北京市东城区2022-2023学年高一上学期期末统一检测数学试题（含答案详解）

东城区2022-2023学年度第一学期期末统一检测高一数学本试卷共4页，满分100分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共30分）一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义，即可求解.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A2.不等式SKIPIF1<0的解集是（）A.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】直接解出不等式即可.【详解】SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故解集为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选：B.3.下列函数中，在区间SKIPIF1<0上单调递减的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性即可得到答案.【详解】根据幂函数图像与性质可知，对A选项SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，故A错误，对D选项SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调性递增，故D错误，根据指数函数图像与性质可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，故C正确，根据对数函数图像与性质可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调性递增.故选：C.4.命题“SKIPIF1<0”的否定是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根据存在命题的否定即可得到答案.【详解】根据存在命题的否定可知，存在变任意，范围不变，结论相反，故其否定为SKIPIF1<0.故选：A.5.已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式的性质求解即可.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立.所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：D6.函数SKIPIF1<0的图象关于（）A.x轴对称 B.y轴对称 C.原点对称 D.直线SKIPIF1<0对称【答案】C【解析】【分析】求出SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，可得函数为奇函数，进而得到答案.【详解】函数SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇函数，图象关于原点对称.故选：C.7.“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据正弦函数的性质及充分条件、必要条件即可求解.【详解】SKIPIF1<0推不出SKIPIF1<0（举例，SKIPIF1<0），而SKIPIF1<0,SKIPIF1<0“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件，故选：B8.已知函数SKIPIF1<0，对a，b满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则下面结论一定正确的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】由对数函数的运算性质可知SKIPIF1<0移项化简即可得.【详解】因为函数SKIPIF1<0，对a，b满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故选：D9.记地球与太阳的平均距离为R，地球公转周期为T，万有引力常量为G，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】利用对数运算性质计算即可.【详解】因为SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.10.已知实数SKIPIF1<0互不相同，对SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则对SKIPIF1<0（）A.2022 B.SKIPIF1<0 C.2023 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】根据代数基本定理进行求解即可..【详解】国为SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0可以看成方程SKIPIF1<0的SKIPIF1<0个不等实根，根据代数基本定理可知：对于任意实数SKIPIF1<0都有以下恒等式，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，于有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D【点睛】关键点睛：根据代数基本定理是解题的关键.第二部分（非选择题共70分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.函数SKIPIF1<0的定义域是__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根据对数真数大于零可构造不等式求得结果.【详解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.12.SKIPIF1<0__________.【答案】6【解析】【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算计算作答.详解】SKIPIF1<0.故答案为：613.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，再结合SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0，可求出答案.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.14.如图，单位圆被点SKIPIF1<0分为12等份，其中SKIPIF1<0.角SKIPIF1<0的始边与x轴的非负半轴重合，若SKIPIF1<0的终边经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________；若SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0的终边与单位圆交于点__________.（从SKIPIF1<0中选择，写出所有满足要求的点）【答案】①.SKIPIF1<0②.SKIPIF1<0【解析】【分析】求出终边经过SKIPIF1<0则对应的角SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的关系.【详解】SKIPIF1<0，所以终边经过SKIPIF1<0则SKIPIF1<0角SKIPIF1<0的始边与x轴的非负半轴重合，若SKIPIF1<0的终边经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<015.已知函数SKIPIF1<0,①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值为__________；②若SKIPIF1<0有2个零点，则实数a取值范围是__________.【答案】①.SKIPIF1<0；②.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【解析】【分析】①根据函数式分段确定函数的单调性后可得最小值；②结合函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象，根据分段函数的定义可得参数范围．【详解】①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是增函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是增函数，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0；②作出函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象，它们与SKIPIF1<0轴共有三个交点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由图象知SKIPIF1<0有2个零点，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知函数SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的值；（2）当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值域.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】(1)根据诱导公式和特殊角三角函数值求解；(2)利用余弦函数性质及不等式性质求SKIPIF1<0的值域.【小问1详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，【小问2详解】由(1)SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.17.已知关于x的不等式SKIPIF1<0的解集为A.（1）当SKIPIF1<0时，求集合A；（2）若集合SKIPIF1<0，求a的值；（3）若SKIPIF1<0，直接写出a的取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．【解析】【分析】（1）直接解不等式可得；（2）由题意得SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根，代入后可得SKIPIF1<0值；（3）SKIPIF1<0代入后不等式不成立可得．【小问1详解】SKIPIF1<0时，不等式为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；【小问2详解】原不等式化为SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时原不等式化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，满足题意．所以SKIPIF1<0；【小问3详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．18.函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，若对任意的SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0；（2）若对SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数；（3）若SKIPIF1<0，直接写出一个满足已知条件的SKIPIF1<0的解析式.【答案】（1）证明过程见解析（2）证明过程见解析（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（答案不唯一）【解析】【分析】（1）赋值法得到SKIPIF1<0；（2）赋值法，令SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0，证明出函数的单调性；（3）从任意的SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，可得到函数增长速度越来越快，故下凸函数符合要求，构造出符合要求的函数，并进行证明【小问1详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；【小问2详解】令SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为对SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数；【小问3详解】构造SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，且满足对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，理由如下：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.19.已知函数SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0为偶函数，求a的值；（2）从以下三个条件中选择两个作为已知条件，记所有满足条件a的值构成集合A，若SKIPIF1<0，求A.条件①：SKIPIF1<0是增函数；条件②：对于SKIPIF1<0恒成立；条件③：SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）选①②，不存在SKIPIF1<0；选①③，SKIPIF1<0；选②③，SKIPIF1<0．【解析】【分析】（1）由偶函数的定义求解；（2）选①②，SKIPIF1<0时，由复合函数单调性得SKIPIF1<0是增函数，SKIPIF1<0时，由单调性的定义得函数的单调性，然后在SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0有解，说明不满足②SKIPIF1<0不存在；选①③，同选①②，由单调性得SKIPIF1<0，然后则函数的最大值不大于4得SKIPIF1<0的范围，综合后得结论；选②③，先确定SKIPIF1<0恒成立时SKIPIF1<0的范围，再换元确定新函数的单调性得最大值的可能值，从而可得参数范围．【小问1详解】SKIPIF1<0是偶函数，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；【小问2详解】若选①②，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是增函数，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0不恒成立，不合题意，若SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒成立，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是减函数，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是增函数，又SKIPIF1<0是增函数，因此SKIPIF1<0在定义域内不是增函数，不合题意．故不存在SKIPIF1<0满足题意；若选①③，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是增函数，若SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒成立，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是减函数，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是增函数，又SKIPIF1<0是增函数，因此SKIPIF1<0在定义域内不是增函数，不合题意．故不存在SKIPIF1<0满足题意；要满足①，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0．若选②③，若SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不恒成立，只有SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒成立，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是减函数，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是增函数，要满足③，若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；综上SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．20.对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为SKIPIF1<0，若集合A中只有一个元素，则SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值，并写出取最大值时的一组SKIPIF1<0；（3）若集合SKIPIF1<0的非空真子集SKIPIF1<0两两元素个数均不相同，且SKIPIF1<0，求n的最大值.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（3）n的最大值为11【解析】【分析】（1）根据新定义即可求出；（2）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且要使得SKIPIF1<0取到最大，则只需SKIPIF1<0中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分