清单12 数列求和（7个考点梳理题型解读提升训练）（解析版）

清单12数列求和（7个考点梳理+题型解读+提升训练）【知识导图】【考点分布图】【知识清单】一．公式法（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．（3）一些常见的数列的前n项和：①；②；③；=4\*GB3④二．几种数列求和的常用方法（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．三．常见的裂项技巧积累裂项模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）积累裂项模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）积累裂项模型3：指数型（1）（2）（3）（4）（5）（6），设，易得，于是（7）积累裂项模型4：对数型积累裂项模型5：三角型（1）（2）（3）（4），则【考点精讲】考点1：公式法例1．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【解析】（1）设的公比为，因为，所以，即，解得或（舍去），故的通项公式为.（2）由（1）知，设的前项和为，则.例2．（2023·湖南·高二校联考期中）等差数列满足，，前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)求的最大值.【解析】（1）设首项为，公差为，因为等差数列满足，，所以，解得，所以；（2）因为当时，，当时，，所以的最大值为，因为，所以.例3．（2023·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）等差数列满足：首项为2，公差为是的前项和.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前项和.【解析】（1）因为数列是首项为2公差为2的等差数列，所以，即；（2）因为，所以，所以是以2为首项2为公比的等比数列，所以，所以考点2：错位相减法例4．（2023·吉林长春·高二长春市解放大路学校校考期末）已知数列满足，且数列的前n项和.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.【解析】（1）因为，所以，故为公差为2的等差数列，中，令得，解得，则；（2），故①，则②，两式①②得，故.例5．（2023·河南开封·高二校考期中）已知等差数列的前项和．(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和；【解析】（1）因为，当时，，当时，，所以．显然当时，依然成立，∴数列的通项公式为．（2）由（1）知，则，，所以，所以．例6．（2023·宁夏中卫·高二中宁一中校考阶段练习）已知数列，满足(1)证明：为等差数列，并求通项公式；(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．【解析】（1）因为，所以两边同除以得：，即，又因为，所以的首项，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以（2）由题意知，，所以，，两式相减得，，所以＝，因为数列中每一项均有，所以为递增数列，所以，因为，所以，所以，所以考点3：分组求和法例7．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）已知递增的等差数列和等比数列满足.(1)求和的通项公式；(2)若，求的前项和.【解析】（1）由已知，，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意，解得或（舍去），所以，；（2）由（1）．例8．（2023·北京·高二校联考期中）已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列.(1)求数列和的通项公式；(2)求的通项公式和前项和.【解析】（1）设等比数列的公比为，因为，，所以，即，设等差数列公差为，因为，，所以，即.（2）因为，所以,由（1）可得，设前项和为，.例9．（2023·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考阶段练习）已知数列，满足，，且是公差为1的等差数列，是公比为2的等比数列．(1)求，的通项公式；(2)求的前n项和．【解析】（1）根据题意，可得，所以，，所以，所以，，（2）由（1）知，，．考点4：裂项相消法例10．（2023·重庆·高二重庆一中校考期中）已知数列中，，为等差数列，它的前n项和为，满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，证明：．【解析】（1）由条件知，，，所以数列是公比为2的等比数列，又由得，由得，联立以上两个方程解得.（2）由（1）知，则，例11．（2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中）已知等差数列中，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)，求数列的前项和．【解析】（1）因为为等差数列，设公差为，又因为成等比数列，即，即，解得，所以；（2），所以.例12．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列为非零数列，且满足.(1)求及数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，且满足，证明：.【解析】（1）因为①所以当时，，解得，当时，②，由①②得，即，又满足上式，所以.（2）证明：因为，所以.例13．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）在数列中，且.(1)求的通项公式；(2)设，若的前项和为，证明：.【解析】（1）由，两边同除以，可得，即，因为，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，可得，所以，即数列的通项公式为.（2）由，可得，所以数列的前项和为，因为，可得，即.考点5：倒序相加法例14．（2023·高二校考课时练习）在数列中，，则…的值是.【答案】1005【解析】由得，所以，所以,相加可得,故答案为：1005例15．（2023·安徽蚌埠·高二蚌埠二中校考阶段练习）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得．【答案】2022【解析】由，令，则，两式相加得：，∴．故答案为：2022例16．（2023·江西萍乡·统考二模）已知函数，等差数列满足，则．【答案】/【解析】.依题意是等差数列，令，，结合等差数列的性质，两式相加得.故答案为：.例17．（2023·高二课时练习）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）若函数，令，求数列的前2020项和．【解析】（1）∵点均在函数的图象上，∴．当时，；当时，，适合上式，∴．（2）∵，∴．又由（1）知，∴．∴，①又，②①+②，，∴．考点6：并项求和例18．（2023·江苏苏州·高三统考期中）已知为数列的前项和，，．(1)求的通项公式；(2)若，，求数列的前项和．【解析】（1）法一:当时，，即，由，得，由，得，两式相减得：．又，满足上式．所以当时，，又当时，，两式相减得：，所以数列的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，所以（n为奇数），数列的偶数项是以为首项，4为公差的等差数列，所以（n为偶数），所以，即的通项公式是．法二：因为，所以，同理可得，故，因为，所以，即，当时，，当时，适合上式，所以的通项公式是.（2）因为，故当时，①，当时，②，①、②两式相减得：，因为，，所以，因为，所以当为奇数时，，当为偶数时，，所以，所以；当n为偶数时，,当n为奇数时，，综上，.例19．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考期中）已知数列各项均为正数，且，.(1)证明：为等差数列，并求出通项公式；(2)设，求.【解析】（1）因为，所以，，因为数列各项均为正数，即，所以，，即数列为等差数列，公差为，首项为.所以.（2）由（1）知，其公差为，所以，所以，.例20．（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）设数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，且，设，求数列的前项和．【解析】（1）已知，，则当时，，则有当时，，也适合上式，∴．（2）∵，且，

