2023年辽宁省丹东市第五中学中考数学一模试卷

2023年辽宁省丹东五中中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如果a与1互为相反数，那么a=(

)A.2 B.−2 C.1 D.−12.下列计算正确的是(

)A.(−a2b3)3=−a63.从上面看如图所示的几何体得到的平面图形是(

)A.

B.

C.

D.4.下列事件中，是必然事件的是(

)A.三根长度为2cm，2cm，4cm的木棒首尾顺次相接能摆成三角形

B.任意买一张电影票，座位号是偶数

C.打开电视机，任选一个频道，正在播新闻

D.太阳从东方升起5.若关于x的方程(m+1)x2−3x+2=0有两个实数根，则m=A.m<18 B.m<18且m≠−1

C.m≤16.如图，直线a//b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1=42°，则∠2的度数为(

)A.92°

B.102°

C.112°

D.114°7.初三(9)班拍合照时，最后一排10位同学的身高(单位：cm)分别为x1，x2，…x10，当他们站到一排高度相等的桌子上，头顶离地高度(单位：cm)分别为y1，y2A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC.分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF.以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH.若BC=8，则△AFH的周长为(

)A.8 B.12 C.15 D.169.如图，△ABC中，∠ABC=45°，BC=8，tan∠ACB=3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF.则AF的长为(

)A.3510

B.651010.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A(−2,0)和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB=2OC，则下列结论：

①a−bc>0；

②2b−4ac=1；

③a=14；

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为0.000052m.将0.000052用科学记数法表示为______．12.在一个不透明布袋里装有5个白球、3个红球和a个黄球，这些球除颜色不同外，其它没有任何区别.若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为13，则a等于______．13.因式分解：a2b−10ab+25b=______．14.函数的y=x+2x+1自变量x的取值范围是______15.不等式组x+2>3x−12≤4的解为______16.如图，函数y=4x的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，则四边形ODBC的面积为

．

17.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D′、C′的位置，ED′的延长线恰好经过B点，若DE=DC=3，CF=2，则AE等于______．

18.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D是BC边上的动点(不与点B、C重合)，DE与AC交于点F，连结CE.下列结论：①BD=CE；②∠DAC=∠CED；③若BD=2CD，则CFAF=45；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE=2+三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题8.0分)

先化简，再求值：1x2−1÷(1−x20.(本小题14.0分)

疫情期间，学校为学生提供四种在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了解学生的需求，对学生进行了“你最喜欢哪种在线学习方式的调查，调查结果制成两幅不完整统计图如图，根据图中信息回答问题：

(1)本次调查人数有______人，在线答疑所在扇形的圆心角度数是______；

(2)补全条形统计图；

(3)学校共有1200人，请估计喜欢在线听课的学生大约有多少人；

(4)甲、乙两位同学都参加了在线学习，请用画树状图或列表的方法求出两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率．21.(本小题12.0分)

农历五月初五是中国民间传统端午节，某蛋糕店一直销售的是白水粽，端午节临近又推出了红豆粽，其中红豆粽的销售单价是白水粽的1.25倍，4月份，红豆粽和白水粽共销售150千克，红豆粽的销售额是1200元，白水粽的销售额为1440元.求红豆粽、白水粽的销售单价各是多少？22.(本小题12.0分)

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF=∠CAD．

(1)求证：CF是⊙O的切线；

(2)若直径AD=10，cosB=35，求FD的长．23.(本小题12.0分)

如图，数学兴趣小组成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶A的仰角为60°.然后在坡顶D测得树顶A的仰角为30°，已知斜坡CD的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比)i=1：3，斜坡CD=103m，求树AB的高度.(结果精确到1m，参考数据：24.(本小题12.0分)

某世界顶尖中国手机公司在市场销售“China2020”品牌手机，由于手机价格会随着时间的变化而变化，该手机在第x年(x为整数)的售价为y元，y与x满足函数关系式：y=−500x+5000.该公司预计第x年的“China2020”手机的销售量为z(百万台)，z与x的对应关系如表：第x年12345…销售量z(百万台)1416182022…(1)求z与x函数关系式；

