高等数学与工程数学课件

常微分方程第一节常微分方程的基本概念第二节一阶微分方程第三节高阶微分方程的几个特殊类型*第四节二阶线性微分方程第一节常微分方程的基本概念

图14-1

物体降落示意图解思考题答案答案答案4.特征参点答案课堂练习题答案答案第二节一阶微分方程在本节中，着重讨论几个简单形式的一阶微分方程的解法.一、可分离变量的微分方程解解解解解二、齐次微分方程解解三、解四、一阶线性微分方程解解五、伯努利方程解思考题答案答案答案答案课堂练习题答案答案第三节高阶微分方程的几个特殊类型一、解解二、解解三、解解解思考题答案答案答案课堂练习题返回返回*第四节二阶线性微分方程一、解的结构二、常系数二阶性微分方程的解法解解解解解解解解解解解解解思考题答案答案课堂练习题答案答案返回返回返回４.返回返回2.验证：返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回

初等数学提要及重要公式第一节初等代数第二节常用的初等几何公式第三节三角函数第四节平面解析几何第五节排列与组合第六节数学实验一Mathematica入门和一元函数的图形绘制第一节初等代数一、实数实数系表如下.

我们把规定了原点、正方向和长度单位的直线称为数轴，如图1-1所示.图1-1数轴实数的全体和数轴之间建立了一一对应关系.二、乘法公式及分解因式由实数概念及运算性质很容易得到下面常用的公式.三、一元二次方程解四、不等式1.基本性质2.重要不等式3.绝对值不等式绝对值定义解五、指数与对数1.指数2.对数对数，底数，真数.①②③④运算规则：换底公式：常用对数,自然对数，解证解六、集合初步1.集合的基本概念集合.元素.自然数集：记作整数集，记作有理数集，记作实数集，记作复数集，记作2.集合的表示法3.集合与集合的关系子集，记作：真子集,相等，交集,并集，全集，补集，闭区间，开区间，半开半闭区间，解解第二节常用的初等几何公式第三节三角函数一、角的度量1度的角，1弧度的角，二、任意角的三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数图1-6三象函数定义示意三、同角三角函数的基本关系（表1-2）表1-2同角三角函数关系平方关系商的关系倒数关系四、三角函数式的恒等变换（表1-3）表1-3三角函数式的恒等变换半角公式积化和差公式倍角公式半角公式加法定理万能公式和差化积公式三角形内的边角关系：五、三象函数的图像及性质(a)(b)图1-7正弦函数与余弦函数(a)(b)图1-8正切函数与余切函数正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质见表1-4.表1-4三角函数性质奇偶性周期性值域定义域项目解解解解解证六、反三角函数表1-5反三角函数的图像和性质性质图像值域定义域函数式反余切函数的主值反正切函数的主值反余弦函数的主值反正弦函数的主值项目第四节平面解析几何一、直线1.直线的倾斜角与斜率2.直线方程直线方程的各种形式（表1-6）一般式截距式斜截式两点式点斜式说明方程已知条件名称3.两条直线的位置关系二、距离公式1.两点间距离公式2.点到直线的距离公式3.两条平行线间的距离证解解三、二次曲线1.圆的方程圆的标准方程圆的一般方程.解2.椭圆的方程椭圆的标准方程.长半轴，短半轴，个焦点(如图1-9).离心率，准线.3.双曲线方程双曲线的标准方程,实半轴,虚半轴.焦点.(如图1-11)渐近线，准线.4.抛物线方程解解①①图1-17例5示意四、参数方程1.参数方程的概念曲线的参数方程.参变量，简称参数.2.几种常见曲线的参数方程①②③④五、极坐标1.极坐标系极点,极轴，如图1-18所示.极半径，极角，极坐标，图1-18点P的极坐标极坐标与直角坐标的互化，2.曲线的极坐标方程极坐标方程.常见的极坐标方程见表1-7.图像方程表1-7常见的极坐标方程及图像第五节排列与组合一、加法原理与乘法原理1.加法原理2.乘法原理解二、排列1.定义1排列数，选排列；全排列.解解2.重复排列可重复排列(简称，重复排列).重复的排列数，解三、组合1.定义2组合，组合数，解例7

