM⊥x轴，此时|MA|+|MF|＝|AP|＝|CP|﹣1＝7﹣1＝6，故答案为：6．16．（5分）已知A（2，0）、B（8，0）、C（4，2），且动点P满足|PA||PB|=12，则2|PC|+|PB|取得最小值时，点P的坐标是【解答】解：已知A（2，0）、B（8，0）、C（4，2），且动点P满足|PA||PB|设点P（x，y），所以(x-2)2+(y-0)2(x-8)2+(y-0由于2|PC|+|PB|＝2|PC|+2|PA|＝2（|PC|+|PA|）；所以当A、P、C三点共线时，即点P在直线AC上时，2|PC|+|PB|取得最小值；如图所示：直线AC的方程为y＝x﹣2；由x2+y2=16由于点P在线段AC上，故点P(7故答案为：(7四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知向量a→=（1，5，﹣1），b→=（﹣2，（1）若（ka→+b→）∥（a→（2）以坐标原点O为起点作OA→=a→，OB→=b【解答】解：（1）kaa→∵(ka∴k-27=5k+3-4=-k+5-16，即﹣4解得k=-（2）由条件知A（1，5，﹣1），B（﹣2，3，5），∴AO→AO→故AO→在AB→上的投影为|AO∴点O到直线AB的距离d=|18．（12分）已知圆C过点M(-4，5)，（1）求圆C的方程；（2）设直线l：mx﹣y+1＝0与圆C相交于A，B两点，若MA⊥MB，求实数m的值．【解答】解：（1）设圆C的半径为r，圆心C（a，0），由题意得r2=(a+4∴圆C的方程为（x+2）2+y2＝9．（2）∵点M在圆上，且MA⊥MB，∴直线l过圆心C（﹣2，0），∴﹣2m﹣0+1＝0，解得m=119．（12分）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；（2）若二面角A﹣EF﹣B的大小为23π，求直线AB与平面【解答】证明：（1）取线段CF中点H，连接OH、GH，由图1可知，四边形EBCF是矩形，且CB＝2EB，∴O是线段BF与CE的中点，OH∥BC且OH=1在图1中AG∥BC且AG=12BC，EF∥BC所以在图2中，AG∥BC且AG=12BC，∴AG∥OH且AG∴四边形AOHG是平行四边形，则AO∥HG，由于AO⊄平面GCF，HG⊂平面GCF，∴AO∥平面GCF．解：（2）由图1，EF⊥AE，EF⊥BE，折起后在图2中仍有EF⊥AE，EF⊥BE，∴∠AEB即为二面角A﹣EF﹣B的平面角，∴∠AEB＝120°，以E为坐标原点，EB→，EF→分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系E﹣xyz如图，且设CB＝2EB＝2则B(2，∴FG→设平面GCF的一个法向量n→由n→⋅FC→=0n→⋅FG于是平面GCF的一个法向量n→∴cos〈∴直线AB与平面GCF所成角的正弦值为7720．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn+1＝3Sn+1（n∈N*）；等差数列{bn}前n项和为Tn满足T7＝49，b5＝9．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=bn[(-1)n-1【解答】解：（1）a1＝1且Sn+1＝3Sn+1（n∈N*），可得S2＝a1+a2＝3a1+1＝4，解得a2＝3，由Sn+1＝3Sn+1，可得Sn＝3Sn﹣1+1（n≥2），两式相减可得an+1＝Sn+1﹣Sn＝3Sn﹣3Sn﹣1＝3an，上式对n＝1也成立，所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则an＝3n﹣1；设等差数列{bn}的公差为d，由T7＝49，b5＝9，可得7b1+21d＝49，b1+4d＝9，解得b1＝1，d＝2，则bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）cn=bn[(-1)n-1⋅1an+an+1n＝（2n﹣1）•（-13）n﹣1设Rn＝1•1+3•（-13）+5•19+...+（2n﹣1）•（-1（-13）Rn＝1•（-13）+3•19+5•（-127）+...+（2两式相减可得43Rn＝1+2[-13+19+...+（-13）n﹣1]＝1+2•-13[1-(-13)n-1]1-(-1化简可得Rn=38+4n+18•（-设Mn=322-所以数列{cn}的前n项和为Rn+Mn=38+4n+18•（-1321．（12分）某团队开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图所示，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚8v0秒，其中v0（单位：米（1）以O为原点，以OB方向为x轴正方向，且以米为单位，建立平面直角坐标