(2)设第x年“China2020”手机的年销售额为W(百万元)，试问该公司销售“China2020”手机在第几年的年销售额可以达到最大？最大值为多少百万元？

(3)若生产一台“China2020”手机的成本为3000元，如果你是该公司的决策者，要使得公司的累计总利润最大，那么“China2020”手机销售几年就应该停产，去创新新的手机？25.(本小题12.0分)

(1)如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=39°，连接AC，BD交于点M.填空：ACBD的值为______，∠AMB的度数为______；

(2)如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OBA=∠ODC=60°，连接AC交BD的延长线于点M.请判断ACBD的值，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=6；点Q为CD的中点，则在旋转的过程中，AQ的最大值为______．

26.(本小题14.0分)

如图，抛物线y=−12ax2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点D为抛物线上一点，且点D与点C关于对称轴对称，求四边形ABCD的面积．

(3)点D为直线AC上方抛物线上一动点．

①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求DEEB的最大值；

②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得答案和解析1.【答案】D

【解析】解：因为a与1互为相反数，−1与1互为相反数，

所以a=−1，

故选：D．

根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．

本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的定义，明确在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2.【答案】C

【解析】解：(−a2b3)3=−a6b9，故A错误；

(2−a)2=4−4a+a2，故B错误；

a33.【答案】C

【解析】解：从上面看的平面图形是：有3列，从左到右正方形的个数分别为：1、1、2．

故选：C．

根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．

本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．

4.【答案】D

【解析】解：A、三根长度为2cm，2cm，4cm的木棒首尾顺次相接能摆成三角形，是不可能事件，不符合题意；

B、任意买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件，不符合题意；

C、打开电视机，任选一个频道，正在播新闻，是随机事件，不符合题意；

D、太阳从东方升起，是必然事件，符合题意；

故选：D．

根据事件发生的可能性大小判断．

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

5.【答案】D

【解析】解：∵关于x的方程(m+1)x2−3x+2=0有两个实数根，

∴m+1≠0且Δ≥0，

∴m≠−1且(−3)2−4(m+1)×2≥0，

解得m≤18且m≠−1，

故选：D．

由关于x的方程(m+1)6.【答案】B

【解析】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ACB=60°，

∵∠1=42°，

∴∠ADE=42°，

∴∠AED=180°−60°−42°=78°，

∴∠AEF=180°−∠AED=180°−78°=102°，

∵直线a//直线b，

∴∠2=∠AEF，

∴∠2=102°，

故选：B．

根据等边三角形性质求出∠A=∠ACB=60°，根据平行线的性质求出∠2的度数．

本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质的应用，解此题的关键掌握两直线平行，同位角相等．

7.【答案】D

【解析】解：最后一排10位同学的身高(单位：cm)分别为x1，x2，…，x10，当他们站到一排高度相等的桌子上，头顶离地高度(单位：cm)分别为y1，y2，…，y10.相当于一组数都加上同一个不等于0的常数后，所以方差不变，平均数，中位数，众数改变，

故选：D．

根据平均数和方差的特点，结合题意：他们站到一排高度相等的桌子上，相当于一组数都加上同一个不等于0的常数后，方差不变，平均数，中位数，众数改变，即可得出答案．

本题考查了方差和平均数，中位数，众数，一般地设n个数据，x1，x8.【答案】A

【解析】解：由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，AF=AH，

则AF=BF，

∴AF=BF=AH，

∵∠ACB=90°，

∴CF=CH，

∴△AFH的周长为AF+AH+FH=2BF+2FC=2(BF+FC)=2BC=8．

故选：A．

由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，AF=AH，可得AF=BF=AH，由∠ACB=90°，可得CF=CH，则△AFH的周长为AF+AH+FH=2BF+2FC=2(BF+FC)=2BC=8．

