河南省南阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解）

2022年秋期高中一年级期终质量评估数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】由对数函数的定义域为真数大于零，确定集合SKIPIF1<0，再由分式不等式的解法，确定集合SKIPIF1<0，然后根据集合交集的运算求解即可.【详解】函数SKIPIF1<0得定义域为：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由不等式SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：A.2.我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为SKIPIF1<0，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（）A.20 B.30 C.40 D.50【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可.【详解】抽取的一年级学生的人数为SKIPIF1<0，故选：B3.三个实数SKIPIF1<0的大小关系为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根据对数函数的性质判断SKIPIF1<0的范围，根据分数指数幂运算化简SKIPIF1<0，判断SKIPIF1<0的范围，即可得答案.【详解】由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：B4.总体由编号为01，02，…，20的20个个体组成．用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）7816657208026314021943089714019832089216493682003623486969387181A.08 B.14 C.16 D.19【答案】C【解析】【分析】根据随机数表，写出选出的前6个号码，即得答案.【详解】由题意可得选出的前6个号码依次为SKIPIF1<0，故选出来的第6个个体的编号为16，故选：C5.Logistic模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域．有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例SKIPIF1<0（SKIPIF1<0的单位：天）的Logistic模型：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为最大确诊病例数．当SKIPIF1<0时，标志着已初步遏制疫情，则SKIPIF1<0约为SKIPIF1<0（）A.35 B.36 C.40 D.60【答案】B【解析】【分析】得到方程，整理后两边取对数，求出SKIPIF1<0.【详解】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，两边取对数，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0约为SKIPIF1<0.故选：B6.已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，且对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0恒成立，则关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】由SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数判断函数SKIPIF1<0的图象的对称性，再结合题意判断其单调性，进而根据SKIPIF1<0可列相应不等式，即可求得答案.【详解】由于SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称；对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0恒成立，即对任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，根据对称性可知在SKIPIF1<0上单调递增，故由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，故选：C7.甲，乙，丙三人打靶，他们的命中率分别SKIPIF1<0，若三人同时射击一个目标，甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为SKIPIF1<0，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为SKIPIF1<0，已知“甲击中目标”，“乙击中目标”，“丙击中目标”是相互独立事件，则SKIPIF1<0的值分别为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】由独立事件的概率公式列方程组求解．【详解】由题意SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：C．8.若函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，则下列说法中正确的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】将函数零点转化为函数图象的交点问题，作出函数图象，数形结合，可判断A；结合图象可判断零点的范围，判断B；利用函数零点即相应方程的根可得SKIPIF1<0，结合对数函数性质化简可得关于SKIPIF1<0的等式，化简，可判断C，D.【详解】对于A，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0则由函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0有两个根，即函数SKIPIF1<0的图象有2个交点，作出函数SKIPIF1<0的图象如图，可知要使函数SKIPIF1<0的图象有2个交点，需满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，A错误；对于B，由A的分析可知函数SKIPIF1<0的图象有2个交点，交点的横坐标即为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，结合图象可知SKIPIF1<0，B错误；对于C，D，由题意可知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，a的取值不确定，但是SKIPIF1<0的值必一正一负，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，C错误，D正确；故选：D【点睛】方法点睛：涉及到此类海水零点问题，一般方法是将零点转化为函数图象交点问题，关键在于要判断出零点的范围，继而结合方程的根以及对数函数性质化简即可求解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.若集合SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个元素，则SKIPIF1<0的真子集的个数为SKIPIF1<0B.“SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0”的否定是“SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0”C.函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D.函数SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0【答案】AC【解析】【分析】根据集合子集与真子集的个数的判定方法，可判定A正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定B错误；利用基本不等式，可判定C正确；根据函数零点的定义和求法，可判定D错误.