新教材适用2023-2024学年高中数学第7章概率测评北师大版必修第一册

第七章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列关于古典概型的说法正确的是().①试验中所有可能出现的样本点个数是有限的;②每个事件出现的可能性相等;③每个样本点出现的可能性相等;④样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则P(A)=knA.②④ B.①③④C.①④ D.③④答案:B2.已知事件A,B,若P(A)=15,P(B)=12,P(A∪B)=710,则A,B之间的关系一定为(A.两个任意事件B.互斥事件C.互斥但不对立事件D.非对立事件解析:因为P(A)+P(B)=15+12=710=P(A∪B),所以A,B之间的关系可能为互斥事件,但A,B一定不是对立事件.因为P(A)答案:D3.已知定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的四个函数y1=x-1,y2=x2,y3=3x,y4=3x,从四个函数中任取两个函数相乘,所得函数为奇函数的概率是().A.12 B.13 C.35答案:B4.西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例,勾三,股四,弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年,我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数(a,b,c)称为勾股数.现从(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(9,12,15),(10,24,26),(15,20,25),(15,36,39)这10组勾股数中随机抽取1组,则被抽出的这组勾股数满足2b=a+c的概率为().A.25 B.79 C.78解析:从这10组勾股数随机抽取1组,共10种抽取方法,其中满足2b=a+c的有(3,4,5),(6,8,10),(9,12,15),(15,20,25),共4种,故所求概率P=410答案:A5.口袋内装有一些大小、质地相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是().A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7答案:C6.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,他们“心有灵犀”的概率为().A.19 B.29 C.718解析:首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a-b|≤1.由于a,b∈{1,2,3,4,5,6},则满足要求的事件可能的结果有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16种,而依题意得样本空间的样本点总数为36.因此他们“心有灵犀”的概率为1636=49答案:D7.有两张卡片,一张的正反面分别画着老鼠和小鸡,另一张的正反面分别画着老鹰和蛇,现在有两个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上,不考虑顺序,则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是().A.12 B.13 C.14答案:C8.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是().A.318 B.418 C.518解析:正方形四个顶点可以确定6条直线,甲、乙各自任选一条共有36个样本点.两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和1组对角线),所以包含10个样本点.故所求概率为518答案:C二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.从装有白球、红球和黑球各两个的口袋内一次取出两球,这些球除颜色外均相同.则下列事件能与事件“两球都为白球”互斥而非对立的为().A.两球都不是白球B.两球恰有一个白球C.两球至少有一个白球D.两球都为黑球解析:从装有白球、红球和黑球各两个的口袋内一次取出两个球,所有的样本点为白白,白红,白黑,红红,红黑,黑黑.除“两球都不是白球”外,还有其他事件可能发生,故A与“两球都为白球”互斥但不对立.B,D符合,理由同上.两球至少有一个白球,其中包含两个都是白球,故不互斥,故C不符合.答案:ABD10.在五件产品中,有三件一等品和两件二等品,从中任取两件,以710为概率的事件不可能是()A.恰有一件一等品B.至少有一件一等品C.至多有一件一等品D.都不是一等品解析:将三件一等品编号为1,2,3,两件二等品编号为4,5,从中任取两件有10种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰有一件一等品的取法有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),故恰有一件一等品的概率P1=35;恰有两件一等品的取法有(1,2),(1,3),(2,3),故恰有两件一等品的概率P2=310,其对立事件是“至多有一件一等品”,概率P3=1-P2=1-310=710.则至少有一件一等品的概率是P4=P1+P2=910,都不是一等品的概率是P5答案:ABD11.下面说法正确的有().A.若P(A)+P(B)=1,则事件A与B是对立事件B.若P(AB)=P(A)P(B),则事件A与B是相互独立事件C.若事件A与B是互斥事件,则A与B也是互斥事件D.若事件A与B是相互独立事件,则A与B也是相互独立事件解析:对于A选项,要使A,B为对立事件,除P(A)+P(B)=1还需满足P(AB)=0,即A,B不能同时发生,所以A选项错误.对于B选项,根据相互独立事件的知识可知,B选项正确.对于C选项,A包含于B,所以A与B不是互斥事件,所以C选项错误.对于D选项,根据相互独立事件的知识可知,D选项正确.故选BD.答案:BD12.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取50名学生的成绩作为样本,得到频率分布表如下:组号分组频数频率第一组[230,235)80.16第二组[235,240)①0.24第三组[240,245)15②第四组[245,250)100.20第五组[250,255]50.10合计501.00以下结论正确的有().A.表中①位置的数据是12B.表中②位置的数据是0.30C.在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取6名学生进行第二轮考核,则第三组抽取2人D.在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取的6名学生中录取2名学生,则2人中至少有1名是第四组的概率为0.5解析:①位置的数据为50-(8+15+10+5)=12,正确;②位置的数据为1550=0.30,B正确;由分层随机抽样得,第三、四、五组参加第二轮考核的人数分别为3,2,1,C错误;设抽取的6人为a,b,c,d,e,f(其中第四组的两人分别为d,e),则从6人中任取2人的所有情况为ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15种.记“2人中至少有1名是第四组的”为事件A,则事件A所含的样本点的个数为9.所以P(A)=915=35,故2人中至少有1名是第四组的概率为35答案:AB三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.口袋中装有100个大小、质地相同的红球、白球、黑球,其中红球45个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为.

