浙江省杭州市八区县2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）

杭州市八区县2022学年第一学期期末学业水平测试高二年级数学试卷考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，请在答题卷的相应位置填写姓名、准考证号、试场号、座位号．3．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．4．考试结束后，只需上交答题卷．一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：因为集合，或，所以，故选：B2.已知复数，则以下判断正确的是（）A.复数的模为1 B.复数的模为C.复数的虚部为 D.复数的虚部为【答案】B【解析】【分析】根据复数除法运算即可求得，根据复数模长公式和虚部定义即可判断结果.【详解】由可得；即复数的虚部为1，所以CD错误；则复数的模为，即A错误，B正确；故选：B3.在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出辅助线，找到异面直线AE，FG所成角，设出正四面体的边长，表达出其他边长，利用余弦定理求出答案.【详解】连接DE，因为点F，G分别为棱CD，AC的中点，所以FGAD，所以或其补角为异面直线AE，FG所成角，设正四面体的边长为a，则，，由余弦定理得：，所以异面直线AE，FG所成角的余弦值为.故选：C4.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数图象变换可得平移后的解析式为，利用整体代换即可求得对称轴方程.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度可得；令，即其对称轴方程为，当时，.ACD均不符合要求.故选：B5.年1月30日世界卫生组织将新型冠状病毒疫情列为国际关注的突发公共卫生事件，这是21世纪以来首次由一种冠状病毒导致的大流行．基本再生数与代间隔是流行病学基本参数，其中基本再生数指一个感染者传染的平均人数，代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此计算在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数翻两番需要的时间约为（备注：）（）A.1.8天 B.2.9天 C.3.6天 D.4.5天【答案】C【解析】【分析】先由数据求出，故，设病例数翻两番需要的时间约为，列出方程，求出答案.【详解】由题意得：，解得：，故，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数翻两番需要的时间约为，则，即，所以，两边取对数得：，解得：（天），故选：C6.圆和圆的交点为，则有（）A.公共弦所在直线方程为 B.公共弦的长为C.线段中垂线方程为 D.【答案】D【解析】【分析】对于A，联立两圆方程即可得公共弦所在直线方程；对于B，由弦长公式计算即可；对于C，由题意可知线段中垂线为直线，求出直线的方程即可判断；对于D，求出坐标，计算出的值，即可判断.【详解】解：对于A，联立两圆方程得，可得，即公共弦所在直线方程为，故错误；对于B，设到直线：的距离为，则有，则弦长公式得：，故错误；对于C，由题意可知线段中垂线为直线，又因为，，所以直线的方程为，故错误；对于D，由，解得或，取，所以所以，所以，故正确.故选：D.7.已知抛物线C1：与椭圆C2：共焦点，C1与C2在第一象限内交于P点，椭圆左右焦点分别为，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据得到，然后将点代入抛物线方程得到，根据共焦点得到，最后联立求离心率即可.【详解】结合抛物线及椭圆的定义可得在抛物线上，故，且，∴故选：B.8.已知，，，若函数不存在零点，则实数可以取（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用反证法证明出：若对任意的，，则，从而可知方程无实解，可得出，求出实数的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】首先证明：若对任意的，，则.利用反证法，假设存在，使得，即，则，猜想，对任意的且，，假设当成立，即，则当时，，这说明当时，猜想也成立，所以，若，则对任意的且，，这与题设条件不符，假设不成立，故对任意的，，即，即方程无实解，则，解得，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用复合函数零点的存在性求参数，解题的关键在于证明出：若对任意的，，则.从而将问题转化为方程无实解，转化为求解.二、选择题：本题4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若方程表示的曲线为，则下列说法正确的有（）A.若，则曲线为椭圆 B.若曲线为双曲线，则或C.曲线不可能是圆 D.若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则【答案】BD【解析】【分析】根据的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可.【详解】对于A,当时，此时曲线为圆，故A错，对于B,若曲线为双曲线，则，即或，故B对，对于C,若曲线为圆，则即，故曲线可能是圆，故C错，对于D,曲线表示焦点在轴上的椭圆,则，解得，故D对.故选：BD.10.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3．从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（）A.事件发生的概率为 B.事件发生的概率为C.事件是互斥事件 D.事件相互独立【答案】ABC【解析】【分析】A选项，列举出两个小球标号之和大于5的情况，从而得到；B选项，列举出抽取的两个小球标号之积小于6的情况，从而得到中共有情况数，得到；C选项，计算出，得到C正确；D选项，，D错误.【详解】A选项，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有种情况，其中抽取的两个小球标号之和大于5的情况有：，共3种情况，故，A正确；B选项，抽取的两个小球标号之积小于6的情况为：，共7种情况，故中共有种情况，故，B正确；C选项，由于事件中无相同情况，故，所以件是互斥事件，C正确；D选项，因为，事件不互相独立，D错误.故选：ABC11.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列关系式中正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用余弦定理可判断出选项AB，再根据两角和与差的正弦、余弦公式以及平方关系化简可得C正确，D错误.【详解】根据余弦定理可得；即，所以B正确，A错误；根据两角和与差的正弦公式可得：即C正确；对于D：，所以D错误.故选：BC12.对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（）A. B.C. D.