【详解】对于A中，若集合SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个元素，根据集合子集与真子集的个数的判定方法，可得集合SKIPIF1<0的真子集的个数为SKIPIF1<0，所以A正确；对于B中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题.“SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0”的否定是“SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0”，所以B错误；对于C中，由SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，所以C正确；对于D中，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，所以D错误.故选：AC.10.已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则下列式子可能成立的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】【分析】在同一直角坐标系中作出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象，然后根据图象即可完成判断.【详解】在同一直角坐标系中作出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象以及平行于x轴的直线如下：则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的关系有三种可能，分别是：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：BCD11.下列说法正确的是（）A.在统计学中，数字特征—平均数、众数、中位数一定是原始数据B.在统计学中，数字特征—平均数、众数、中位数、极差和标准差的单位与原始数据单位一致C.若SKIPIF1<0为相互独立事件，则SKIPIF1<0D.若SKIPIF1<0为互斥事件，则SKIPIF1<0【答案】BD【解析】【分析】根据平均数、众数、中位数、极差和标准差的定义即可判断AB；根据相互独立事件和互斥事件的定义即可判断CD.【详解】对于A，一组数据SKIPIF1<0的中位数为SKIPIF1<0，故A错误；对于B，在统计学中，平均数、众数、中位数、极差和标准差的单位与原始数据单位一致，故B正确；对于C，SKIPIF1<0为相互独立事件，无法判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小，故C错误；对于D，由互斥事件的定义知SKIPIF1<0，故D正确.故选：BD.12.已知函数SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论中正确的是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数C.SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增D.若SKIPIF1<0对所有的SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】【分析】选项A：根据赋值法求解即可；选项B：赋值解得SKIPIF1<0然后结合定义判断函数的奇偶性；选项C：根据定义作差判断函数的单调性；选项D：根据不等式恒成立，然后结合SKIPIF1<0以及一次函数的性质求解不等式即可；【详解】选项A：令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0选项正确；选项B：令SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0则有SKIPIF1<0SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，选项正确；选项C：设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0

SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，选项错误；选项D：因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0对所有的SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，将函数看成关于SKIPIF1<0的一次函数SKIPIF1<0，则需SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，选项正确；故选：ABD第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.我市某高中高一（6）班有男生36人，女生18人，男生的平均身高为SKIPIF1<0，方差为41；女生的平均身高为SKIPIF1<0，方差为38．则该班所有学生身高的方差为______．【答案】58【解析】【分析】运用样本方差公式进行求解即可.【详解】设所有学生身高的平均数为SKIPIF1<0，方差为SKIPIF1<0，因为高中高一（6）班有男生36人，女生18人，男生的平均身高为SKIPIF1<0；女生的平均身高为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<014.SKIPIF1<0______．【答案】8【解析】【分析】根据根式、指数对数的运算法则求解即可.【详解】原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：815.新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位．每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积．现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比《周髀算经》的“径一而周三”前进了一大步，则上面4个数据与祖冲之给出的约率3.1429、密率3.1416这6个数据的极差为______，SKIPIF1<0分位数为______．【答案】①SKIPIF1<0②.SKIPIF1<0【解析】【分析】根据已知条件，结合极差和百分位数的定义和求法，即可求解.【详解】根据题意，所给的6个数据从小到大排列依次为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以这6个数据的极差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以第SKIPIF1<0分位数为SKIPIF1<0.故答案：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.16.已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有7个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是______．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根据函数零点定义，结合换元法、数形结合思想进行求解即可.【详解】函数SKIPIF1<0的图象如下图所示：令SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0有7个零点，等价于方程SKIPIF1<0有7个不相等的实根，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0可有三个不相等的实根，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0可有四个不相等的实根，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0可有三个不相等的实根，设SKIPIF1<0的两根为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0无零根，不符合题意，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意可知：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，这时SKIPIF1<0，显然不满足SKIPIF1<0，综上所述：实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【点睛】关键点睛：本题的关键是把函数零点问题转化为方程的实根问题，运用数形结合思想.