某50件商品中含2件次品，其余为正品，从中任取3件.(1)3件都是正品，有多少种不同的取法？(2)3件中恰有一件次品，有多少种不同的取法？(3)3件中最多有一件次品，有多少种不同的取法？(4)3件中至少有一件次品，有多少种不同的取法？解2.组合数的性质性质1：性质2：*第六节数学实验一Mathematica入门及简单应用一、Mathematica

入门Mathematica是一个功能强大的计算机应用软件,由美国WolframResearch公司开发,自1988年Mathematica1.0推出后,在计算技术领域引起了很大震动,使得WolframResearch公司成为世界软件工业的先驱,并被广泛认为是技术和商业领域的佼佼者.1.Mathematica

简介Mathematica是一个完全集成环境下的符号运算系统,具有强大的数值运算功能、符号运算功能和绘图功能.利用Mathema-tica可能做任意位精度的数值计算.如今,Mathematica已广泛应用于数学、物理学、化学以及工程领域，被认为是现代技术的标志.2.

Mathematica

的数值计算与符号运算3.Mathematica

的数学常数和数学函数

4.自定义函数Mathematica

中可以使用自定义函数，自定义函数格式为：

如果知道Mathematica函数名称,或知道函数名称的前几个字母,可以在Mathematica工作区内输入相应命令,查询内部函数的有关信息.

5.获得Mathematica的帮助

也可以在Mathematica集成界面菜单栏上,点击菜单Help的子菜单HelpBrowser,打开Mathematicar的帮助浏览器.在帮助浏览器中你可以获得更为详细的信息,包括使用函数的一些例子.二、一元函数图形的绘制1.学会Mathematica命令

Plot[表达式，{自变量，下限，上限}，可选项]，其中表达式是需要绘制其图形的函数的表达式，下限和上限表示自变量的取值范围.

Plot[{表达式1，表达式2,…}，{自变量，下限，上限}，可选项]，在一个坐标系中绘制由表达式1、表达式2等表示的若干个函数的图形.

可选项可以有也可以没有，没有可选项时系统按默认值处理.它的表示方法是：

(1)Mathematica的绘图命令调用格式为可选项名——＞可选项的值.比如可选项PlotRange,它表示坐标轴的显示范围，系统默认值是Automatic．可以指定坐标轴的显示范围：可选顶AspectRatio表示坐标轴的纵横比例，即纵坐标轴长度单位，横坐标轴长度单位．2.绘制一元函数图形图10-26例1示意图10-27例2示意图10-28例3示意图10-29例4示意图10-30例4示意3.绘制参数方程所确定函数的图形图10-31例5示意图10-32例5示意

导数应用第一节拉格朗日中值定理与函数单调性判定法第二节函数的极值及判定第三节函数的最大值和最小值第四节曲线的凸凹性与拐点第五节函数图形的描绘第六节洛必达法则*第七节曲线的曲率第一节拉格朗日中值定理与函数单调性判定法一、拉格朗日值定理上式有几种不同的写法.验证证二、函数单调性的判定性证解解解思考题1.罗尔定理的三个条件是充要条件吗？能否去掉某个条件？答案2.拉格朗日定理的结论有哪些形式？(举例至少写三种形式)答案3.请思考并写出罗尔定理与拉格朗日定理有何关系？答案课堂练习题答案答案第二节函数的极值及判定定义极值点和导数的关系如何？由图4-6可知：图4-6极大值与极小值示意证解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第三节函数的最大值和最小值

在工农业生产和科学实验中，常要遇到在一定条件下，怎样用料最省、效率最高或性能最好等问题，这些问题归纳到数学上，即为函数最大值或最小值问题.解解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第四节曲线的凸凹性与拐点

解解拐点和二阶导数关系如何?解解思考题答案答案课堂练习题答案第五节函数图形的描绘

借助一阶导数的符号,可以确定函数的单调性与极值,借助二阶导数的符号可以确定曲线的凸凹性与拐点,知道了这些条件后,可以较准确地做出函数的图形.描绘图形的一般步骤如下.解解思考题答案课堂练习题答案第六节洛必达法则解解解解解解解解解

洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用.例如能化简，可以应用等价无穷小代替或重要极限时尽可能应用，这样可以使计算简捷.解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案*第七节曲线的曲率返回返回返回1.证明：返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回

导数与微分第一节导数概念第二节函数的和、差、积、商的求导法则第三节复合函数的求导法则第四节初等函数的求导法第五节隐函数及参数方程所确定函数的求导法第六节高阶导数第七节函数的微分第八节数学实验三用Mathematica求极限和一元函数的导数1.变速运动的速度第一节导数的概念一、变化率问题举例2.切线问题

上面两个例子分别属于不同领域,一为运动问题，一为几何问题,但都要求计算函数值的改变量与自变量的改变量之比,在当后者无限趋于零时的极限.此外,很多理论或实际问题,也要求计算这种类型的极限,这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性,便得出函数导数的概念.二、导数的定义解三、求导举例解解解解四、导数的几何意义图3-2导数几何意义解解五、函数的可导性与连续性的关系思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节函数的和、差、积、商的求导法则

第一根据导数的定义求出一些简单的导数，但对于比较复杂的函数，直接安定义来求它们的导数往往是很困难的.在本节和下节中将介绍求导的几个基本法则和基本初等函数的求导公式.

解解解解解解思考题1.牢记函数的和、差、积、商的求导法则;答案答案课堂练习题答案答案第三节复合函数的求导法则

上述定理又称链锁法则.即复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.该法则可推广到有限次复合形成的复合函数上去.如解解解解解例6

证明导数公式:证解答案答案答案思考题课堂练习题答案答案第四节初等函数的求导法一、反函数的导数为了求反三角函数的导数，先研究一般反函数的求导法.解例2求下列函数的导数：解二、初等函数求导问题1.求导法则2.基本初等函数求导公式思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第五节隐函数及参数方程所确定函数的求导法一、隐函数的导数

有的隐函数可以显化，有的则不能，不论隐函数是否能显化，可以直接由方程求出它所确定的隐函数的导数.解二、幂指函数的导数解

在导数运算中,仅有和的导数等于导数的和最简单,利用对数可以简化乘积和商及乘方的导数.如例3解三、由参数方程所确定函数的求导法解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第六节高阶导数

二阶和二阶以上导数统称称高阶导数，自然原来所说的导数就是一阶导数.由导数的定义，很容易写出二阶及二阶以上导数定义.如高阶导数也有许多实际背景.例如，加速度是速度的变化率，因而加速度是速度对时间的导数，但速度本身是路程对时间的导数，所以加速度是路程对时间的二阶导数，并把此说成二阶导数的一个物理模型.解解解解思考题答案答案课堂练习题答案答案第七节函数的微分一、微分的概念导数表示函数相对于自变量变化快慢的程度(导数绝对值大,函数y相对于自变量x变化的速度快;小则慢,导数值为零,几乎无改变),而不是改变量本身,然而在许多情形下,需要考察和估计函数的改变量.

计算函数的改变量一般没有什么好窍门,只需两个函数值相减即可.一般来讲,一些复杂函数这样运算较麻烦,并且又不实际,因为世界上绝对精确的东西是没有的.所以当自变量的改变量很小时,要对函数的改变量进行估计.先看一个实例.解二、微分的运算

按照定义，一个函数的微分就等于它的导数乘以自变量的微分，所以由导数便可立刻写出微分公式，解解解解解三、近似计算解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案*第八节数学实验三

用Mathematica求极限和一元函数的导数一、求一元函数的极限1.学习Mathematica的命令Mathematica的求极限命令调用格式为2.理解函数极概念解解解3.求一元函数的极限例4求下列函数的极限：解二、求一元函数的导数1.学习Mathemmatica命令Mathematica的求导数命令调用格式为2.导数概念根据导数的定义，利用Mathematica的求极限命令可以求出函数在任何一点处的导数.Limit[(f[x+h]-f[x])/h,h->0]解定义函数3.求一元函数的导数例6求下列函数的导数；解解返回返回返回1.证明：返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回