本题考查作图−基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．

9.【答案】B

【解析】解：过点D作DH⊥AF于点H，

∵∠ABC=45°，AD⊥BC，

∴AD=BD，

∵tan∠ACB=ADCD=3，

设CD=x，

∴AD=3x，

∴BC=3x+x=8，

∴x=2，

∴CD=2，AD=6，

∴AC=CD2+AD2=22+62=210，

∵将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，

∴DC=DE，DA=DF=6，∠CDE=∠ADF，

∴∠DCE=∠DAF，

∴tan∠DAH=3，

设AH=a，DH=3a，

∵AH2+DH2=AD2，

∴a2+(3a)2=62，

∴a=3105，10.【答案】C

【解析】解：∵抛物线开口向上，

∴a>0，

∵−b2a>0，

∴b<0，

∵抛物线与y轴交点在x轴下方，

∴c<0，

∴a−bc<0，①错误．

∵OB=2OC，

∴抛物线经过(−2c,0)，

∴4ac2−2bc+c=0，

∴4ac−2b+1=0，

∴2b−4ac=1，②正确．

∵抛物线经过(−2,0)，(−2c,0)，

∴x1=2，x2=2c为方程ax2+bx+c=0的两根，

∴x1⋅x2=ca=4c，

∴a=14.③正确．

∵抛物线经过(−2,0)，

∴4a−2b+c=0，

∴1−2b+c=0，

∴c=2b−1，④正确．

故选：C．

由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由11.【答案】5.2×10【解析】【分析】

本题考查用科学记数法表示较小的数．

根据科学记数法对数据进行转化即可．

【解答】

解：0.000052=5.2×10−512.【答案】4

【解析】解：根据题意，

a5+3+a=13，

解得a=4，

经检验：a=4是原分式方程的解，

则a=4，

故答案为：4．

根据概率公式列出关于a的方程，解之可得．

13.【答案】b(a−5)【解析】解：原式=b(a2−10a+25)=b(a−5)2，

故答案为：b(a−5)14.【答案】x≥−2且x≠−1

【解析】解：∵x+2≥0，x+1≠0，

∴x≥−2且x≠−1．

故答案为：x≥−2且x≠−1．

根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．

本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．

15.【答案】1<x≤9

【解析】解：x+2>3①x−12≤4②，

由①得，x>1，

由②得，x≤9，

故此不等式组的解集为：1<x≤9．

故答案为：1<x≤9．

分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．16.【答案】6

【解析】解：∵四边形OABC是矩形，

设OA=BC=a.AB=OC=b，

∵函数y=4x的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，

∴E(b,12a)，

设D(x,a)，

∵函数y=4x的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，

∴S△AOD=S△OEC，

∴12a⋅x=12×12a×b，

∴x=12b，

∴AD=12B，

∴点D是AB的中点，

∴S△AOD=13S四边形OCBD17.【答案】4

【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，DE=DC=3，

∴AB=DC=3，AD=BC，AD//BC，∠A=90°，

∴∠DEF=∠BFE，

由折叠知，DE=D′E=3，∠BEF=∠DEF，

∴∠BEF=∠BFE，

∴BE=BF，

设AD=BC=x，则AE=AD−DE=x−3，BE=BF=BC−CF=x−2，

由勾股定理得，AB2+AE2=BE2，

∴32+(x−3)2=(x−2)2，

∴x=7，

∴AE=4，

18.【答案】①②③

【解析】解：如图1中，

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE(SAS)，

∴BD=EC，∠ADB=∠AEC，故①正确，

∵∠ADB+∠ADC=180°，

∴∠AEC+∠ADC=180°，

∴∠DAE+∠DCE=180°，

∴∠DAE=∠DCE=90°，

取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA=OD=OE=OC，

∴A，D，C，E四点共圆，

∴∠DAC=∠CED，故②正确，

设CD=m，则BD=CE=2m.DE=5m，OA=52m，

过点C作CJ⊥DF于点J，

∵tan∠CDF=CJDJ=CECD=2，

∴CJ=255m，

∵AO⊥DE，CJ⊥DE，

∴AO//CJ，

∴CFAF=CJAO=255m52m=45，故③正确．

如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，

∴BP=BN，PC=NM，∠PBN=60°，

∴△BPN是等边三角形，

∴BP=PN，

∴PA+PB+PC=AP+PN+MN，

∴当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB=∠APC=∠BPC=120°，PB=PC，AD⊥BC，

∴∠BPD=∠CPD=60°，

设PD=t，则BD=AD=3t，

∴2+t=3t，

∴t=3+1，

∴CE=BD=3t=3+3，故④错误．

故答案为：①②③．

①正确．证明△BAD≌△CAE(SAS)，可得结论；

②正确．证明A，D，C，E四点共圆，利用圆周角定理证明；

③正确．设CD=m，则BD=CE=2m.DE=19.【答案】解：1x2−1÷(1−xx+1)

