2024年北京市衡中清大教育集团高三数学第一学期期末调研模拟试题含解析

2024年北京市衡中清大教育集团高三数学第一学期期末调研模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（）A．13 B．12．公元前世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了米，此时乌龟便领先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米，当阿基里斯跑完下-个米时，乌龟先他米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（）A．米 B．米C．米 D．米3．设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为A． B．C． D．4．已知数列是公比为的正项等比数列，若、满足，则的最小值为（）A． B． C． D．5．（）A． B． C． D．6．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大.武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为（）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（）A． B． C． D．7．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A． B． C． D．8．已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：对任意都有零点；则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．9．给出下列三个命题：①“”的否定；②在中，“”是“”的充要条件；③将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．其中假命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．310．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（）A． B． C． D．11．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为()A． B． C．6 D．与点O的位置有关12．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X近似服从正态分布，且．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（）A．40 B．60 C．80 D．100二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的常数项为_______．14．展开式中的系数为_______________．15．如图，在等腰三角形中，已知，，分别是边上的点，且,其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是_____.16．已知平面向量，，且，则向量与的夹角的大小为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）△的内角的对边分别为,且．(1)求角的大小(2)若,△的面积,求△的周长．18．（12分）如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，平面．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．19．（12分）如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.20．（12分）团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务，市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.（1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；（2）从所调查的50家商家中任取两家，用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望；（3）将频率视为概率，现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为，试求事件“”的概率.21．（12分）数列满足，，其前n项和为，数列的前n项积为.（1）求和数列的通项公式；（2）设，求的前n项和，并证明：对任意的正整数m、k，均有.22．（10分）已知函数.（1）若对任意x0，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1x2），证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

每一次成功的概率为p=26=【详解】每一次成功的概率为p=26=13故选：C.【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.2、D【解析】

根据题意，是一个等比数列模型，设，由，解得，再求和.【详解】根据题意，这是一个等比数列模型，设，所以，解得，所以.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题.3、B【解析】

由题意知且，结合数轴即可求得的取值范围.【详解】由题意知，，则，故，又，则，所以，所以本题答案为B.【点睛】本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定中的元素是解题的关键，属于基础题.4、B【解析】

利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得再根据此范围求的最小值．【详解】数列是公比为的正项等比数列，、满足，由等比数列的通项公式得，即，，可得，且、都是正整数，求的最小值即求在，且、都是正整数范围下求最小值和的最小值，讨论、取值.当且时，的最小值为.故选：B．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题．5、A【解析】

分子分母同乘,即根据复数的除法法则求解即可.【详解】解:,故选:A【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.6、A【解析】

根据题意分别求出事件A：检测5个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件B：检测6个人确定为“感染高危户”发生的概率,即可得出的表达式,再根据基本不等式即可求出.【详解】设事件A：检测5个人确定为“感染高危户”,事件B：检测6个人确定为“感染高危户”,∴,.即设,则∴当且仅当即时取等号,即.故选：A．【点睛】本题主要考查概率的计算,涉及相互独立事件同时发生的概率公式的应用,互斥事件概率加法公式的应用,以及基本不等式的应用,解题关键是对题意的理解和事件的分解,意在考查学生的数学运算能力和数学建模能力,属于较难题.7、C【解析】令圆的半径为1，则，故选C．8、A【解析】

先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.【详解】当时，直线和直线，即直线为和直线互相垂直，所以“”是直线和直线互相垂直“的充分条件，当直线和直线互相垂直时，，解得.所以“”是直线和直线互相垂直“的不必要条件.：“”是直线和直线互相垂直“的充分不必要条件，故是假命题．当时，没有零点，所以命题是假命题．所以是真命题，是假命题，是假命题，是假命题．故选：．【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象，考查学生对这些知识的理解掌握水平.9、C【解析】

结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.【详解】对于命题①,因为,所以“”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:中,若,则,由余弦函数的单调性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,结合余弦函数的单调性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,即命题③是假命题．故假命题有①③.故选:C【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.10、C【解析】

分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有种，进而得到结果.【详解】当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种情况，由间接法得到满足条件的情况有当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种，由间接法得到满足条件的情况有共有：种情况，不考虑限制因素，总数有种，故满足条件的事件的概率为：故答案为：C.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．11、B【解析】

根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论.【详解】如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点O在平面上，高为2，所以四棱锥的体积为，所以该几何体的体积为.故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.12、D【解析】

由正态分布的性质，根据题意，得到，求出概率，再由题中数据，即可求出结果.【详解】由题意，成绩X近似服从正态分布，则正态分布曲线的对称轴为，根据正态分布曲线的对称性，求得，所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为人，故选:.【点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

写出展开式的通项公式，考虑当的指数为零时，对应的值即为常数项.【详解】的展开式通项公式为：，令，所以，所以常数项为.

故答案为：.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，难度较易.解答问题的关键是，能通过展开式通项公式分析常数项对应的取值.14、【解析】

把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．【详解】解：，故它的展开式中的系数为，故答案为：．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15、【解析】

根据条件及向量数量积运算求得,连接,由三角形中线的性质表示出.根据向量的线性运算及数量积公式表示出,结合二次函数性质即可求得最小值.【详解】根据题意,连接,如下图所示:在等腰三角形中,已知,则由向量数量积运算可知线段的中点分别为则由向量减法的线性运算可得所以因为,代入化简可得因为所以当时,取得最小值因而故答案为:【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.16、【解析】

由，解得，进而求出，即可得出结果.【详解】解：因为，所以，解得，所以，所以向量与的夹角的大小为．都答案为：.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）；（II）．【解析】

试题分析：（I）由已知可得；（II）依题意得：的周长为．试题解析：（I）∵，∴．∴，∴，∴，∴，∴．（II）依题意得：∴，∴，∴，∴，∴的周长为．考点：1、解三角形；2、三角恒等变换．18、（1）见解析（2）【解析】

（1）根据平面，利用线面垂直的定义可得，再由，根据线面垂直的判定定理即可证出.（2）取的中点，连接，以为坐标原点，分别为正半轴建立空间直角坐标系求出平面的一个法向量，利用空间向量法即可求解.【详解】因为平面平面，所以由为等腰直角三角形，所以又，故平面.取的中点，连接，因为，所以因为平面，所以平面所以平面如图，以为坐标原点，分别为正半轴建立空间直角坐标系则，又，所以且于是设平面的法向量为，则令得平面的一个法向量设直线与平面所成的角为，则【点睛】本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角，属于中档题.19、（1）见解析（2）见解析【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连结NE.则N，E(0，0，1)，A(，，0)，M.∴＝，＝.∴＝且NE与AM不共线．∴NE∥AM.∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知＝，∵D(，0，0)，F(，，1)，∴＝(0，，1)，∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.20、（1）;（2）从而的分布列为012;（3）.【解析】

（1）运用概率的计算公式求概率分布，再运用数学期望公式进行求解；（2）借