定积分的应用第一节定积分的微元法第二节定积分在几何中的应用第三节定积分在物理中的应用第一节定积分的微元法

在第十六章中，利用定积分表示曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这些量时，均采用了分割、近似、求和、取极限四个步骤，建立了所求量的积分式.以求曲边梯形面积为例子，简单回顾一下求解过程.思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节定积分在几何中的应用1.在直角坐标系下的计算一、平面图形的面积6-3微元法求面积6-2微元法求面积解图6-4例1示意图解图6-5例2示意图解图6-6例3示意图解图6-7例4示意图2.在极坐标系下的面积计算6-8解图6-9例5、例10示意图图6-8微元法求曲边扇形面积二、旋转体的体积解6-12解图6-12例6示意图图6-13例7示意图三、求平面曲线弧长图6-14微元法求弧长解解图6-15例9示意图6-9解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案答案第三节定积分在物理中的应用

定积分的应用十分广泛，自然科学、工程技术中的许多问题都可以使用定积分这种数学模型来解决.下面讨论一些物理方面的实例，旨在加强读者微元法建立定积分模型.一、变力做功

但在实际问题中，物体在运动过程中所受到的力是变化的，这就是下面要讨论的变力做功问题.图6-17电场力所做的功解

下面再举一个计算功的问题，但它通过定积分的微元法，先求功微元，再求定积分，并给出了一个解决此类问题的数学模型.解图6-18例题抽水做功二、液体压力解图6-19例3水箱图6-20例3液体压力解图6-23液体压力计算

已经知道，一个均匀细杆和一个质点也会产后引力，下面用定积分的微元法来分析计算这样的实际问题.三、引力图6-24细杆对质点的引力解思考题答案答案课堂练习题答案答案返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回

多元函数积分学基础第一节二重积分的概念与性质第二节二重积分的计算第三节二重积分的应用第四节三重积分第五节曲线积分第六节数学实验五用Mathematica求偏导和计算二重积分第一节二重积分的概念与性质一、实例1.曲顶柱体的体积图8-1曲顶柱体图8-2曲顶柱体划分2.非均匀薄片的质量二、二重积分的定义三、二重积分的性质解图8-3例1示意图解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节二重积分的计算

在实际应用时,用二重积分的定义和性质去计算二重积分是十分复杂和困难的.本节将介绍一种实用的计算方法,此种方法主要是把二重积分的计算化成连续计算的两次定积分,即二次积分.一、在直角坐标系下计算二重积分图8-4积分区域图8-6积分区域图8-7积分区域分割解图8-8例1示意图解图8-9例2示意解方法一解图8-11例4示意图a方法二图8-2例4示意图b

二、在极坐标系下计算二重积分图8-14极点在D之外图8-15极点在边界上图8-16极点在D内解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第三节二重积分的应用一、体积解图8-27例1示意图解图8-18例2示意图解图8-19例3示意图二、平面薄片的质量解三、平面薄片的重心解图8-20例5示意图解图8-21例6示意图思考题答案答案答案课堂练习题答案答案*第四节三重积分*第五节曲线积分一、对弧长的曲线积分1.对弧长的曲线积分的概念和性质图8-22例1示意图2.对弧长的曲线积分的计算方法解解图8-23例3示意图解二、对坐标的曲线积分的概念和性质1.对坐标的曲线积分的概念和性质例5变力沿曲线所做的功图8-24例5示意图2.对坐标的曲线积分的计算方法解图8-25例6示意图解图8-26例7示意图解图8-27例8示意图解解三、格林公式图8-28复连通区域图8-29格林公式示决图合并以上两式即得式（8-21）解解图8-30例12示意图四、平面上的曲线积分与路径无关的条件证证解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第六节数学实验五

用Mathemtica求偏导和计算二重积分一、学习Mathematica命令Mathematica的求多元函数的偏导数命令与前面学习的求一元函数的导数命令一样，调用格式为二、偏导数计算解解三、计算二重积分解解返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回