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合SKIPIF1<0．（1）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0这两个条件中选择一个作为已知条件，求SKIPIF1<0；（2）若“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）不论选①SKIPIF1<0，还是选②SKIPIF1<0，都要确定出集合A，根据对数函数单调性求得集合B，根据集合的交集运算即可求得答案；（2）由题意可推出SKIPIF1<0SKIPIF1<0，分类讨论集合A，列出相应不等式组，即可求得答案.【小问1详解】选择①SKIPIF1<0作为已知条件，则SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．选择②SKIPIF1<0作为已知条件，则SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【小问2详解】因为“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0的根SKIPIF1<0，分三种情况讨论：①当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时：SKIPIF1<0，不满足题设，舍去；②当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时：SKIPIF1<0，此时须满足SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时：SKIPIF1<0，须满足SKIPIF1<0，无解；综上：SKIPIF1<0．18.已知函数SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围；（2）若函数SKIPIF1<0的单调递增区间是SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）将不等式变形为SKIPIF1<0恒成立，借助于基本不等式求最值，即可求出SKIPIF1<0的范围；（2）令SKIPIF1<0，结合复合函数的单调性可知SKIPIF1<0单调增区间是SKIPIF1<0，由二次函数的增减性即可求出SKIPIF1<0的取值.【小问1详解】即SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，∴SKIPIF1<0恒成立，又∵SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时“=”成立，故所求SKIPIF1<0．【小问2详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增且SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0图象开口向上，对称轴为SKIPIF1<0，∵函数SKIPIF1<0单调增区间是SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0单调增区间是SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．19.若SKIPIF1<0是从SKIPIF1<0四个数中任取的一个数，SKIPIF1<0是从SKIPIF1<0三个数中任取的一个数．（1）求事件“SKIPIF1<0”的概率；（2）求事件“方程SKIPIF1<0有实数根”的概率．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）利用列举法求解，先列出取SKIPIF1<0两数的所有情况，再找出满足SKIPIF1<0的情况，然后根据古典概型的概率公式求解即可，（2）由题意可得SKIPIF1<0，再根据对立事件的概率公式求解【小问1详解】设事件SKIPIF1<0表示“SKIPIF1<0”．因为SKIPIF1<0是从SKIPIF1<0四个数中任取的一个数，SKIPIF1<0是从SKIPIF1<0三个数中任取的一个数．所以样本点一共有12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一个数表示SKIPIF1<0的取值，第二个数表示SKIPIF1<0的取值．符合古典概型模型，事件SKIPIF1<0包含其中3个样本点，故事件SKIPIF1<0发生的概率为SKIPIF1<0【小问2详解】若方程SKIPIF1<0有实数根，则需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0记事件“方程SKIPIF1<0有实数根”为事件SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．20.对于函数SKIPIF1<0，若在定义域内存在实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则称函数为“倒戈函数”．（1）请判断函数SKIPIF1<0是否为“倒戈函数”，并说明理由；（2）若SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的“倒戈函数”，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）是“倒戈函数”，理由见解析（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）由“倒戈函数”的定义可得方程SKIPIF1<0有解，列方程可以直接求解判断；（2）通过参变量分离转化为函数求最值问题.【小问1详解】函数SKIPIF1<0是“倒戈函数”，理由如下：由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以存在实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0是“倒戈函数”．【小问2详解】因为SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上“倒戈函数”，所以关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有解，即SKIPIF1<0有解，等价于SKIPIF1<0有解，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0.21.SKIPIF1<0年入冬以来，为进一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆发，SKIPIF1<0地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将SKIPIF1<0地区SKIPIF1<0个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在SKIPIF1<0以上（含SKIPIF1<0）的有SKIPIF1<0人．口罩使用数量SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0频率SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图；（只画图，不要过程）（2）根据频率分布直方图估计SKIPIF1<0地区居民一周口罩使用个数的SKIPIF1<0分位数和中位数；（四舍五入，精确到SKIPIF1<0）（3）根据频率分布直方图估计SKIPIF1<0地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差．（每组数据用每组中点值代替）【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；频率分布直方图见解析（2）SKIPIF1<0分位数为SKIPIF1<0个，中位数为SKIPIF1<0个（3）平均数为SKIPIF1<0