西藏自治区拉萨市八校2024届高中毕业班二月调研测试数学试题

西藏自治区拉萨市八校2024届高中毕业班二月调研测试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则=()A． B． C． D．2．设全集，集合，，则集合（）A． B． C． D．3．若复数满足，则的虚部为（）A．5 B． C． D．-54．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．5．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，若正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．6．集合的真子集的个数是（）A． B． C． D．7．设全集U=R，集合，则（）A． B． C． D．8．已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（）A． B．或 C． D．9．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数在上单调递增 B．函数的周期是C．函数的图象关于点对称 D．函数在上最大值是110．已知为虚数单位，复数，则其共轭复数（）A． B． C． D．11．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出的值为A． B． C． D．12．已知，则p是q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．14．如图所示梯子结构的点数依次构成数列，则________.15．已知集合，，则________.16．在等差数列（）中，若，，则的值是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，.（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）是数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列中最小的项.19．（12分）年，山东省高考将全面实行“选”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）.为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取人做调查.统计显示，男生喜欢物理的有人，不喜欢物理的有人；女生喜欢物理的有人，不喜欢物理的有人.（1）据此资料判断是否有的把握认为“喜欢物理与性别有关”；（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会.现从名男同学和名女同学（其中男女喜欢物理）中，选取名男同学和名女同学参加座谈会，记参加座谈会的人中喜欢物理的人数为，求的分布列及期望.，其中.20．（12分）某精密仪器生产车间每天生产个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布（单位：微米），且相互独立．若零件的长度满足，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为，求及的数学期望；（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．附：若随机变量服从正态分布，则．21．（12分）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并指出是何种曲线；（Ⅱ）若射线与曲线交于两点，射线与曲线交于两点，求面积的取值范围.22．（10分）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，D，E分别是，的中点，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求证：平面.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

计算，，再计算交集得到答案.【题目详解】，，故.故选：.【题目点拨】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.2、C【解题分析】∵集合，，∴点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.3、C【解题分析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【题目详解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虚部为．故选C．【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4、C【解题分析】

利用图表中的数据进行分析即可求解.【题目详解】对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.故选：C.【题目点拨】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.5、A【解题分析】

根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得的值，即可比较各选项.【题目详解】如下图所示，平面，从而平面，易知与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴，∵平面，平面，且与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴，∴结合四个选项可知，只有正确.故选：A.【题目点拨】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题.6、C【解题分析】

根据含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，计算可得；【题目详解】解：集合含有个元素，则集合的真子集有（个），故选：C【题目点拨】考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，属于基础题．7、A【解题分析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可．【题目详解】，，则，故选：A．【题目点拨】本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．8、C【解题分析】

由可得，故可求的值.【题目详解】因为，所以，故，因为正项等比数列，故，所以，故选C.【题目点拨】一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）公比时，则有，其中为常数且；（3）为等比数列（）且公比为.9、A【解题分析】

根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式；利用整体对应的方式可判断出在上单调递增，正确；关于点对称，错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，错误.【题目详解】将横坐标缩短到原来的得：当时，在上单调递增在上单调递增，正确；的最小正周期为：不是的周期，错误；当时，，关于点对称，错误；当时，此时没有最大值，错误.本题正确选项：【题目点拨】本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.10、B【解题分析】

先根据复数的乘法计算出，然后再根据共轭复数的概念直接写出即可.【题目详解】由，所以其共轭复数.故选：B.【题目点拨】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易.11、C【解题分析】

由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的，的值，当时，不满足条件，跳出循环，输出的值．【题目详解】解：初始值，，程序运行过程如下表所示：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，跳出循环，输出的值为其中①②①—②得．故选：．【题目点拨】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到，的值是解题的关键，属于基础题．12、B【解题分析】

根据诱导公式化简再分析即可.【题目详解】因为,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分条件.故选：B【题目点拨】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、C【解题分析】

根据确定是异面直线与所成的角，利用余弦定理计算得到答案.【题目详解】由题意可得.因为，所以是异面直线与所成的角，记为，故.故选：.【题目点拨】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.14、【解题分析】

根据图像归纳，根据等差数列求和公式得到答案.【题目详解】根据图像：，，故，故.故答案为：.【题目点拨】本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.15、【解题分析】

利用交集定义直接求解．【题目详解】解：集合奇数，偶数，．故答案为：．【题目点拨】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．16、-15【解题分析】

是等差数列，则有，可得的值，再由可得，计算即得.【题目详解】数列是等差数列，，又，，，故.故答案为：【题目点拨】本题考查等差数列的性质，也可以由已知条件求出和公差，再计算.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）取的中点为，连结，易证四边形为平行四边形，即，由于，为的中点，可得到，从而得到，即可证明平面，从而得到；（Ⅱ）易证，，两两垂直，以，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，设与平面所成角为，则，即可得到答案．【题目详解】解：（Ⅰ）取的中点为，连结.由是三棱台得，平面平面，从而.∵，∴，∴四边形为平行四边形，∴.∵，为的中点，∴，∴.∵平面平面，且交线为，平面，∴平面，而平面，∴.（Ⅱ）连结.由是正三角形，且为中点，则.由（Ⅰ）知，平面，，∴，，∴，，两两垂直.以，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，，∴，，.设平面的一个法向量为.由可得，.令，则，，∴.设与平面所成角为，则.【题目点拨】本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题．18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由可得出，两式作差可求得数列的通项公式；（2）求得，利用数列的单调性的定义判断数列的单调性，由此可求得数列的最小项的值.【题目详解】（1）对任意的，由得，两式相减得，因此，数列的通项公式为；（2）由（1）得，则.当时，，即，；当时，，即，.所以，数列的最小项为.【题目点拨】本题考查利用与的关系求通项，同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19、（1）有的把握认为喜欢物理与性别有关；（2）分布列见解析，.【解题分析】

（1）根据题目所给信息，列出列联表，计算的观测值，对照临界值表可得出结论；（2）设参加座谈会的人中喜欢物理的男同学有人，女同学有人，则，确定的所有取值为、、、、．根据计数原理计算出每个所对应的概率，列出分布列计算期望即可．【题目详解】（1）根据所给条件得列联表如下：男女合计喜欢物理不喜欢物理合计，所以有的把握认为喜欢物理与性别有关；（2）设参加座谈会的人中喜欢物理的男同学有人，女同学有人，则，由题意可知，的所有可能取值为、、、、．，，，，.所以的分布列为：所以.【题目点拨】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的概率分布列．离散型随机变量的期望．属于中等题．20、（1）见解析（2）需要，见解析【解题分析】

（1）由零件的长度服从正态分布且相互独立,零件的长度满足即为合格,则每一个零件的长度合格的概率为,满足二项分布,利用补集的思想求得,再根据公式求得；（2）由题可得不合格率为,检查的成本为,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断.【题