多元函数微分学基础第一节空间解析几何简介*第二节向量的概念及向量的运算*第三节空间的平面、直线及常见二次曲面第四节多元函数的概念第五节偏导数与全微分第六节复合函数与隐函数微分法第七节多元函数的极值第一节空间解析几何简介图7-1右手系示意一、空间直角坐标系

建立了空间直角坐标系后，就可以讨论间的与三个有序数之间的对应关系.7-2

三个坐标面把空间分成了八部分，每部分叫做一个卦限（见图7-3）.这八个卦限次序规定如下:图7-2点P位置下面将平面上两点间的距离公式推广到空间（证明从略）图7-3八卦限示意图解1.曲面方程的概念7-4二、曲面及其方程

一般地，把由三元一次方程表示的曲面叫做一次曲面，也和为平面；由三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面.下面简单介绍平面和一些常见的二次曲面方程.图7-4曲面示意2.平面方程由两点距离公式知图7-5例2示意图解解解3.球面方程图7-7球面示意图图7-6例4示意图解4.柱面方程图7-8柱面示意图解称这样的柱面为圆柱面（见图7-9）图7-9例5示意图1.空间曲线及其方程三、空间曲线及方程解2.空间曲线在坐标面上的投影解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案*第二节向量的概念及向量的运算

向量研究数学、物理、力学及工程技术问题的一个重要工具.本节主要介绍向量的概念和向量的基本运算.一、向量的概念

通常遇到的量可以分为两类：一类是只有大小的量，如长度、面积、温度、时间及质量等，它们叫作数量或标量.另一类量，不仅有大小，而且有方向，如力、位移、速度、加速度及电场强度等，它叫作向量或矢量.二、向量的加法与减法1.向量的加法

由物理实验可知，作用于一点的两个不平行力的合力可由可由平行四边形法则来确定.完全类似，可定义向量的加法.容易证明，向量的加法满足以下运算规律.2.向量的减法向量的减法是加法的逆运算.三、数与向量的乘法

在实际应用中，常遇到像速度加快了几倍，力增大了几倍等问题.速度加快了几倍，实际上是指速度的大小增大了几倍，而速度的方向并没有改变.在数学上，这就是数与向量相乘的问题.四、向量的坐标表示法1.向量的坐标解解如图7-15所示2.向量的模和方向余弦解五、向量的数量积1.向量的夹解与投影解2.数量积的概念不难验证，数量积满足以下运算规律：由数量积的定义还可得出解3.数量积的坐标表示式解证六、向量的向量积1.向量积的概念2.向量积的坐标表示式解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第三节空间的平面上、直线及常见二次曲面

在第一节中简单介绍了曲面和空间曲线方程的概念.本节将以向量为工具较系统地介绍平面和空间直线的知识，并对常见二次曲面加以介绍.1.平面的点法式方程

通过第一节的学习知道平面是曲面的一种特殊情形，并得到了平面的一般方程和截距式方程.下面讨论平面的点法式方程.7-237-23一、平面方程及两平面间的夹角称上式为平面的点法式方程.7-24解7-24解这就是平面的一般方程.2.两平面的夹角两平面的法向量的夹角叫作这两个平面的夹角.解1.空间直线的一般式方程

由第一节可知空间曲线可以看成是两个曲面的交线，因此，空间直线可看成是两个平面的交线.二、空间直线的方程及其夹角2.空间直线的标准方程解图7-26例4示意图解3.空间直线方程一般式与标准式的互换解4.空间两条直线的夹角两直线的方向向量之间的夹角叫作两直线的夹角.在第一节中介绍了球面和柱面，下面再介绍几种二次曲面.1.旋转曲面

一条两面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所形成的曲面叫作旋转曲面.其中定直线叫旋转转轴.在这里，只讨论旋转轴为坐标轴的旋转曲面.三、常用二次曲线及方程下面，建立该曲面方程.解图7-28圆锥面2.椭球面椭球面的图形是什么形状呢？下面用截痕法讨论椭球面的具体形状

因此，球面、旋转椭球是椭球面的特例.3.双曲面图7-30单叶双曲面4.抛物面图7-32椭圆抛物面图7-33双曲抛物面思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第四节多元函数的概念

在第十四章中，讨论了含有一个自变时的函数，即一元函数，但在实际问题中，还会遇到含有两个或两个以上自变量的函数，这就是本节所要讨论的多元函数.在这里重点介绍二元函数.一、二元函数的定义先看下面的例子.图7-34例2示意图一般地，二元函数的定义如下.解

对于一元函数，一般假定在某个区间上有定义进行讨论.对于二元函数，类似地假定它在某平面区域内有定义进行讨论.

