安徽省合肥市瑶海区三十中2022年中考二模数学试题（含答案与解析）

合肥瑶海区三十中2022学年中考二模试卷

数学

（本试题共6页，满分150分考试时间120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将个人信息填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.选择题需用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其他答案标号。答案不能写在试卷上。

3.非选择题部分必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

4.答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改。不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1.在-2,-1,一3这四个数中，比一上大的数是（）

32

1

A.-2B.一一C.-1D.-3

3

2.《安徽省2021年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年安徽省全年邮政行业业务总量393.6亿

元.将393.6亿用科学记数法表示为（）

A.3.936x109B.3.936x101。C.0.3936x1010D.3.936x10"

3.如图几何体的俯视图是（）

〃—----------

,----------—

ש

\'、、、」［\O/

------------------------------------------/

4.下列各式计算的结果是的是（）

A.xkNB./-XC.(N)3D.N・x3

5.将一副三角板按如图所示的位置摆放A3〃CD,则N1的度数为（）

AB

CFD

A.45°B,60°X.75°A.105°

6.不等式组，3的解集在数轴上表示正确的是（）

2x-4>0

-202

7.4、。是两个连续整数，若〃<6-、万<匕，则〃、。分别是（）

A1,2B.2、3C.3、4D.4、5

8.如图，在AA3C中，AB=AC=2,ABAC=120°,D,E是底边8c上两点，且=

A.V3-1B.V6-V2C.D.2^2

23

9.已知a、b不同的两个实数，且满足次?＞（）、a2+b2=9-2ab＜当G—方为整数时，曲的值为

()

->2或215*939”15-

A.B.一、一或一C.一、一或2D.一、一或2

444444444

10.如图，二次函数y=℃2+历c+c的图象经过（一1,1）,且与y轴交于A点，过A点作43〃%轴交抛物

线于点B,且B点的横坐标为2,结合图象，则。的取值范围是（）

D.<«<0

16

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.分解因式X3-9X=

12.如图，正五边形ABCQE边长1,分别以点C、。为圆心，边CQ长为半径画弧，两弧交于点凡则

弧8厂长为.

k

13.如图，已知A,8是函数＞=一（x＞0）图象上的两点，点B位于点A的左侧，AM,8N均垂直于x

X

轴，垂足为点M,N,连接40,交BN于点、E,若NE=LNB,四边形AMNE的面积为2,则k的值为

3

14.在等边三角形4BC中，AB=6,D、E是8c上动点，尸是AB上的动点，且BF=BD=EC=k,连接FE

(1)当代2时，SADEF：SAABC=:

(2)取EF的中点G,连接GA、GC,则GA+GC的最小值为

三、(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)

15.V27-(--X2+(2022-^)0-2tan60°

2

16.某工厂去年的总产值比总支出多90万元，今年比去年的总产值增加10%,总支出节约20%.如果今年

的总产值比总支出多120万，那么去年的总产值和总支出分别是多少万元？

四、(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)

17.如图，在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点的坐标分别为A(0,3)、8(3,4),C(2,2)(正方形网格

中每个小正方形的边长为1个单位长度).

(1)画出AABC向下平移4个单位长度得到的△AK”点Cl的坐标是；

(2)以点B为位似中心，在网格中画出4A2B2c2,使AA282c2与4ABC位似，且位似比为2：1；

(3)求出AA28c2的面积

19.观察以下等式：

442525

第1个等式：--2=-^2；第2个等式：--5=--5；

1144

....z64c64czxz121.,121.,

第3个等式：----8=一+8；第4个等式：-----11=—+11；

771010

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第5个等式：；

(2)写出你猜想的第〃个等式：(用含〃的等式表示)，并证明.

五、(本大题共2小题，每小题10分，总计20分)

21.如图，一航船在A处测得北偏东45。方向上有一个灯塔3,航船向正东方向以10nmile/h的速度航行

1.5h到达。处时，又测到灯塔3在北偏东15°方向上.已知以灯塔3为圆心，方圆20nmile内有暗礁，

问：航船继续向正东方向航行是否有触礁危险？(参考数据：«1.732，V6»2,449)

22.如图，AB是。。的直径，ACA.AB,。是AC的中点，BC交。。于点E.

c

DE

O

(1)求证：DE与G)0相切;

(2)若4E=3、DE=2,求。。的半径长;

选手编号

□七年级□八年级

(1)根据上图填写下表

平均数(分)中位数(分)众数(分)

七年级8585

八年级80100

（2）结合两个年级选手复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个年级的复赛成绩较好.

