新教材适用2023-2024学年高中数学第1章预备知识4一元二次函数与一元二次不等式4.1一元二次函数课件北师大版必修第一册

4.1

一元二次函数自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析随

堂

练

习课标定位素养阐释1.熟悉配方法,理解a,b,c(或a,h,k)对二次函数图象的作用.2.理解由y=ax2到y=a(x+h)2+k的图象变换方法.3.能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式.4.掌握二次函数的性质.5.体会抽象概括的过程,加强直观想象素养的培养.

自主预习·新知导学一、配方法与一元二次函数【问题思考】1.y=4x2-4x-1如何配方?你能由此求出方程4x2-4x-1=0的根吗?3.若抛物线y=x2-(m-2)x+m+3的顶点在y轴上,则m的值为(

).A.-3 B.3

C.-2 D.2答案:D二、一元二次函数图象的变换【问题思考】1.y=2x2和y=2(x+1)2+3的图象之间有什么关系?提示:由y=2x2的图象经过向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度可以得到函数y=2(x+1)2+3的图象.2.一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是一条抛物线,可以由y=ax2(a≠0)的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到.3.将一元二次函数y=2x2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),得到的新图象对应的函数解析式是(

).A.y=x2 B.y=2x2+2C.y=4x2 D.y=2x2-2解析:将一元二次函数y=2x2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),得到的新图象对应的函数解析式为y=4x2.答案:C三、一元二次函数解析式的三种形式【问题思考】1.我们知道y=x2-2x=(x-1)2-1=x(x-2),那么点(1,-1),数0,2与y=x2-2x有什么关系?提示:点(1,-1)是函数y=x2-2x的图象的顶点,0和2是函数y=x2-2x的图象与x轴的交点的横坐标.2.(1)一元二次函数的一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).(2)如果已知一元二次函数图像的顶点坐标为(-h,k),则可将一元二次函数设为y=a(x+h)2+k(a≠0).(3)如果已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2(即抛物线与x轴交点的横坐标),可设一元二次函数为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).3.一元二次函数图象的顶点坐标是(2,3),且图象经过点(3,1),则这个一元二次函数的解析式为

.

解析:设y=a(x-2)2+3,则当x=3时,有a(3-2)2+3=a+3=1,解得a=-2,所以y=-2(x-2)2+3.答案:y=-2(x-2)2+3四、一元二次函数的性质【问题思考】1.2.已知函数y=x2+2(2a-1)x+2,在区间(-∞,7]上,函数值y随自变量x的增大而减小,则实数a的取值范围是(

).A.(-∞,-3)

B.(-3,+∞)C.(-∞,-3] D.[-3,+∞)解析:由函数y=x2+2(2a-1)x+2在区间(-∞,7]上的函数值y随自变量x的增大而减小,得-(2a-1)≥7,所以a≤-3.答案:C【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)一元二次函数y=2x2与y=-2x2的图象开口大小相同,开口方向相反.(

√

)(2)函数y=2(x-1)2+1的图象可由函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到.0(

√

)

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究一

求一元二次函数的解析式【例1】

已知一元二次函数的图象过点(2,-1)和(-1,-1),且它的最大值为8,求一元二次函数的解析式.解法2:利用一元二次函数的两根式.由已知得y+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设一元二次函数的解析式为y+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即y=ax2-ax-2a-1(a≠0).解得a=-4.故所求一元二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7.求一元二次函数的解析式,应根据已知条件的特点,灵活选取解析式的最佳形式,利用待定系数法求解.当已知抛物线上任意三点时,设一般式;已知抛物线的顶点坐标常设顶点式;已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时,常设两根式.【变式训练1】

已知一元二次函数的图象的对称轴是直线x=-1,并且经过点(1,13)和(2,28),求一元二次函数的解析式.探究二

一元二次函数的图象【例2】

(1)抛物线y=2(x-1)2+3可以看作是由抛物线y=2x2经过以下哪种变换得到的(

).A.先向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度B.先向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度C.先向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度D.先向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度(2)(多选题)已知一元二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分如图,则下列结论正确的是(

).A.b2>4ac

B.2a-b=1C.a-b+c=0

D.3a<b解析:(1)因为抛物线y=2(x-1)2+3的顶点坐标为(1,3),抛物线y=2x2的顶点坐标为(0,0),所以抛物线y=2(x-1)2+3可以看作由抛物线y=2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度得到.(2)由题意可知,函数图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确;因为图象的对称轴为直线x=-1,所以

=-1,所以2a-b=0,B错误;由题中图象可知,当x=-1时,y>0,故有a-b+c>0,C错误;由b=2a,且图象开口向下,a<0,得3a<2a=b,D正确.答案:(1)B

(2)AD一元二次函数的图象问题的解题策略(1)图象平移问题按以下三步完成第一步,将函数解析式化为y=a(x-h)2+k的形式.第二步,分清由哪个函数变换为另一个函数.第三步,判定h与k的变化,按“左加右减,上加下减”的规则平移.(2)一元二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与系数的关系开口方向决定a的符号,图象与y轴交点的纵坐标决定c的大小,对称轴位置决定