所谓区域（平面的）是指一条或几条曲线围成具有连通性的平面一部分（见图7-35），所谓的连通性是指如果一块部分平面内任意两点可用完全属于此部分平面的折线连结起来.图7-35区域示意

若区域能延伸到无限远处，就称这区域是无界的，如图7-35(c)所示，否则，它总可以被包含在一个以原点O为中心，而半径适当大的圆内，这样的区域称为有界的，如图7-30(a)、(b)所示，围成区域的曲线叫区域的边界.闭区域：连同边界在内的区域的曲线叫区域的边界.开区域：不包括边界内的区域叫开区域.

为方便使用，将开区域内的点称为内点，将区域边界上的点称为边界点.解二、二元函数的几何意义图7-38例6示意图三、二元函数的极限和连续性1.二元函数的极限

函数的极限是研究当自变量变化时，函数的变化趋势，但是二元函数的自变量有两个，所以自变量的变化过程比一元函数要复杂得多.

二元函数的极限是一元函数极限的推广，有关一元函数极限的运算法则和定理,都可以推广二元函数的极限，下面举例说明.

解方法一

方法二

这说明，二元函数的极限问题有时可以先转化为一元函数的极限问题，再求解.解2.二元函数的连续性函数的不连续点称为函数的间断点.思考题答案答案答案课堂练习题答案答案答案第五节偏导数与全微分一、偏导数的定义及求法解解证解二、高阶偏导数解三、全微分1.全微分的定义解解解2.全微分在近似计算中的应用解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第六节复合函数与隐函数微分法一、复合函数的求导法则1.复合函数的中间变量均是二元函数的情形解2.复合函数的中间变量均为一元函数的情形解解3.复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形解4.复合函数是抽象函数的情形解解二、全微分形式不变性解三、隐函数的求导法解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第七节多元函数的极值和条件极值一、多元函数极值1.极值的定义及求法解2.最大值和最小值解图7-39例4示意图二、条件极值解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回

概率论初步第一节随机事件第二节事件的概率第三节条件概率与乘法公式第四节事件的相互独立性及重复独立试验第五节随机变量及其分布第六节随机变量的数学特征第一节随机事件

在自然界和生活中发生的种种现象,按其发生的可能性来划分,大体上可分为两类:一类称为必然现象,即在一定条件下某种结果必然会发生;另一类称为随机现象,即在一定条件下,某种结果可能会生,也可能不发生.一、随机现象与随机试验二、随机事件三、事件的关系及运算1.事件的包含与相等图9-1事件的包含2.事件的和图9-2事件的和3.事件的积图9-3事件的积4.互斥事件（互不相容事件）图9-4互斥事件5.对立事件图9-5对立事件解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节事件的概率一、概率的统计定义二、概率的古典定义解解解解三、概率的加法1.互斥事件的概率加法公式解解2.任意事件的概率加法公式图9-6定理3示意图解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第三节条件概率与乘法公式一、条件概率解解解二、乘法公式解解三、全概率公式图9-7例6示意图解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第四节事件的相互独立性独立重复试验1.事件的相互独立性解证明解解二、独立重复试验与二项概率公式2.二项概率公式解解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第五节随机变量及其分布一、随机变量1.随机变量的概念2.随机变量的二要素3.随机变量的分类二、离散型随机变量1.定义12.定义2解解3.分布列的性质解三、连续型随机变量1.概率密度性质2.概率密度的几何意义图9-9概率密度几何意义图9-8密度曲线解解四、分布函数1.分布函数的性质2.离散型随机变量分布函数的求法解图9-10例10示意图3.连续型随机变量分布函数求法解五、几种常见的分布1.两点分布2.二项分布解解3.泊松分布解4.均匀分布解5.指数分布6.正态分布图9-11标准正态曲线解解（3）一般正态分布图9-12一般正态曲线解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第六节随机变量的数字特征一、数学期望1.离散型机变量的数学期望解解解解2.连续型随机变量的数学期望解解解3.随机变量函数的数学期望解4.数学期望的性质解二、方差1.方差的计算证解解解解2.方差的性质证证证解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案1.具备以下三个特征：1）试验在相同条件下可重复进行；2）每次试验结果不止一个，事先可以知道所有可能结果；3）试验前不能确定会发生何种具体结果.返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回1.离散型、连续型.返回返回3.常见的离散型随机变量服从的分布有：两点分布、二项分布、泊松分布.常见的连续型随机变量服从的分布有：均匀分布、指数分布、正态分布.返回返回返回返回返回返回返回返回