（3）如果从两个年级参加复赛成绩的前五名选手中选出2人代表学校参加区级比赛，求正好选出是同一

个年级的选手的概率是多少？

七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）

26.某汽车公司为确定一种型号的新能源汽车在高速公路上紧急刹车后滑行的距离丫（单位：m）与刹车

时的速度大小x（单位：km/h）函数关系.测得该汽车在速度大小为40km/h时，紧急刹车后滑行的距

离为4m；速度大小为80km/h时，紧急刹车后滑行的距离为12m.已知紧急刹车后滑行的距离丁（单

位：m）与刹车时的速度大小x（单位：km/h）函数关系满足y=ax1+bx.

（1）求匕的值

（2）若两次测量中，刹车时的速度大小之差为20,滑行距离之差为6,求两次测量中，刹车时的速度大

小的平均值.

八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）

28.如图1,在AABC中，AB=AC=5、8c=8,点尸、Q分别在射线CB、AC上（点P不与C,B重

合），且保持NAPQ=NABC.

（1）若尸在线段CB上，求证：qABPs/CQ；

（2）设BP=x、CQ=y,求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）如图2,正方形ABC。的边长为5,点P、。分别在直线CB、。。上（点尸不与C、B重合），且保

持NAPQ=90°,当CQ=1时，直接写出5P的长.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1.在一2,-1,一3这四个数中，比一工大的数是（）

32

1

A.-2B.一一C.-1D.-3

3

【1题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】利用相反数，对于负数，其相反数越小则该负数越大，即可求解.

【详解】・2、-1、-3、相反数一次是2、!、1、3、工，

3232

・・•只有一V一，

32

・•・根据负数相反数越小则该负数越大，

可知比一,大的数只有―,，

23

故选：B.

【点睛】本题考查了利用相反数来比较负数大小的知识，准确求出各数相反数是解答本题关键.

2.《安徽省2021年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年安徽省全年邮政行业业务总量393.6亿

元.将393.6亿用科学记数法表示为（）

A.3.936X109B.3.936x10'°C.0.3936x1010D.3.936x10"

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为4X10"的形式，其中1<|«|<10,"为整数.确定”的值时，要看把原数变

成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】393.6亿=39360000000,用科学记数法表示为3.936X10Q

故选B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

3.如图几何体的俯视图是（）

【答案】A

【解析】

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用

实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线.

【详解】解：从上面看，底层是两个同心圆，外层是实线、内层是虚线，

故选：A.

【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

4.下列各式计算的结果是炉的是（）

A.B.ExC.（x2）3D.NR

【4题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】利用同底数塞的除法的法则，合并同类项的法则，同底数塞的乘法的法则，累的乘方的法则对各项

进行运算即可.

【详解】解：A、故不符合题意;

B、炉与一x不属于同类项，不能合并，故不符合题意；

C、（》2）3=丁，故不符合题意；

D、X2?%3%5,故符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查同底数事的除法，合并同类项，基的乘方，同底数基的乘法，解答的关键是对相应

的运算法则的掌握.

5.将一副三角板按如图所示的位置摆放8,则N1的度数为（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据得再由三角形外角性质可得N1的度数.

【详解】解：CZ），ZB=30°,

ZBFD=ZB=30°,

/.Zl=Z£>+ZBFD=45o+30°=75°,

故选：C.

【点睛】本题考查特殊直角三角形的性质、三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于

中考常考题型.

—<1

6.不等式组13的解集在数轴上表示正确的是（）

2x-4>0

-202

【6题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，最后把不等式组的解集表示在数

轴上即可.

详解】解：由胃<1得x>-2,

由2x—4..O得x..2,

则不等式组的解集为X..2.

故选：D.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表

示出来，在表示解集时要注意“〉，…”向右画，”,，，〈”向左画；“…，，，”要用实心圆点表示；

“<,〉”要用空心圆点表示.

la、人是两个连续整数，若不<b,则。分别是（）

A.1、2B.2、3C.3、4D.4、5

【7题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据J7的大小即可判断4、b的值.

