高二数学同步练习3章末

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3章末1．已知函数f（x）＝mx3－3(m＋1)x2＋（3m＋6)x＋1，其中m〈0。当x∈[－1，1]时，函数y＝f（x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求［解析]f′(x)＝3mx2－6(m＋1）x＋3m由题意可知:当x∈[－1,1］时，f′（x)〉3m所以mx2－2(m＋1）x＋2>0在x∈[－1，1]上恒成立．令g(x)＝mx2－2（m＋1）x＋2，则g(x）〉0在x∈［－1,1]上恒成立．又因m<0，故eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(g（－1）〉0，,g（1)〉0,））解得－eq\f(4,3)〈m〈0。即:m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(4,3）,0）)。[点评]本题通过导数与切线斜率的关系，将其转化为恒成立问题，通过构造函数转化为一元二次函数恒大于0。2．a为实数,函数f（x）＝x3－ax2＋（a2－1）x在（－∞,0）和（1,＋∞）上都是增函数,求a的取值范围．[解析]f′(x）＝3x2－2ax＋(a2－1），其判别式Δ＝4a2－12a2＋12＝12－8（1)若Δ＝12－8a2≤0，即a≤－eq\f（\r(6），2）或a≥eq\f(\r（6）,2)，此时f′（x)≥0在(－∞,＋∞)上恒成立，所以f（x）在(－∞，＋∞)上为增函数，所以a≤－eq\f（\r(6)，2）或a≥eq\f（\r(6），2)符合题意．(2)若Δ＝12－8a2>0，即－eq\f（\r（6),2）〈a<eq\f（\r(6),2)。则此时要满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′(0）≥0，,0<\f（a，3）<1，，f′（1）≥0。)）解得1≤a<3，又因为－eq\f(\r（6），2）<a<eq\f（\r（6)，2)，所以1≤a〈eq\f(\r(6),2），综上所述a≤－eq\f(\r(6),2）或a≥1。［点评]利用导数与单调性的关系，将其转化为二次函数问题．3．已知a为实数，f（x）＝(x2－4)（x－a)．(1)求导数f′(x)；（2）若f′（－1）＝0，求f（x）在[－2，2]上的最大值和最小值．[解析］（1)由原式得f（x）＝x3－ax2－4x＋4a∴f′(x）＝3x2－2ax－4.（2）由f′（－1）＝0得a＝eq\f（1,2）,此时有f(x)＝（x2－4）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f(1,2))），f′（x)＝3x2－x－4。由f′(x）＝0得x＝eq\f(4，3)或x＝－1.又feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（4，3）））＝－eq\f(50,27)，f（－1)＝eq\f(9，2），f(－2)＝0，f（2）＝0，∴f（x）在［－2，2］上的最大值为eq\f(9，2)，最小值为－eq\f(50，27）。4．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x）＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C（x）＝460x＋5000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf（x)定义为Mf（x）＝f(x＋1）－f(x）．（1)求利润函数P（x)及边际利润函数MP（x）；(2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?(3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?[分析］建立函数模型，用导数求最值的方法求解．[解析］(1)P(x)＝R(x)－C（x）＝－10x3＋45x2＋3240x－5000（x∈N*,且1≤x≤20)；MP（x）＝P(x＋1)－P(x）＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，且1≤x≤19）．(2）P′(x）＝－30x2＋90x＋3240＝－30（x－12）（x＋9),∵x〉0，∴当P′(x)＝0时，x＝12，∴当0〈x<12时，P′（x)>0，当x〉12时，P′(x)<0，∴x＝12时P(x)有最大值．即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．（3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30