高二数学同步练习双曲线及其标准方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精选修1—12。2。1HYPERLINK”file：///D:\\TDDOWNLOAD\\人教B版数学选修1-1，1-2\\1、2—2-1。ppt"\t”_parent”双曲线及其标准方程一、选择题1．已知点F1（0，－13），F2（0，13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26,则动点P的轨迹方程为()A．y＝0 B．y＝0（|x|≥13）C．x＝0（|y｜≥13) D．以上都不对［答案]C［解析]∵｜｜PF1｜－｜PF2|｜＝|F1F2|，∴点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．2．已知定点A,B，且|AB｜＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则｜PA|的最小值为（)A.eq\f(1，2) B。eq\f(3，2)C。eq\f（7，2) D．5[答案］C[解析]点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P与双曲线右支顶点M重合时,｜PA｜最小，最小值为a＋c＝eq\f（3,2）＋2＝eq\f(7，2），故选C。3．已知方程eq\f（x2,1＋k)－eq\f（y2,1－k）＝1表示双曲线，则k的取值范围是(）A．－1〈k<1 B．k〉0C．k≥0 D．k>1或k〈－1［答案]A［解析]由题意得（1＋k）（1－k)>0，∴（k－1）(k＋1）〈0，∴－1<k〈1.4．双曲线eq\f（x2,m2＋12）－eq\f(y2,4－m2）＝1的焦距是()A．4 B．2eq\r(2)C．8 D．与m有关[答案］C［解析］∵a2＝m2＋12，b2＝4－m2,c2＝a2＋b2＝16,∴c＝4,∴焦距2c＝8.5．已知双曲线方程为eq\f（x2，20）－eq\f(y2，5）＝1，那么它的焦距为()A．10 B．5C。eq\r(15） D．2eq\r(15）[答案］A［解析]∵a2＝20，b2＝5，c2＝25，c＝5,∴焦距2c＝10.6．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0，3),那么k的值为(）A．1 B．－1C。eq\f（\r(65),3) D．－eq\f(\r（65）,3）［答案]B［解析]方程8kx2－ky2＝8可化为：eq\f（x2,\f(1，k））－eq\f(y2，\f(8,k))＝1，又它的一个焦点为（0，3)，∴a2＝－eq\f（8,k），b2＝－eq\f（1，k），c2＝－eq\f(9，k）＝9，∴k＝－1.7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,在左支上过F1的弦AB的长为5,若2a＝8，那么△ABF2的周长是()A．16 B．18C．21 D．26[答案]D［解析］∵|AF2|－|AF1|＝2a＝8，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a＝8,∴｜AF2|＋｜BF2|－（|AF1｜＋｜BF1｜）＝16,∴|AF2|＋｜BF2|＝16＋5＝21,∴△ABF2的周长为|AF2｜＋|BF2｜＋|AB|＝21＋5＝26。8．已知双曲线eq\f(x2,9）－eq\f（y2，16）＝1上一点P到焦点F1的距离为8，则P到焦点F2的距离为（)A．2 B．2或14C．14 D．16[答案]B［解析］如图，设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，由已知得a＝3，b＝4，c＝5,∵双曲线右顶点到左焦点F1的距离为a＋c＝8，∴点P在双曲线右顶点时,|PF2｜＝c－a＝5－3＝2,当点P在双曲线左支上时，|PF2|－｜PF1|＝2a＝6，∴｜PF2｜＝|PF1｜＋6＝8＋6＝14.9．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为（）A．双曲线的一支 B．圆C．抛物线 D．双曲线［答案]A[解析]设动圆半径为r,圆心为O,x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，由题意得｜OO1|＝r＋1,|OO2｜＝r＋2，∴｜OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<｜O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．10．已知双曲线的两个焦点为F1(－eq\r（5),0）、F2(eq\r（5），0)，P是此双曲线上的一点,且PF1⊥PF2，|PF1｜·｜PF2|＝2，则该双曲线的方程是(）A。eq\f（x2,2)－eq\f(y2，3)＝1 B。eq\f（x2，3）－eq\f(y2,2）＝1C.eq\f(x2，4）－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,4）＝1［答案]C[解析］∵c＝eq\r（5)，|PF1|2＋|PF2｜2＝｜F1F2|2＝4c2，∴（｜PF1|－|PF2｜）2＋2|PF1|·|PF2｜＝4c2,∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1。