函数、极限与连续第一节函数第二节数列极其极限第三节函数的极限第四节无穷小与无穷大第五节极限的运算法则第六节两个重要的极限第七节无穷小的比较第八节初等函数的连续性与间断性第九节初等函数的连续性第一节函数１.函数的定义一、函数的概念

通过函数定义,可以发现,构成函数的两个重要因素为对应关系与定义域.

显然,两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同时,这两个函数才认为是相同的.2.函数的定义域1.函数中有分式,要求分母不能为零2.函数中根式,要求负数不能开偶次方3.函数中有对数式,要求真数必须大于零4.函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域5.若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域的交集例1求下列函数的定义域3.函数与函数值的记号4.函数的表示方法表示函数的方法,最常用的有以下三种:2-1

在不同的区间内用不同的式子来表示的函数称为分段函数，即用几个式子合在一起表示一个函数.

求分段函数的函数值时，应将自变量的值代入相应取值范围的表示进行计算.1.函数的奇偶性二、函数的几种特性2.函数的单调性上述定义也适用于其它有限区间和无限区间的情形.

单调增加(或单调减少)函数的图形沿轴的正向上升(或下降).证3.函数的周期性4.函数有界性上述定义也适用于闭区间和无穷区间.三、复合函数例5指出下列复合函数的复合过程解四、反函数解

定义4

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合而构成的，并能用一个式子表示的函数,称为初等函数.五、初等函数

例7

用铁皮做一容积为V的圆柱形罐头筒，试将它的表面积表示为底半径的函数，并求定义域.解六、建立函数关系举例解

从上面的例子可以看出，建立函数关系时，首先要弄清题意，分析问题中哪些是变量，哪些是常量；其次，分清变量中哪个应作为自变量，哪个作为函数，并用习惯的字母区分它们；然后把变量暂固定，利用几何关系、物理定律或其他知识，列出变量间的等量关系式，并进行化简，便能得到所需要的函数关系，找出函关系式后，一般还要根据题意写出函数的定义域。思考题1.判断两个函数是否相同的关键是什么？答案2.有界函数的界是否唯一？答案3.思考复合函数的定义，在什么情况下复合函数将失去意义？答案课堂练习题答案答案第二节数列及极限一、数列的极限例1观察下列的通项变化趋势，写出它们的极限-3-3-3-302-114321n由表中各个数列的变化趋势，根据数列极限的定义可知：通过以上例题，可以推得以下结论：数列极限四则运算法则：二、数列极限的四则运算解例3求下列各极限.解三、无穷递递缩等比数列的求和公式这个公式叫无穷递缩等比数列的求和公式.解(1)如果一个数列有极限,则此极限是惟一的.(2)数列有无极限,极限是何值,与该数列的任意有限项无关.四、数列极限的性质思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第三节函数的极限一、先看下面的例子.二、例3观察并写出下列函数的极限:解2-192-20图2-19例3（1）示意图图2-19例3（1）示意图三、左极限与右极限解解四、函数的性质思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第四节、无穷小与穷大1.无穷小的定义在实际问题中,常会遇到以零为极限的变量.一、无穷小与无穷大的定义及其关系应当注意以下几点:2.无穷大的定义与无穷小相仿,应当注意以下几点:3.无穷小与无穷大的关系解

例2

以下函数在怎样的变化过程中是无穷小?你能写出相同过程下的无穷大吗?解例3讨论以下函数在何种情况下为无穷小?无穷大?解1.无穷小与函数极限之间的关系2.无穷小的性质及推论性质1有限个无穷小的代数和仍为无穷小.性质2有限个有界函数与无穷小的乘积为无穷小.