的大小,图象与x轴的交点个数决定了判别式b2-4ac的大小.【变式训练2】

(多选题)已知一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论正确的有(

).A.ab<0

B.b2>4acC.a+b+c<0

D.3a+c<0答案:ABC探究三

一元二次函数的最值【例3】

已知函数y=x2-4x-4,x∈[3,4],求函数的最值.解:y=x2-4x-4=(x-2)2-8的图象开口向上,对称轴为直线x=2,所以当x∈[3,4]时,函数y=x2-4x-4的函数值y随自变量x的增大而增大,所以当x=3时,函数取得最小值9-12-4=-7,当x=4时,函数取得最大值16-16-4=-4.1.本例中将“[3,4]”改为“[-3,4]”,其他条件不变,求函数的最值.解:在区间[-3,2]上,y=x2-4x-4=(x-2)2-8的函数值y随自变量x的增大而减小,在区间[2,4]上,函数值y随自变量x的增大而增大,所以函数的最小值为-8.又因为当x=-3时,y=17,当x=4时,y=-4,所以函数的最大值为17.2.已知函数

,若对任意的x∈[1,+∞),y>0恒成立,试求实数a的取值范围.解法1:y>0对任意的x∈[1,+∞)恒成立,等价于x2+2x+a>0对任意的x∈[1,+∞)恒成立.设y1=x2+2x+a,x∈[1,+∞),则问题转化为y1>0在区间[1,+∞)上恒成立,又在区间[1,+∞)上,函数值y1随自变量x的增大而增大,从而y1的最小值为3+a.于是当且仅当3+a>0,即a>-3时,y1>0在区间[1,+∞)上恒成立,故实数a的取值范围是(-3,+∞).解法2:y>0对任意的x∈[1,+∞)恒成立,等价于x2+2x+a>0对任意的x∈[1,+∞)恒成立,即a>-x2-2x对x≥1恒成立.令μ=-x2-2x=-(x+1)2+1,在区间[1,+∞)上函数值μ随自变量x的增大而减小,所以当x=1时,μ取得最大值,且μmax=-3.因此a>-3.故实数a的取值范围是(-3,+∞).易

错

辨

析忽视对参数的讨论致误【典例】

已知一元二次函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值3,求实数a的值.错解

由题意,可知该函数的图象为开口向下的抛物线,对称轴为直线x=a,所以当x=a时,y取最大值,ymax=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1.综上所述,a=2或a=-1.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:本题错解中有两处错误:(1)忽视了函数在区间[0,1]上有最大值3;(2)没有讨论对称轴是不是在区间[0,1]上.正解:由题意,可知该函数的图象的对称轴为直线x=a,当a≤0时,在区间[0,1]上函数值y随自变量x的增大而减小,则函数在x=0处取得最大值,即ymax=1-a=3,得a=-2,满足a≤0,所以a=-2符合条件;当0<a<1时,在区间[0,a]上函数值y随自变量x的增大而增大,在区间[a,1]上函数值y随自变量x的增大而减小,则函数在x=a处取得最大值,即ymax=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1,又0<a<1,所以a=-1或a=2都不符合条件;当a≥1时,在区间[0,1]上函数值y随自变量x的增大而增大,则函数在x=1处取得最大值,即ymax=-1+2a+1-a=3,解得a=3满足a≥1,所以a=3符合条件.综上所述,a=-2或a=3.这是定区间,动对称轴问题,需对它们的关系进行讨论,分对称轴在区间的左、中、右三种情形讨论,确定实数a的值.【变式训练】

已知一元二次函数y=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:其图象的对称轴为直线x=1,且方程ax2+bx=2x有两个相等的实数根.求:(1)函数y=ax2+bx的解析式;(2)函数y=ax2+bx在区间[0,t]上的最大值.解:(1)∵方程y=2x有两个相等的实数根,即ax2+(b-2)x=0(a≠0)有两个相等的实数根,∴Δ=(b-2)2=0,解得b=2.又已知直线x=1是函数y=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)图象的对称轴,∴所求函数的解析式为y=-x2+2x.(2)∵函数y=-x2+2x的图象的对称轴为直线x=1,又x∈[0,t],∴当t≤1时,在区间[0,t]上,函数值y随自变量x的增大而增大,∴函数在x=t处取得最大值,即ymax=-t2+2t;当t>1时,在区间[0,1]上,函数值y随自变量x的增大而增大,在区间[1,t]上,函数值y随自变量x的增大而减小,∴函数在x=1处取得最大值,即ymax=-1+2=1.随

堂

练

习1.在区间(-∞,2]上,一元二次函数y=-x2+bx+3的函数值y随自变量x的增大而增大,则实数b的取值范围是(

).A.{b|b≥4} B.{4}C.{b|b≤4} D.{-4}答案:A2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,给出下列结论:①抛物线经过原点;②4a+b+c=0;③a-b+c<0;④抛物线的顶点坐标为(2,b);⑤当x<2时,函数值y随自变量x的增大而增大.其中正确的是(

).A.①②③ B.③④⑤ C.①②④ D.①④⑤解析:①由题意可得,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,且抛物线与x轴的一个交点的坐标为(4,0),∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(0,0),结论①正确;②∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,且抛物线过原点,∴

=2,c=0,∴b=-4a,c=0,∴4a+b+c=0,结论②正确;③当∵x=-1和x=5时,y值相同,且均为正,∴a-b+c>0,结论③错误;④当x=2时,y=ax2+bx+c=4a+2b+c=(4a+b+c)+b=b,∴抛物线的顶点坐标为(2,b),结论④正确;⑤观察题中图象可知:当x<2时,函数值y随自变量x的增大而减小,结论⑤错误.综上,正确的结论有①②④.故选C.答案:C3.若函数y=(a-1)x2+2x+5