=1(x+1)(x−1)÷x+1−xx+1

【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．

本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

20.【答案】25

72°

【解析】解：(1)25÷25%=100(人)，即本次调查人数有100人，

“在线答疑”的人数为100−40−25−15=20(人)，

在扇形图中的圆心角度数为360°×20100=72°；

故答案为：100，72°；

(2)补全条形统计图如图所示：

(3)1200×20100=240(人)，

答：估计喜欢在线听课的学生大约有240人；

(4)四类在线学习方式在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论分别用A、B、C、D表示，画树状图如图：

共有16个等可能的结果，其中甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的结果有4个，

∴甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率为416=14．

(1)样本中“在线阅读”的人数有25人，占调查人数的25%，可求出调查人数；再求出“在线答疑”所占整体的百分比即可求出相应的圆心角的度数即可；

(2)补全条形统计图即可；

21.【答案】解：设白水粽的销售单价是x元，则红豆粽的销售单价是1.25x元，

依题意得：12001.25x+1440x=150，

解得：x=16，

经检验，x=16是原方程的解，且符合题意，

则1.25x=1.25×16=20．

答：红豆粽的销售单价是【解析】设白水粽的销售单价是x元，则红豆粽的销售单价是1.25x元，利用数量=总价÷单价，结合4月份红豆粽和白水粽共销售150千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出白水粽的销售单价，再将其代入1.25x中即可求出红豆粽的销售单价．

本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．

22.【答案】(1)证明：连接OC，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD=90°，

∴∠ADC+∠CAD=90°，

又∵OC=OD，

∴∠ADC=∠OCD，

又∵∠DCF=∠CAD．

∴∠DCF+∠OCD=90°，

即OC⊥FC，

∴FC是⊙O的切线；

(2)解：∵∠B=∠ADC，cosB=35，

∴cos∠ADC=35，

在Rt△ACD中，

∵cos∠ADC=35=CDAD，AD=10，

∴CD=AD⋅cos∠ADC=10×35=6，

∴AC=AD2−CD2=8，

∴CDAC=34，

∵∠FCD=∠FAC，∠F=∠F，

∴△FCD∽【解析】(1)根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；

(2)由cosB=35，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD=3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案．

23.【答案】解：∵斜坡CD的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比)i=1：3，

∴tan∠DCE=13=33．

∴∠DCE=30°．

∵∠ACB=60°，DF//AE，

∴∠BGF=60°．

∴∠ABC=30°，∠DCB=90°．

∵∠BDF=30°，

∴∠DBF=60°．

∴∠DBC=30°．

∴BC=CDtan【解析】首先得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°，由DF//AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．

本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．

24.【答案】解：(1)由表格数据看，z与x的对应关系为一次函数关系，设其表达式为z=kx+b，

将(1,14)、(2,16)代入上式得k+b=142k+b=16，

解得k=2b=12，

∴z与x函数关系式z=2x+12；

(2)由题意得：W=(2x+12)(−500x+5000)=−1000(x−2)2+64000，

∵−1000<0，故抛物线开口向下，W有最大值，

当x=2时，W最大值为64000，

∴第二年销售额最大，为64000百万元；

(3)由题意得：(2x+12)(−500x+5000−3000)=0，

−1000(x+1)2+25000=0，

x1【解析】(1)由表格数据看，z与x的对应关系为一次函数关系，设其表达式为z=kx+b，用待定系数法即可求解；

(2)由题意得：W=(2x+12)(−500x+5000)=−1000(x−2)2+64000，进而求解；

(3)由题意得：(2x+12)(−500x+5000−3000)=0，通过解方程即可求解．25.【答案】1

39°

3【解析】解：(1)图1中，

∵∠AOB=∠COD=40°，

∴∠COA=∠DOB，

∵OC=OD，OA=OB，

∴△COA≌△DOB(SAS)，

∴AC=BD，

∴ACBD=1；

∵△COA≌△DOB，

∴∠CAO=∠DBO，

∵∠AOB=39°，

∴∠OAB+∠ABO=141°，

在△AMB中，∠AMB=180°−(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°−(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°−141°