新教材适用2023-2024学年高中数学第5章函数应用1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性课后训练北师大版必修第一册

1.1利用函数性质判定方程解的存在性课后训练巩固提升一、A组1.已知函数f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在区间(1,2)上零点的个数为().A.至多有一个 B.有一个或两个C.有且仅有一个 D.一个也没有解析:若a=0,则f(x)=bx+c是一次函数,由f(1)·f(2)<0得零点只有一个;若a≠0,则f(x)=ax2+bx+c为一元二次函数,若f(x)在区间(1,2)上有两个零点,则必有f(1)·f(2)>0,与已知矛盾.故f(x)在区间(1,2)上有且仅有一个零点.答案:C2.函数y=x+1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是().A.-1,(-1,0) B.(-1,0),0C.(-1,0),-1 D.-1,-1解析:由y=x+1=0,得x=-1,故交点坐标为(-1,0),零点是-1.答案:C3.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),且α,β(α<β)是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系是().A.a<α<b<β B.a<α<β<bC.α<a<b<β D.α<a<β<b解析:设g(x)=(x-a)(x-b)(a<b),作出g(x)的大致图象.则f(x)的图象可看作由g(x)的图象向下平移两个单位长度得到,如图所示.由图象可知,α<a<b<β,故选C.答案:C4.函数f(x)=2x-3的零点在区间(k,k+1)内,则整数k的值为.

解析:由题意得f(k)f(k+1)=(2k-3)(2k-1)<0,解得12<k<3又因为k为整数,故k=1.答案:15.已知函数f(x)=3mx-4,若在区间[-2,0]上存在x0,使f(x0)=0,则实数m的取值范围是.

解析:因为在区间[-2,0]上存在零点x0使f(x0)=0,且f(x)单调,所以f(-2)·f(0)≤0,即(-6m-4)×(-4)≤0,解得m≤-23所以,实数m的取值范围是-∞答案:-6.若方程ax-x-a=0(a>0,且a≠1)有两个实数解,则实数a的取值范围是.

解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=ax与函数y=x+a的图象(图略),可知,当a>1时,它们有两个交点,即方程ax-x-a=0有两个实数解.当0<a<1时,它们有一个交点,即方程有一个实数根.故实数a的取值范围是(1,+∞).答案:(1,+∞)7.已知关于x的方程x2-2x+a=0.求当a为何取值范围时:(1)方程的一根大于1,另一根小于1;(2)方程的一个根在区间(-1,1)内,另一个根在区间(2,3)内;(3)方程的两个根都大于零.解:(1)结合对应函数的图象知,当方程的一根大于1,另一根小于1时,f(1)<0.由f(1)<0,得1-2+a<0,解得a<1.故a的取值范围为(-∞,1).(2)由方程一个根在区间(-1,1)内,另一个根在区间(2,3)内,得f(-1)>0,f(1)<0,(3)由方程的两个根都大于零,得Δ=4-4a≥0故a的取值范围为(0,1].8.已知函数f(x)=x2-|x|+3+a有4个零点,求实数a的取值范围.解:设g(x)=x2-|x|+3,则g(x)=x画出其图象如图.(第8题答图)函数f(x)有4个零点,即方程g(x)+a=0有4个实根,即函数y=g(x)与y=-a的图象有4个交点,由图知114<-a<3,解得-3<a<-11故实数a的取值范围为-3二、B组1.已知a是函数f(x)=3x-log13x的零点,若0<x0<a,则f(x0)的值满足(A.f(x0)<0 B.f(x0)>0 C.f(x0)=0 D.f(x0)的符号不确定解析:因为f(x)=3x-log13x=3x+log3所以f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.又因为0<x0<a,所以f(x0)<f(a)=0.故选A.答案:A2.函数y=f(x)=x2+2x-3A.1 B.2 C.3 D.4解析:画出函数f(x)=x2+2由图可知,f(x)的零点个数为2.答案:B3.函数y=f(x)与y=2x-3的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(x)的图象与直线y=x在第一象限的交点位于区间()内.A.(-2,-1) B.(2,3) C.(1,2) D.(-1,0)解析:y=2x-3的反函数为y=log2(x+3)(x>-3),即函数y=f(x)=log2(x+3)(x>-3).在同一平面直角坐标系中,画出函数f(x)=log2(x+3)(x>-3)和y=x的图象,如图,由图可得,两函数图象的交点分别位于区间(-3,-2]与区间(2,3)内,故选B.答案:B4.已知函数f(x)=x,x≤0,x2-x,x>0,若函数g(x)=f解析:令g(x)=f(x)-m=0,得f(x)=m.由题意知,函数f(x)与y=m的图象有3个交点.在同一平面直角坐标系中,画出函数f(x)与y=m的大致图象,如图.由图可知,当-14<m<0时,两函数图象有3个交点,故实数m的取值范围为-答案:-5.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.(1)写出函数y=f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求实数a的取值范围.解:(1)当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),因为y=f(x)是奇函数,所以当x∈(-∞,0)时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,所以f(x)=x(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.所以据此可画出函数y=f(x)的大致图象,如图所示.由图可得,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,实数a的取值范围是(-1,1).6.已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数.(1)求k的值;(2)若方程f(x)=log4(a·2x-a)有且仅有一个根,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x).即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,所以log44x+14x-log4(4x+1)所以(2k+1)x=0,因为x不恒为0,所以k=-12(2)由(1)知,f(x)=log4(4x+1)-12x所以f(x)=log4(a·2x-a),即log4(4x+1)-12x=log4(a·2x-a整理得log4(4x+1)=log4[(a·2x-a)2x],所以4x+1=(a·2x-a)·2x,(*)令t