解析:摸出红球的概率为45100=0.45,因为摸出红球、摸出白球和摸出黑球两两互斥,因此摸出黑球的概率为1-0.45-0.23=0.32答案:0.3214.甲、乙两人玩“剪刀、石头、布”游戏,随机出手一次,则甲不输的概率是.

解析:画出树状图,如图所示.从树状图可以看出,所有可能的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜)=13;P(平局)=13,则玩一局甲不输的概率是答案:215.口袋里装有5个球,分别标记1,2,3,4,5这5个号码,设号码为x的球的质量为(x2-5x+30)克,这些球以同等的机会(不受质量的影响)从口袋里取出.若同时从袋内任意取出2个球,则它们的质量相等的概率是.

解析:设取出的2个球的号码分别为m,n(m≠n),则有m2-5m+30=n2-5n+30,所以m+n=5.而从5个球中任意取2个球的样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},样本点总数为10.符合题意的只有两种,即2个球的号码分别是1,4或2,3.所以所求概率P=210答案:116.小丽和小明一起用A,B两枚质地均匀的小正方体(正方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏,记小丽掷出A正方体朝上的数字为x,小明掷出B正方体朝上的数字为y,那么他们各掷一次所确定的点P(x,y)落在抛物线y=-x2+4x上的概率为.

解析:小丽掷A正方体一次,小明掷B正方体一次,出现的结果(x,y)有36种可能,易得在抛物线y=-x2+4x上的点有(1,3),(2,4),(3,3),共3种.因此所求的概率为336答案:1四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)对一批U盘进行抽检,结果如下表:抽取件数a50100200250400500次品件数b345589次品率b(1)计算表中各次品率;(2)从这批U盘中任取一个是次品的概率约是多少?解:(1)表中次品率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.02,0.02,0.018.(2)由(1)计算得到的次品率知,当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.18.(12分)随机地排列数字1,5,6得到一个三位数,计算下列事件的概率:(1)所得的三位数大于400;(2)所得的三位数是偶数.解:随机排列数字1,5,6可得三位数:156,165,516,561,615,651,共6个.设“所得的三位数大于400”为事件A,“所得的三位数是偶数”为事件B.由古典概型的概率公式可得(1)P(A)=46(2)P(B)=2619.(12分)已知关于x的一元二次方程x2-2(a-2)x-b2+16=0,若a,b是一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次所得到的点数,求方程有两个不相等的正实数根的概率.解:样本空间的样本点共有36个,且a,b∈{1,2,3,4,5,6}.方程有两个不相等的正实数根等价于a-2>0,16-b2>0,Δ>0,即a>2,-4<b<4,(a-2)2+b2>16.设“一元二次方程有两个不相等的正实数根”为事件A,则事件A所包含的样本点为(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),共4个.故所求概率为P(A)=43620.(12分)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45,且各株大树是否成活互不影响,求移栽的4株大树中,解:设Ak表示第k株甲种大树成活,k=1,2,Bl表示第l株乙种大树成活,l=1,2,则A1,A2,B1,B2相互独立,且P(A1)=P(A2)=56,P(B1)=P(B2)=4至少有1株成活的概率P=1-1-21.(12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据(单位:人)如下表:参加演讲社团情况参加书法社团情况参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.解:(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15(人),所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P1=1545(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,样本空间Ω={(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A5,B1),(A5,B2),(A5,B3)},共15个样本点.根据题意,这些样本点的出现是等可能的.事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的样本点有(A1,B2),(A1,B3),共2个.因此A1被选中且B1未被选中的概率为P2=21522.(12分)如图,甲、乙是两个可以自由转动的转盘,甲转盘被等分成3个扇形,乙转盘被等分成4个扇形,每一个扇形上都标有相应的数字.小明和小红利用它们做游戏,游戏规则是:同时转动两个转盘,当转盘停止后,指针所指区域内的数字之和小于9,小明获胜;指针所指区域内的数字之和等于9,为平局;指针所指区域内的数字之和大于9,小红获胜(如果指针恰好指在分割线上,那么再转一