【详解】解：；4<7<9，

■--3<-\/7<-2

，3<6-S<4，

,•>«<6->/7<Z?，a,是两个连续整数，

a=3,Z?=4,

故选：C.

【点睛】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数估算的方法是解题的关键.

8.如图，在AA3C中，A3=AC=2,NB4c=120°,D,E是底边8c上两点，且=

AC=CE.则线段的长等于（）

A

A.V3-1B.屈一6C.mD..

23

【8题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】过点E作防，A8于点F,易得到△A5Eg^ACO（S4S）,求出AE=A。，利用已知条件求出

NB4E=NF£4=45°,得到AF=EF，根据三角函数的定义求出所=tan30°-B/=走8尸，利用

3

+=+石尸=A8=2求出B凡进而求出E凡由勾股定理求出AE即可得到4。的长度.

【详解】解：过点E作所，AB于点凡如下图.

■:AB=AC=2,AB=BD,AC=CE>

r.AB=AC=BD-CE=2，=NC,

BE=CD.

在八钻石和ZVICD中

AB=AC

<NB=NC,

BE=CD

^ABE^ACD(SAS),

•*-AE=AD-

VZBAC=nO°,AB=AC,

/.ZB=ZC=30°.

,:AB=BD,AC^AE,

.ZBAD=ZBDA=75°,ZCAE=ZCEA=75°,

/.ZBAE=45°,

：.ZBAE=NFEA=45°,

/.AE=EF.

在用ZX8瓦'中，N8=30°,

EF

tan30°

~BF

EF=tan3Q°BF=^-BF.

3

,/BF+AF=BF+EF=AB=2,

：.tan30°BF+BF=2,

解得BP=3-8，

AF=EF=2-(3-^=y/3-1,

=J(6-iy+(百=R-6,

•••AD=AE=瓜一日

故选：B.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的的判定和性质，等腰直角三角形的判定

和性质，三角函数的定义，勾股定理.作出辅助线，构建直角三角形是解答关键.

9.已知a、b不同的两个实数，且满足必>0、a2+b2=9-2ab>当a-8为整数时,ab的值为

)

5-915“939513或2

A二、2或二B,一、一或一C.一、一或2D.-

44444444

【9题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据a?+b2=9-2ab得a+Z?=±3,再根据/>0,可知a、同号，即aX）、b>0或者a<0、

bVO；再分a+A=3和。+。=一3两种情况讨论：第一种：。+。=3时即有aX）、匕>0,由a+Z?=3得

。=3-比>0,再结合b>0即可得到人的取值范围，同样也可得到a的取值范围，再求出a-6取值范围,

(a+b)2-(a-b)2

又因为则可确定出G-力有哪些可取的值，即可确定（a-值，再根据。匕=即

4

可求出此时的值；第二种：a+b=-3,依照a+h=3的解答方法同样可求出。人的值，两种情况综合起

来问题得解.

【详解】由/+b2=9-2ab，得a+b=±3.

:必>0,

：.a,。同号，即aX）、bX）或者aVO、b<0

第一种情况：当。+人=3时,

“a、h同号，

:.aX)、bX),

由a+/>=3,得：a=3—b,a-b=3—2b,

根据：aX)、bX),

a=3-b>Q

有：，即:Q<b<3,

b>0

••一3<3-2Z?<3>即：-3<ci—b<3,

一力是整数,

••.a—方可以取得整数为：-2,-1,0,1,2,即（a—与2可以取%1,0,

...则加=,可以取的值有：2,y;

444

第二种情况：当a+匕=一3时，

•：（!、匕同号，

•••aVO、b<0,

ci——3—b,ci~b——3—2Z?，

根据aVO、b<0,

a--3—b<0

有：《，―，解得：-3<b<0,

b<0

••--3<-3-2Z?<3,BP：-3<a-b<3,

•••a-6是整数，

•••。一分可以取得整数为：-2,-1,0,1,2,即（。一切2可以取%i,0,

...则出,=丝土空上心匚，可以取的值有：2,-；

444

59

综上所述：制?的值可以为：一，2,—,

44

故答案选：A.

【点睛】本题主要考查了不等式求、完全平方公式以及求不等式的整数解等知识，体现了分类讨论的的思

想，求出aS的取值范围是解答本题的关键.