双曲线方程为eq\f(x2,4）－y2＝1。二、填空题11．过双曲线eq\f(x2，4)－eq\f(y2,3)＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点,则|MF2｜＋|NF2｜－｜MN|的值为________．［答案]8[解析］|MF2｜＋|NF2｜－|MN|＝（MF2－MF1)＋(|NF2|－｜NF1｜）＝2a＋2a＝4a＝8.12．设一圆过双曲线eq\f(x2，9)－eq\f（y2,16)＝1的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．[答案]eq\f（16，3)［解析］设圆心为P（x0，y0）,则|x0｜＝eq\f（c＋a，2）＝4，代入eq\f（x2,9)－eq\f(y2,16）＝1，得yeq\o\al（2，0)＝eq\f(16×7,9），所以|OP｜＝eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al（2,0))＝eq\f（16,3).13．过双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4）＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________．［答案］eq\f(8\r（3),3）[解析]∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7,∴c＝eq\r（7），弦所在直线方程为x＝eq\r(7），由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\r（7），\f(x2,3）－\f(y2,4)＝1))得y2＝eq\f(16,3)，∴|y|＝eq\f(4\r（3），3），弦长为eq\f(8\r（3),3)。14．如果椭圆eq\f（x2,4）＋eq\f（y2,a2)＝1与双曲线eq\f(x2，a）－eq\f（y2,2)＝1的焦点相同，那么a＝________.［答案]1[解析］由题意得a〉0，且4－a2＝a＋2，∴a＝1.三、解答题15．讨论eq\f（x2,25－k）＋eq\f（y2，9－k)＝1表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征．[解析］(1）当k〈9时,25－k>0，9－k〉0，所给方程表示椭圆，此时a2＝25－k，b2＝9－k，c2＝a2－b2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4，0），(4,0)．(2）当9<k〈25时，25－k〉0，9－k<0，所给方程表示双曲线，此时，a2＝25－k，b2＝k－9,c2＝a2＋b2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0）．（3）当k〉25时,所给方程没有轨迹．16．设双曲线eq\f(x2,4）－eq\f（y2，9)＝1,F1，F2是其两个焦点,点M在双曲线上．（1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；(2）若∠F1MF2＝60°时,△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝120°时，△F1MF2的面积又是多少？[解析］结合双曲线的定义，注意三角形面积公式的应用．(1)由双曲线的方程知a＝2，b＝3，c＝eq\r（13）,设|MF1|＝r1，｜MF2|＝r2（r1〉r2）如图所示．由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4.两边平方得req\o\al（2，1)＋req\o\al（2，2）－2r1r2＝16，因为∠F1MF2＝90°，所以req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2）＝｜F1F2|2＝(2c)2＝52,17．设双曲线与椭圆eq\f(x2,27）＋eq\f(y2，36）＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．［解析］椭圆eq\f（x2,27)＋eq\f(y2，36）＝1的焦点为(0，±3）,由题意,设双曲线方程为：eq\f（y2,a2)－eq\f（x2，b2)＝1（a〉0，b>0），又点A（x0,4)在椭圆eq\f(x2，27）＋eq\f（y2,36)＝1上，∴xeq\o\al(2，0)＝15,又点A在双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2，b2）＝1上，∴eq\f（16，a2)－eq\f(15,b2）＝1，又a2＋b2＝c2＝9，∴a2＝4，b2＝5，所求的双曲线方程为：eq\f(y2,4)－eq\f（x2，5)＝1.18．已知△ABC的底边BC长为12,且底边固定，顶点A是动点，使sinB－sinC＝eq\f(1，2)sinA.求点A的轨迹．[解析]以BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，则B（－6,0）、C(6,0)，设A(x，y）是所求轨迹上任一点，则y≠0。因为sinB－sinC＝eq\f（1,2）sinA，利用正弦定理，我们有|AC|－｜AB|＝eq\f(