第三章函数的概念与性质复习提升导学案-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

复习提升◆题型一函数的概念[类型总述](1)函数的定义域;(2)函数的值域和最值;(3)求函数值.例1(1)已知函数y=f(x21)的定义域为[0,3],则y=f(2x1)的定义域为 ()A.0,B.0C.-∞,9D.-∞,(2)已知f(x)=x-2,x≥10,fA.10 B.11C.12 D.13(3)已知函数f(x)=x+1-2x,则函数f(x)有 A.最小值12B.最大值12C.最小值1,无最大值D.最大值1,无最小值变式(1)函数f(x)=2x-1函数y=(x+1)◆题型二函数的单调性与奇偶性例2(1)(多选题)已知函数f(x)=ax+bx(a,b∈R),则下列说法正确的是 A.f(x)是偶函数B.若ab>0,则当x=ba时,f(xC.当ab>0时,f(x)的值域是[2ab,+∞)D.当a=1时,f(x)在(|b|,(2)奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,则不等式2023f(x)-变式(1)已知函数f(x)=x,0<x<1,2(x-1),x≥1,若fA.2 B.4C.6 D.8(2)设f(x)为奇函数,且f(x)在(∞,0)上单调递减,f(1)=0,则xf(x)<0的解集为 ()A.(1,0)∪(1,+∞)B.(1,0)∪(0,1)C.(∞,1)∪(1,+∞)D.(∞,1)∪(0,1)(3)若函数f(x)=a-1x,x例3函数f(x)=ax-b9-x2是定义在((1)求函数f(x)的解析式;(2)判断f(x)在(3,3)上的单调性,并利用函数单调性的定义证明;(3)解关于t的不等式f(t1)+f(t)<0.变式(1)[2020·全国新高考Ⅰ卷]若定义在R的奇函数f(x)在(∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x1)≥0的x的取值范围是 ()A.[1,1]∪[3,+∞)B.[3,1]∪[0,1]C.[1,0]∪[1,+∞)D.[1,0]∪[1,3](2)[2021·新高考全国Ⅱ卷]已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,则 ()A.f-12=0 B.f(1)C.f(2)=0 D.f(4)=0◆题型三函数的图象及应用例4已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x22x.(1)在图T31中画出y=f(x)在R上的图象;(2)讨论函数y=f(x)的图象与直线y=m(m∈R)的交点个数.图T31变式(1)已知函数f(x)是定义在(3,0)∪(0,3)上的奇函数,当0<x<3时,f(x)的图象如图T32所示,则不等式f(x)·x>0的解集是()图T32A.(1,0)∪(1,3)B.(3,1)∪(1,3)C.(1,0)∪(0,1)D.(3,1)∪(0,1)(2)记min{x,y,z}表示x,y,z中的最小值,设函数f(x)=min{x,x24x+4,2x+12},则f(x)的最大值为,f(x)≥1的解集为.

◆题型四幂函数的性质及应用例5(1)幂函数f(x)的图象经过点(2,2),则f(x) ()A.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增B.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减C.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减D.既不是奇函数,也不是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增(2)[2022·合肥十中高一期中]已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)是幂函数,且图象过点(3,3).①求f(x)在R上的解析式;②当x<0时,判断f(x)的单调性,并给出证明.◆题型五函数的应用[类型总述](1)已知函数模型,解决成本最少、利润最高等问题;(2)解决方案选项问题.例6“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,把每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)表示为养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当0<x≤4时,v的值为2;当4<x≤20时,v是关于x的一次函数.当x=20时,因缺氧等原因,v的值为0.(1)当0<x≤20时,求v关于x的函数解析式;(2)当x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)f(x)=x·v可以达到最大?并求出最大值.变式王先生发现他的几位朋友从事电子产品的配件批发,生意相当火爆,因此,王先生将自己的工厂转型生产小型电子产品的配件.经过市场调研,生产小型电子产品的配件需投入固定成本2万元,每生产x万件,还需另投入W(x)万元.在年产量不足8万件时,W(x)=16x2+2x;在年产量不低于8万件时,W(x)=6x+450x+264.每件产品售价为4元(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式.(2)求年产量为多少万件时,王先生在电子产品的配件的生产中所获得的年利润最大?并求出年利润的最大值.本章总结提升【素养提升】题型一例1(1)B(2)B(3)D[解析](1)∵y=f(x21)的定义域为[0,3],∴0≤x≤3,则1≤x21≤8,∴y=f(x)的定义域为[1,8],则1≤2x1≤8,解得0≤x≤92,故y=f(2x1)的定义域为0,9(2)f(5)=f[f(11)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=11.(3)函数f(x)的定义域为-∞,12,设t=1-2x,则t≥0,且x=1-t22,∴g(t)=1-t22+t=12(t1)2+1,t≥0,∴g变式(1)(∞,2)∪(2,+∞)(2)(∞,1)∪(1,0)[解析](1)函数f(x)=2x-1x+1=2(x+1)-3x+1=-3x+1+2,∵3x+1(2)由题意,可得x+1≠0,|x|-x>0,解得x<0且x≠题型二例2(1)ACD(2){x|x<1或x>1}[解析](1)f(x)=ax+bx,则f(x)的定义域为(∞,0)∪(0,+∞),且f(x)=-ax-bx=ax+bx,即f(x)=f(x),故函数f(x)为偶函数,故A正确.