10.如图，二次函数y=℃2+云+。的图象经过（一1,1）,且与y轴交于A点，过A点作43〃%轴交抛物

线于点且B点的横坐标为2,结合图象，则。的取值范围是（）

【10题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据图象及题中数据，得至Ul=a—h+c,a<0,c>0,b=-2a,0>9a—3b+c,代入解这些

不等式即可得到结论.

【详解】解：•••二次函数y=ax2+云+c的图象经过（一U）,

1—o—Z?+c,

,/二次函数y=ax2+/zr+c的图象开口向下,

.1.a<0.

二次函数y=ax2+/zr+c的图象与y正半轴轴交于A点,

.1.c>0,

•••过A点作AB//X轴交抛物线于点3,且3点的横坐标为2,

・..对称轴为x=Q±2=l=-■—,即£>=—2a,

22a

•••(-3,0)在图象上方，

:.0>9a-3b+c

综上，0>9ci—3b+c—9ci—3b+(\ci+b^—8a—2Z?+1=8a—2x(—2a)+1——12tz+1,

1

Cl<------,

12

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数图象与性质，根据图象及题中所给信息得到相应等式与不等式是解决问题关

键.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

II.分解因式x3-9x=

【11题答案】

【答案】x(x+3)(x-3)

【解析】

【分析】将代数式先提取公因式，在利用平方差即可求解.

【详解】将提取公因式得：d—9x=x(x2一9),

利用平方差公式，得：X3-9X=X(X2-9)=X(X2-32)=X(X+3)(X-3),

故答案为：x(x+3)(x-3).

【点睛】本题考查了运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解的知识.解答此类题目牢记第一步先提

取公因式.

12.如图，正五边形ABCDE边长为1,分别以点C、。为圆心，边CD长为半径画弧，两弧交于点尸，则

弧B尸长为—

【12题答案】

47r

【答案】记

【解析】

【分析】连接C兄DF,得到△CFO是等边三角形，得到NFCD=60。，根据正五边形的内角和得到NBC。

=108。，求得/BC尸=48。，根据弧长公式即可得到结论.

【详解】解：如图，连接CF,DF,

则△CFD是等边三角形，

：.ZFCD=60°,

在正五边形ABCQE中，/BCD=108。，

ZBCF=48°,

.»48乃xl4

18015

,4

故答案为：—.

【点睛】本题考查了正多边形与圆，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关

键.

k

13.如图，已知4,B是函数y=—(x>0)图象上的两点，点3位于点A的左侧，AM,3N均垂直于“

X

轴，垂足为点M,N,连接AO,交BN于点、E,若NE=、NB,四边形4MNE的面积为2,则攵的值为

3

【13题答案】

【答案】6

【解析】

【分析】，过点A,B,E作4/，丁轴，轴，EC_Ly轴，垂足分别为F,D,C,根据反比例函

数比例系数的几何意义结合S四边形A“NE=S'OMA-SAONE=2列方程求解即可.

【详解】如图所示，过点A,B,E作轴，轴，ECJ_y轴，垂足分别为尸，D,C

S矩形0MA广=S短形ONBD=卜

•：NE=-MB

3

.e_lo_1,_k_

•*J矩形QVEC一»矩形ON8O—长一]

・Q上上

,•>bONE_2口矩形0NEC_2X3_6

,SkOMA=3$矩形OMAF=]Xk=3

••S四边形AMNE=^\OMA-S^ONE=?

kk

即上，=2

26

解得，k=6

故答案为：6

【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数&的几何意义，解答本题的关键是熟练掌握基础知识.

14.在等边三角形ABC中，AB=6,D、E是8C上的动点，尸是AB上的动点，且BF=BD=EC=k,连接F£

RDEC

(1)当上2时，SGDEF：SAABC=；

(2)取EF的中点G,连接GA、GC,则GA+GC的最小值为

【14题答案】

【答案】①.1：9②.3屿

【解析】

【分析】(1)根据=N3，8E=80,84=BC可得ABFD^ABAC，根据相似三角形的性质求解即可;

(2)作A关于EE的对称点A,连接G4'，A4'，AG+GC=AG+GC>AC,当A',G',C三点共

线时，取得最小值A'C,此时ER为AABC的中位线，△A4'C是直角三角形，勾股定理求解即可.