∴，∴数列是等比数列，又，∴公比，∴，∴，∴考点7：数列奇偶项求和例21．（2023·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）数列满足，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【解析】（1）∵，，则，∴，两式相除得：，当时，，∴，即，当时，，∴，即，综上所述，的通项公式为：；（2）由题设及（1）可知：，例22．（2023·湖北襄阳·高二校考期末）已知数列满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【解析】（1）由，得，又，故，所以，即，故又，所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列，所以，故数列的通项公式为；（2），设，其前n项和为，则，，所以，所以，且，所以.例23．（2023·北京海淀·高一清华附中校考期末）已知首项为0的无穷等差数列中，，，成等比数列.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前2n项和.【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，即，即，解得或.若，则，则，不能是等比数列中的项，故不符合题意.所以，,可得，，符合，，成等比数列，所以.（2），所以.所以.【提升练习】1．（2023·江西景德镇·高一统考期中）已知函数，则．【答案】4043【解析】由题意，函数，可得，设，则两式相加，可得，所以.故答案为：.2．（2023·山东青岛·高二统考期中）已知非零数列满足.(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和.【解析】（1）由题意，且，且，所以，因为，所以，所以是首项为9，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，因为，所以，所以.3．（2023·甘肃临夏·高二校联考期中）已知数列，且.(1)求的通项公式；(2)设，若的前n项和为，求.【解析】（1）因为，所以，其中，故是首项为1，公比为2的等比数列，故，所以；（2），所以①，故②，两式相减得，，故.4．（2023·江苏南通·高二校考期中）已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求．【解析】（1）由，得，则当时，，所以，当时，上式成立，所以；（2）由（1）知①，②，①②得，，．5．（2023·安徽黄山·高二统考期末）已知是公差不为的等差数列的前项和，是与的等比中项，.(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前项和.【解析】（1）设数列的公差为d，由是与的等比中项，则，所以，且，整理得①，又，整理得②，由①②解得，，所以.（2）由（1）知，，则，所以两式相减得，所以.6．（2023·全国·高二课堂例题）求数列，，，…，，…的前n项和．【解析】由题意可得：，所以.7．（2023·江苏盐城·高二校考期中）记为数列的前项和，为数列的前项和，若且.(1)证明：数列是等比数列；(2)若成立，求的最小值.【解析】（1）由可得，即，即，而，所以是以3为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）知，即，由可得，整理可得，解得，因为，所以的最小值为5．8．（2023·甘肃临夏·高二校联考期中）已知是数列的前n项和，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【解析】（1），，，两式相减得，，整理得，，又，即，，又符合上式，所以数列的通项公式为.（2）由（1），所以，当时，，，当时，令，，所以数列的前n项和.9．（2023·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期中）已知数列的前项和为，满足．(1)求数列的通项公式；(2)记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围．【解析】（1）因为数列的前n项和满足，当时，，两式相减得：，即，当时，，解得：，可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由（1）可知：，所以，对任意的，不等式都成立，即，化简得：，设，因为，所以单调递减，则，所以，所以实数k的取值范围是．10．（2023·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.【解析】（1）当时，，得，当时，，则，，即，两边同时除以，得，即数列是首项为，公差为1的等差数列，，即，所以数列的通项公式；（2），即，，，即，随着的增大，增大，所以的最小值为，随着的增大，无限接近1，所以.11．（2023·福建漳州·高二校考期中）已知等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.(3)，求数列的前项和.【解析】（1）设等差数列的公差为，由，可得，即，即，则，解得，所以；（2）由（1）可得：所以（3）因为，当为奇数时，，所以；当为偶数时，，.12．（2023·高二课时练习）已知，求.【解析】因为，所以，所以.令，倒写得.两式相加得，故.13．（2023·全国·高三专题练习）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．(1)求证：点的纵坐标为定值；(2)若且求；【解析】（1）证明：设，因为，故可得，由知，故，故.故点的纵坐标为定值.（2）由（1）知，两式相加得：，故.14．（2023·甘肃白银·高二校考阶段练习）递增的等差数列中的前n项和为，且成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前40项的和.【解析】（1）设公差为且，又，则，由，所以，故，则.（2）由（1）知：，则，所以.15．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）已知各项均为正数的数列满足：，．(1)求数列的通项公式；(2)若，记数列的前项和为，求．【解析】（1）因为各项为正数，，所以上式两边同时除以，得，令，则，即，解得（负值舍去），所以，又，所以是以，的等比数列，故.（2），当时，，当时，，当时，，当时，，根据三角函数周期性知的周期为4，则16．（2023·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）已知数列的前n项和为，满足，且是2与的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【解析】（1）因为是2与的等差中项，所以，①当时，，②①－②得：，∴，又，∴是以2为首项，2为公比的等比数列．∴；（2）因为，当n为偶数时，．当n为奇数时，，综上所述：数列的前n项和为．17．（2023·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，且，求的值.【解析】法一：由可得：当n为奇数时，，，两式相减可得：，所以.当n为偶数时，，，两式相加可得：，所以，，所以.法二：因为，所以，，，，，，，所以.18．（2023·江苏苏州·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．【解析】（1）依题意，设数列的公差为，因为，所以，则，因为，即，所以，