当ab>0时,f(x)=ax+bx=|ax|+bx≥2|ax|·bx=2|ab|=2ab,当且仅当x2=ba时取等号,故f(x)的值域是[2ab,+∞),故B不正确,C正确.当a=1时,f(x)=x+bx,当b=0时,f(x)=|x|,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当b>0,x≥|b|时,f(x)=x+bx=x+bx,设|b|≤x1<x2,则x1x2<0,x1x2>b,因为f(x1)f(x2)=x1+bx1x2bx2=(x1-x2)(x1x2-b)x1x2<0,所以f(x1)<f(x2),f(x)单调递增;当b<0,x>0时,f(2)因为f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,f(1)=0,所以f(1)=f(1)=0,且在(∞,0)上也单调递增.因为2023f(x)-2022f(-x)所以x>0,x>1或x<0,x<-1变式(1)C(2)C(3)12,1[解析](1)由函数f(x)的图象可知,分段函数f(x)在(0,1),[1,+∞)上都单调递增,可得0<a<1,则f(a)=a,f(a+1)=2a,所以a=2a,解得a=14或a=0(舍去),所以f1a=f(4)=2×(41)(2)∵f(x)在(∞,0)上单调递减,且f(x)为奇函数,∴f(1)=f(1)=0,且f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴当x<1时,f(x)>0;当1<x<0时,f(x)<0;当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0;若f(0)有意义,则f(0)=0.∵xf(x)<0,∴x>0,f(x)<0或x<0,f(x)>0(3)因为函数f(x)=a-1x,x≤-1,(a例3解:(1)根据题意,函数f(x)=ax-b9-x2是定义在(3,3)上的奇函数,则f(0)=又由f(1)=14,得f(1)=a8=14所以f(x)=2x(2)f(x)=2x9-证明:任取x1,x2∈(3,3),且x1<x2,则f(x1)f(x2)=2x19-x1因为3<x1<x2<3,所以9+x1x2>0,x1x2<0,9x12>0,9x22>0,所以f(x1)f(x即f(x1)<f(x2),故函数f(x)在(3,3)上单调递增.(3)根据题意,f(t1)+f(t)<0,则f(t1)<f(t),则f(t1)<f(t),所以-解得2<t<12,故不等式的解集为-变式(1)D(2)B[解析](1)方法一:由题意可得y=f(x)的图象可如图①所示,∵y=f(x1)的图象可由y=f(x)的图象向右平移一个单位得到(如图②),∴满足xf(x1)≥0即满足f(x1)与x同号或二者至少有一个为零,由图可得不等式xf(x1)≥0的解集为[1,0]∪[1,3].方法二:由于f(x)在R上为奇函数,所以f(0)=0,由f(x)在(∞,0)单调递减,且f(2)=0可得f(2)=0,所以当x∈(∞,2)∪(0,2)时,f(x)>0;当x∈(2,0)∪(2,+∞)时,f(x)<0.则对于函数f(x1)而言,当x∈(∞,1)∪(1,3)时,f(x1)>0;当x∈(1,1)∪(3,+∞)时,f(x1)<0.又f(11)=f(31)=f(11)=0,所以满足xf(x1)≥0的x的取值范围为[1,0]∪[1,3].故选D.(2)方法一:常规推导.∵f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(x+2).∵f(2x+1)是奇函数,∴f(2x+1)=f(2x+1).由F(x)=f(2x+1)是奇函数,可得F(0)=f(1)=0,∴f(1)=f(3)=f(1)=0,其他几个选项不一定成立,故选B.方法二:特殊函数秒杀.由f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,可取f(x)=cosπ2x-π,可得f(题型三例4解:(1)当x<0时,x>0,f(x)=(x)22×(x)=x2+2x,∵y=f(x)是定义在R上的偶函数,∴当x<0时,f(x)=x2+2x,∴f(x)=x画出函数y=f(x)在R上的图象如图所示.(2)由(1)中的图象知,函数f(x)的最小值为1,f(0)=0.①当m<1时,函数y=f(x)的图象与直线y=m没有交点;②当m=1时,函数y=f(x)的图象与直线y=m有2个交点;③当1<m<0时,函数y=f(x)的图象与直线y=m有4个交点;④当m=0时,函数y=f(x)的图象与直线y=m有3个交点;⑤当m>0时,函数y=f(x)的图象与直线y=m有2个交点.变式(1)C(2)4{1}∪3,112[解析](1)∵f(x)是奇函数,∴f(x)=f(x),由图可知,当x∈(0,1)时,f(x)<0,则当x∈(1,0)时,f(x)>0;当x∈(1,3)时,f(x)>0,则当x∈(3,1)时,f(x)<0.不等式f(x)·x>0,即f(x)·x>0,即f(x)·x<0,∴x>0,f(x)<0或x(2)函数f(x)的图象如图所示,由图可知,f(x)的最大值为f(4)=4,直线y=1与f(x)的图象的交点为B(1,1),C(3,1),D112,1,故f(x)≥1的解集为{1}∪题型四例5(1)D[解析]设f(x)=xα,将点(2,2)的坐标代入,得2α=2,解得α=12,所以f(x)=x12(x≥0),所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.因为12>0,所以f(x)在(0,+∞(2)解:①由题意,当x>0时,设f(x)=xa,则3a=3,得a=12,所以f(x)=x12又f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,当x<0时,f(x)=f(x)=-x所以f(x)=x②当x<0时,f(x)=-x证明:任取x1,x2<0,且x1<x2,则f(x1)f(x2)=-x1+-x2=-x2-所以f(x1)<f(x2),所以当x<0时,f(x)单调递增.题型五例6解:(1)依题意,当0<x≤4时,v=2;当4<x≤20时,v是关于x的一次函数,设v=ax+b(a≠0),则4a+b=2,(2)当0<x≤4时,v=2,则f(x)=2x,所以0<f(x)≤8;当4<x≤20时,v=0.125x+2.5,则f(x)=0.125x2+2.5x,当x=2.52×(-0.125)=1