【详解】(1)•：ZB=NB，BF=BD,BA=BC

：.ABFDS^BAC

.(BF\(2丫1

••OABFD：OAABC=----=-=—

[BA)⑷9

•;BD=EC=2,DE=BC—BD-EC=2

：.BD=DE

,•・ABDF-°ADEF

•4•SADEF：S^ABC=1：9

(2)如图，作A关于E尸的对称点A,连接GA'，AA

则A'G=AG

AG+GC-AG+GC>A'C

当A',G',C三点共线时，取得最小值AC,此时EF为AABC的中位线,

•••G为所中点,

:.GE=GF

AE=EA,BE=EC

.\^AFG=L^CEG

AG=GC

：.GA=GA=GC

ZGArA=ZGAA\ZGAC=ZGCA

ZGAA'+ZGAC=|x(ZGA'A+ZGAA'+ZGAC+ZGCA)=90°

•.♦NC45=60°

ZBAA'=30°

•.E4=E4'

NAE4'=12()o,AE=3.

AV=36，

A!C=7A4,2+AC2=J27+36=377

即AG+GC的最小值为3近

故答案为：1:9,3枚

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，掌握等边

三角形的性质是解题的关键.

三、(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)

15.V27-(--!-)-2+(2022--2tan60°

2

【15题答案】

【答案】V3-3

【解析】

【分析】直接利用算术平方根，负整数指数累，零指数基性质，特殊角的三角函数值求解即可.

【详解】V27-(--)~2+(2022-^)0-2tan60°

2

=3百-4+1-26

V3-3.

【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数运算的法则和运算性质是解题的关键.

16.某工厂去年的总产值比总支出多90万元，今年比去年的总产值增加10%,总支出节约20%.如果今年

的总产值比总支出多120万，那么去年的总产值和总支出分别是多少万元？

【16题答案】

【答案】去年的总产值和总支出分别是160万和70万元

【解析】

【分析】根据去年的产值一支出关系，今年的产值一支出关系，列方程求解；

x-y=90

【详解】解：设去年的总产值为X万元，总支出为》万元，根据题意，得人/；个八。八^八，

(1+i1n0o%M)%-(1-20%)^=120

由尸一90得：l.lx-0.8X(x-90)=120,

0.3x+72=120,

0.3x=48,

x=160,

^=x-90=70,

x=160

・••方程组的解为:

、y=70

答：去年的总产值和总支出分别是160万和70万元.

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找出题中的等量关系列方程组是解题的关键.

四、(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)

17.如图，在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点的坐标分别为A(0,3)、仇3,4)、C(2,2)(正方形网格

中每个小正方形的边长为1个单位长度).

(1)画出8c向下平移4个单位长度得到的AAtBiG,点Ci的坐标是；

(2)以点8位似中心，在网格中画出AA2&C2,使AA2&C2与AABC位似，且位似比为2：1；

(3)求出AA28c2的面积

【17题答案】

【答案】(1)图见解析，(2,-2)

(2)图见解析(3)SV43G=1°

【解析】

【分析】(1)将三个顶点分别向下平移4个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；

(2)延长BA到A2,使BA2=28A,延长3c到C2,使BC2=28C,继而可得答案；

(3)由勾股定理可求出86=4。2=2石，B4=2屈,即得出从而可判断

△A28G为等腰直角三角形，再利用三角形面积公式计算即可.

【小问1详解】

如图，即为所作，由图可知G的坐标为(2,-2),

故答案为：(2,-2)；

【小问2详解】

如图，△AzBzCa即为所作；

【小问3详解】

由图可知8C2=A?G=以百=26，%=丁寿=2亚，

22

8Al'=1BC1+A,C2,

A45G为等腰直角三角形,

【点睛】本题考查了作图一位似变换与平移变换，勾股定理与勾股定理逆定理.熟练掌握位似变换与平移

变换的性质是解答本题的关键.

19.观察以下等式：

442525

第1个等式：--2=-^2；第2个等式：—-5=—^5；

1144

64c644....121.,121,,

第3个等式：---8=——4-o8；第4个等式：-----11=--4-11；

771010

按照以上规律，解决下列问题:

(1)写出第5个等式：_________________________

(2)写出你猜想的第〃个等式：(用含"的等式表示)，并证明.