在上单调递减【答案】AB【解析】【分析】由题有：，.即图像关于对称，且关于直线对称.A选项，令可得，可得；B选项，令即可判断选项；C选项，令结合单调性可判断选项；D选项，由图像的对称性可判断在上的单调性.【详解】令，由是奇函数，则，即，图像关于对称.令，由是偶函数，则，即，图像关于直线对称A选项，令，可得，又令，可得.故A正确；B选项，令，可得，故B正确；C选项，令，可得，又因在上单调递减，由图像关于对称，则在上单调递减，即在上单调递减，故.故C错误.D选项，由在上单调递减，结合图像关于直线对称，则在上单调递增.故D错误.故选：AB【点睛】结论点睛：本题涉及抽象函数的奇偶性的相关结论.为定义在R上函数，若为奇函数，则，图像关于对称；若为偶函数，则，图像关于对称.三、填空题：本题4小题，每小题5分，共20分．13.写出使不等式恒成立的一个实数的值__________．【答案】不少于的任意一个实数【解析】【分析】对不等式全分离,即恒成立,只需,对二次函数配方即可求得最大值,进而求得结果.【详解】解:因为恒成立,所以,即只需,因为,所以,故只需即可.故答案为:不少于的任意一个实数14.已知，为单位向量．若，则在上的投影向量的模为______．【答案】【解析】【分析】根据模与向量的关系求出的值，再根据在上的投影向量的模的公式求出答案即可.【详解】由题可知：即，则在上的投影向量的模为故答案为:15.已知三点都在体积为的球的表面上，若，，则球心到平面的距离为__________．【答案】【解析】【分析】由球的体积公式计算出球的半径，由正弦定理求出的外接圆半径，从而得到球心到平面的距离.【详解】设球的半径为，则，解得：，设的外接圆半径为，在中，由正弦定理得：，故，则球心到平面距离为.故答案为：16.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交两条渐近线于点，，且．若点在轴上的射影为，则__________．【答案】【解析】【分析】根据题意，利用三角形面积公式和比例性质，由求解即可.【详解】如图所示：则，双曲线的渐近线为，，，不妨设，，，则，，，，，.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用比例的性质与点的坐标的关系求得，从而求得，由此结合求解即可.四、解答题：本题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有．（1）证明：在上是增函数；（2）解不等式；（3）若存在实数使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）（3）或【解析】【分析】（1）结合条件，利用单调性定义证明函数单调性.（2）将不等式等价转化，利用函数奇偶性和单调性，建立不等式组，求得解集.（3）双变量问题，求出的最小值小于等于，解不等式即可.【小问1详解】对任意的，由题意得：当,时，，则，故在上是增函数．【小问2详解】因为为奇函数，且在上是增函数，则则不等式的解集为【小问3详解】存在实数，使得，等价于，则，所以实数的取值范围是或18.已知函数（1）求的值；（2）若，且，再从下面①②③中选取一个作为条件，求的值．①函数的一个对称中心为；②函数图象过点；③两条相邻对称轴间的距离为．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先根据降幂公式和辅助角公式化简，然后直接求值可得；(2)根据所选条件，利用相应性质可求得，然后由，结合和差公式可得.【小问1详解】【小问2详解】选①：，则，因为，则选②：，因为，则故，选③：，故，则因为，所以因为，所以，故19.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取2000名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将数据分成7组：，绘制出如下的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求竞赛学生得分的众数和中位数；（2）先从得分在的学生中利用分层抽样选出6名学生，再从这6名学生中选出2人参加有关航天知识演讲活动，求选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率.【答案】（1）众数为75分；中位数为72.5分（2）【解析】【分析】（1）根据众数、中位数的定义结合频率分布直方图运算求解；（2）根据频率分布直方图结合分层抽样求每组抽取的人数，利用列举法解决古典概型的概率问题.【小问1详解】由频率分布直方图可知：的频率最大，则众数为75分；∵的频率分别为，设中位数为x，则，由题意可得：，解得，故中位数为72.5分.【小问2详解】因为人数之比为1：2，所以应抽取2人，设为A，B，应抽取4人，设为C，D，E，F，这6人中再任选2人，共15种不同选法，如下：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，其中选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率包含6种，故选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率.20.四棱锥中，底面为菱形，底面，．（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据题意可得为正三角形，求出，利用等体积法即可求解；(2)取中点，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出平面和平面的法向量法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】因为，底面为菱形，则为正三角形，，则，，因为平面，所以，得，则故点到平面的距离为【小问2详解】取中点，则，因为底面，底面，所以，所以两两互相垂直，则分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系.平面，则平面的法向量为,，，，设平面的法向量，则，即，令，则．设二面角的平面角为，则由空间向量的夹角公式可得：.故二面角的余弦值为.21.某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为正实数）．该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：第天10202530个110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元.（1）求的值；（2）给出以下两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；（3）在（2）的情况下，求该商品的日销售收入（元）的最小值．【答案】（1）（2）选②，，（3）【解析】【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元列出方程，求出；（2）当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故选