陕西省宝鸡市教育联盟2022-2023学年高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

第17页/共17页宝鸡教育联盟20222023学年度高二第一学期期末质量检测数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.4．本卷主要考查内容：北师大版必修5，选修2-1.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线的虚轴长为（）A. B. C.3 D.6【答案】D【解析】【分析】根据题意，由双曲线的方程求出的值，即可得答案．【详解】因为，所以，所以双曲线的虚轴长为.故选：D.2.已知等比数列中，，则公比（）A. B.2 C.4 D.【答案】B【解析】【分析】由等比数列通项公式有，结合已知即可求.【详解】由，可得．故选：B．3.两抛物线与的焦点间的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出两抛物线的焦点坐标，即可得出焦点间的距离.【详解】由题意，抛物线与的焦点坐标分别为，∴两抛物线的焦点间的距离为．故选：B4.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】由，可得，即；由，可得或，即；∴是的真子集，故“”是“”的充分而不必要条件.故选：A5.已知平面的一个法向量为，点在平面内，则平面外一点到平面的距离为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根据空间向量点到面的距离公式直接进行求解即可.【详解】因，点在平面内，点平面外，所以点到平面的距离，故选：B6.下列命题中，真命题是（）A.命题“若，则”B.命题“当时，”C.命题“若两个三角形有两条边和一个内角对应相等，那么这两个三角形全等”D.命题“若，则”【答案】D【解析】【分析】根据相应的定理、性质或反例逐项判断即可.【详解】当，不成立，故A选项是假命题；因为时，有，故B选项是假命题；根据三角形全等的判定定理知，命题“若两个三角形有两条边和一个内角对应相等，那么这两个三角形全等”是假命题，反例如下图：如图有，但和不全等，故C选项是假命题；若，两边平方可得，故D选项是真命题．故选:D.7.若，满足，则的最小值为（）A. B. C.8 D.4【答案】D【解析】【分析】根据对数运算化简求出，利用均值不等式求解.【详解】，，即，，，当且仅当，即时等号成立，故选：D8.在中，内角的对边分别为.若，，且则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理表示出，利用条件变换求解即可.【详解】因为，，且由余弦定理知，，解得，故选：9.在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理把题中条件化为边的关系式，即可判定.【详解】根据余弦定理知，，所以，则,故三角形为直角三角形，故选：10.已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，且轴，则到直线的距离为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】.11.如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形．若，且，则的长为（）A. B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】利用空间向量线性运算及数量积运算即可求解.【详解】根据空间向量的运算法则，易得，又因为，故.故选：A．12.设直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点.若，其中点M的坐标为，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设出渐近线方程，把直线与渐近线方程联立求得点的坐标，从而求出线段中点的坐标；通过条件得出，利用斜率之积为求得的值，从而求离心率.【详解】设C的渐近线的方程为，由，得；由，得，设线段的中点为，则，，，，从而，则.故选：B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设变量x，y满足约束条件,则的最小值为______．【答案】-1【解析】【分析】作出约束条件表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答.【详解】作出约束条件表示的平面区域，如图中阴影（含边界），，，，目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，画直线，平移直线到，当直线过点A时，直线的纵截距最小，z最小，，所以的最小值为-1.故答案为：-114.习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键.要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.为鼓励外出人员返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”，帮扶返乡创业人员.五年内，预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成数列（单位：万元），且第一年投入“创业资金”3（万元），以后每年投入的“创业资金”为上一年的2倍，则该镇政府帮扶五年累计总投入的“创业资金”为___________万元.【答案】93【解析】【分析】利用等比数列求和公式即得.【详解】由已知，可知数列是首项为3，公比为2的等比数列，所以.故答案为：93.15.抛物线：与直线交于，两点，且的中点为，则的斜率为____________.【答案】【解析】【分析】设，两点坐标分别为，，由，可得，进而结合中点坐标公式即两点间的斜率公式求解即可.【详解】已知的中点为，设，两点坐标分别为，，则，可得，即，即又，所以.故答案为：.16.已知点是椭圆上的两点.且直线恰好平分圆，为椭圆上与点不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】设，，则.由已知可推得，根据，可得出，然后即可求出离心率.【详解】设，.依题意有，两式相减得，所以.因直线恰好平分圆，则，则，.由已知，，所以，，即.所以椭圆的离心率为.故答案为：.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知等差数列的公差，且是与的等比中项.（1）求的通项公式；（2）求的前项和的最大值及对应的的值.【答案】（1）；（2）当或时，取得最大值，且最大值为.【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质，再结合条件，可求出，代入等差数列公式即可求出.（2）根据条件求出，利用二次函数的单调性进行求解．【详解】（1）因为是与的等比中项，所以，即整理得：因为，，所以故（2）（方法一）因为，，所以所以当或时，取得最大值.故当或时，取得最大值110.（方法二）由，得则当或时，取得最大值，且最大值为【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，前n项和公式及二次函数的单调性，考查了推理和计算能力，属中档题．18.已知等差数列的前n项和为.（1）求{an}的通项公式；（2）若，求数列{}的前n项和Tn.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式展开可求得结果；（2）由裂项相消求和可得结果.【小问1详解】设等差数列的公差为d，由题意知，解得：∴.故的通项公式为.【小问2详解】∵即：的前n项和.19.设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若为坐标原点，直线交曲线于两点，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，结合距离公式列出方程，整理即可得到曲线的方程；（2）联立方程组，设，利用弦长公式和点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，即可求解.【小问1详解】解：由动点与点之间的距离和到直线：的距离的比值为，可得，整理得，即曲线的方程为.小问2详解】解：联立方程组，整理得，设，，可得，，所以，又由点到直线的距离，所以的面积.20.在中，内角、、所对的边分别为、、，向量，，且．（1）求角的大小（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示结合正弦定理化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用余弦定理结合已知条件可求得、的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【小问1详解】解：由可得，所以，，由正弦定理可得，、，则，，所以，，故【小问2详解】解：因为，可设，则，由余弦定理可得，解得，故，，因此，的面积为.21.如图，在三棱锥中，底面，，，，，，分别是上的三等分点，是的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）用余弦定理求出，从而得到，，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明出线面垂直；（2）求出平面的法向量，进而求出两平面的夹角余弦值.【小问1详解】证明：，，，根据余弦定理得，所以，所以，以点为坐标原点，，所在直线为，轴，经过点垂直于，的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，，平面【小问2详解】，，，设平面的一个法向量为，由，所以令，则，，可得，设平面的一个法向量，由令，得，，可得，，所以平面与平面夹角的余弦值为．22.在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于,两点，使得，再过作直线,证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，直线过定点.【解析】【分析】（1）由题