【19题答案】

【答案】(1)--14=--14

1313

⑵(3，二1)二伽—1)=0-1)…(3〃一1)；证明见详解

3〃一23〃一2

【解析】

【分析】(1)每个等式两边分别是一个分数与一个数字的差与商，分别分析分数与数字的规律，分数的分母

第一个是1,以后序号每增加1分母增加3,第一个等式的分子为2的平方，第二个等式为5的平方，则分

子等于分母加1的平方，数字等于分数的分子中的底数，根据此规律写出第5个等式即可；

（2）根据（1）中的规律，写出第〃个等式即可，根据完全平方公式以及多项式乘多项式法则将等号左右

两边的代数式化简即可证明结论.

【小问1详解】

*4142

解：根据题意可知，第5个式子为:—+14,

1313

*14=叽14

即:

1313

…1196-196

故答案为：-----14=-----i-14

1313

【小问2详解】

(3〃-以(3〃-1)2

解：猜想第〃个式子为:-(3n-l)

3/1-23“一2

证明.(3n-l)'八_(3〃-1)~(3n-l)(3n-2)_9n2-6«+l9n2_9n+2_3n-l

'3〃一2--(n~卜3n-23〃-23n-23〃一2—-3〃—2

3H-1

3〃二2

..3/t-l_3n—1

3n—23〃-2

•.(3/1)2(3n-l)2

-(3n-l)=+(3〃—l)成立•

3〃一23〃一2

【点睛】本题考查寻找数之间的规律，完全平方公式，多项式乘以多项式，能够发现规律，总结规律，应

用规律是解决本题的关键.

五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）

21.如图，一航船在A处测得北偏东45°方向上有一个灯塔8,航船向正东方向以10nmile/h的速度航行

1.5h到达C处时，又测到灯塔5在北偏东15°方向上.已知以灯塔5为圆心，方圆20nmile内有暗礁，

问：航船继续向正东方向航行是否有触礁危险？（参考数据：V3®1.732，V6»2,449）

北北B

W5%\1

AC

[21题答案】

【答案】无触礁危险.

【解析】

【分析】先过点C作AB的垂线，求出长度，再根据N8=30。，可得出8c的长.再过点2作AC的垂线，求

出长度，与20nmile进行对比即可判断是否有触礁危险.

【详解】如图所示，过点C作COLA8,过点B作BELAC,在BE上选一点F,使CF=BF,连接CF,

由题意可知，ZDAC=45°,AC=1Ox1.5=15nmile,

1515J2

CD=AD=—±±^±nmile,

72=2

又：/64。=45°,/AC8=9O°+I5°=1O5°,

ZABC=3O°,

：.BC=2CD=l5y/2nmile,

又•.•/CBF=15°,BF=CF,

：.NCFE=30。，

设CE=x,则CF=2x=BF,

:.BE=(2+73)x,

在RrZ\BCE中，BC^BR+CE1

即(15&)2=(2x+J5x)2+x2,

化简：N+(7+473)N=450,

解得X尸!5（几]血）；及=空空运（负值舍去）

.15R15

22

又BE=(2+-^3)(2+)(—^3---)=—(+1)~20.49nmile,

222

/.20.49>20,

航船继续向正东方向航行没有触礁危险.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解三角形的方法，以及特殊角的三角函数值是解题关

键.

22.如图，A8是。。的直径，ACA.AB,。是AC的中点，BC交00于点E.

（1）求证：OE与。0相切;

（2）若AE=3、DE=2,求。。的半径长;

[22题答案】

【答案】（1）见解析（2）9屿

7

【解析】

【分析】（D利用直角三角形斜边中线是斜边的一半即可知DE=DA,则有ND4E=NOE4,再根据OA=OE

得NO4E=NOE4,即可得到NO£D=90。，OELDE,即有£>E与。。相切;

A(JEC

(2)利用/4EC=90o=NC4B=90。，NC=NC得RtAAEC〜RtABAC，继而得到一=——,即:

BCAC

AC?=BCxEC，再在（l）中已证得。E=CO=DC,DE=2,则有AC=4,在RfZ\AEC中，则利用勾股定

理得将，继而得到3C、仍的长度，在心仍中，则利用勾股定理得“5则半径即

可得出.

【小问1详解】

〈AB是。。的直径，

/.ZAEB=90°,

：.NAEC=90。，

9：CD=AD,

：.DE=AD9

：.ZDAE=ZDEAf

VAO=O£,

：.ZOAE=ZOEAt

：.ZDEA+ZOEA=ZDAE+ZOAE=ZBAC=90°,

J半径OE_LDE,

・•・£）£与。。相切

【小问2详解】

vZAEC=90°=ZCAB=90°,ZC=ZC

・.RtZ\AEC〜RtABAC,

ArFC

•••—=—）即：AC2=BCXEC>

BCAC

•.•在（1）中已证得OE=CD=OC,DE=2,

：.AC=4,

在用△AEC中，4E=3,则利用勾股定理得EC=A/42—勾=币,

.BC-AC。1677

EC7

9J7

:EB=BC-EC=^—，

7

在Rt/\AEB中，则利用勾股定理得AB=ylAE2+EB2样邛

...半径/=也=苧.

【点睛】本题考查了圆的切线的判定、相似三角形、勾股定理以及直角三角形中斜边的中线是斜边的一半

等知识，熟练综合运用是解答本题的关键.

六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）

24.在庆祝中国共产党建党一百周年之际，某学校根据区教育局要求开展了“红心向党，爱我中华”演讲

比赛.七年级、八年级根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛.按照两个年级复赛成绩（满分100分）制

成统计图如图所示.

选手编号

□七年级□八年级

（1）根据上图填写下表

平均数（分）中位数（分）众数（分）

七年级8585

八年级80100

（2）结合两个年级选手复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个年级的复赛成绩较好.

（3）如果从两个年级参加复赛成绩的前五名选手中选出2人代表学校参加区级比赛，求正好选出是同一

个年级的选手的概率是多少？

【24题答案】

【答案】（1）85,85.

（2）七年级.从平均数角度看，七八年级选手复赛成绩的平均数是一样的；从中位数角度看，七年级选手

复赛成绩的中位数更高，故七年级的复赛成绩较好.

1

（3）

3

【解析】

【分析】（1）根据表格先列出七八年级学生复赛的成绩，再根据中位数和平均数的概念分别求解即可.

（2）根据表格求出来的中位数、平均数，可知平均数是一样的，七年级的中位数更好，故七年级的复赛

成绩较好.

（3）首先列出成绩前五位的学生成绩，再通过列树状图或列表法即可得出结论.

【小问1详解】

由统计图可知：七年级五名学生的成绩分别为85、75、80、85、100；八年级五名学生的成绩分别为70、

100、100、75、80；

将七年级的数据由低到高排列：75、80、85、85、100,中位数为85.

八年级五名学生成绩的平均数：70+100+1^0+75+80=85.

【小问2详解】

由表格的数据可知，七年级五名学生复赛成绩的平均数是85,中位数是85,,八年级五名学生复赛成绩的

平均数是85,中位数是80；

.•.七八年级学生复赛成绩的平均数是一样的，中位数七年级的复赛成绩高一点，

，七年级的复赛成绩较好.

【小问3详解】

综合数据，成绩前五的学生七年级一共有3个，八年级有2个，分别记为：七1七2七3八1八2,列出

表格如下：

七1七2七1七3七1八1七1八2

七2七1七2七3七2八1七2八1

七3七1七3七2七3八1七3八2

八1七1八1七2八1七3八1八2

八2七1八2七2八2七3八2八1

共有20种情况，其中两个学生是同一年级的情况有8种情况，

o2

・・・正好选出是同一个年级的选手的概率二a二一.

205

【点睛】本题考查数据的集中趋势，学会从统计图中提取出数据.熟练掌握平均数、中位数的概念和应

用，会列树状图或表格表示概率，正确算出数数据是解决此类问题的关键.

七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）

26.某汽车公司为确定一种型号的新能源汽车在高速公路上紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车

时的速度大小X(单位：km/h)函数关系.测得该汽车在速度大小为40km/h时，紧急刹车后滑行的距

离为4m；速度大小为80km/h时，紧急刹车后滑行的距离为12m.已知紧急刹车后滑行的距离丁(单

位：m)与刹车时的速度大小x(单位：km/h)函数关系满足y=ax1+bx.

(1)求“，匕的值

(2)若两次测量中，刹车时的速度大小之差为20,滑行距离之差为6,求两次测量中，刹车时的速度大

小的平均值.

【26题答案】

【答案】(1)a^—,b=L

80020