推论1常数与无穷小的乘积仍为无穷小性质3有限个无穷小的乘积仍为无穷小.

推论2无穷小的正整数次幂仍为无穷小.二、无穷小的性质解解思考题1.很小的数是否就是无穷小量？为什么？答案2.“无穷大的倒数就是无穷小，无穷小的倒数就是无穷大”这一命题是否正确？答案3.两个无穷小的商是否一定为无穷小？举例说明.答案课堂练习题答案答案第五节极限的运算法则解解解解解解解解解思考题答案答案课堂练习题答案答案第六节两个重要的极限一、证解解解解解二、解解解思考题答案答案课堂练习题答案答案第七节无穷小的比较

已经知道，两个无穷小的和、差、积都是无穷小，但是两个无穷小的商将有什么样的情况呢？表13-3三个无穷小趋向零的快慢程度0.10.010.0010.20.020.0020.010.00010.000001解解

同阶与等价的无穷小均具有反身性、对称性和传递性,两者相比，等价无穷小比同阶无穷小用得更多，所以下面重点讨论等价无穷小.

本定理说，在求商式或乘积的极限时，分子或分母有无穷小量的因子时，可以用和它等价的无穷小代换这种等价无穷小代换常使计算简化，但必须有乘、除式才可以使用等价无穷小代换，而诸如对加式、减式或幂中等方面的函数中出现的无穷小的求极限过程一般不能用等价无穷小代换.解解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第八节函数的连续性与间断性

连续性是函数的重要性质之一，是相对间断而言的，它反映了许多自然现象的一个共同特性.例如，气温的变化、动植物的生长以及空气的流动等，都是随着时间在连续不断地变化着.这些现象反映在数学上，就是函数的连续性.一、函数连续性的概念(一)函数的增量解(二)函数的连续性图2-24函数连续性与间断点那么，上述函数的连续与间断如何用数学语言来定义呢？

这一定义说明了连续的本质：当自变量变化微小，函数值相应变化也很微小.证明下面先介绍函数的左连续与右连续的概念.解

显然，在某一区间内，连续的函数其图形是一条连续不断的曲线，这是连续函数的几何特性.1.间断点下面三个函数在x=1的连续性.二、函数的间断点2.间断点的分类例5求下列函数的间断点，并说明其类型.解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第九节初等函数的连续性1.基本初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内都是连续的.2.连续函数的和、差、积、商的连续性一、初等函数的连续性3.反函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数且单调性不变.4.复合函数的连续性连续函数的复合函数仍为连续函数

在求复合函数极限时，若内外层函数均为连续函数，则极限符号与函数符号可层层交换次序，即上式也可写成解解5.初等函数的连续性一切初等函数在定义区间内都是连续的.解解解1.最大值与最小值性质定理4在闭区间上连续的函数，在该区间上至少取得它的最大值和最小值各一次.二、闭区间上连续函数的性质

此定理中有两点需要注意：闭区间与函数连续，即在开区间（a,b）内连续，或在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上不一定有最值或最小值.2.介值性证思考题答案答案答案课堂练习题答案答案返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回1.证明：返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回1.证明：返回2.证明返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回2.证明：返回

矩阵与线性方程组第一节矩阵的概念及运算第二节逆矩阵第三节矩阵的秩与初等变换第四节线性方程的矩阵求解第五节数字实验六用Mathematica进行矩阵运算和解线性方程组第一节矩阵的概念及运算第十二章矩阵与线性方程组

矩阵是解线性方程组的一个十分重要的数学工具，是线性代数的一个主要研究对象.1.矩阵的概念表12-1调运方案/t124231546010表12-2物资库存量/t120315622421040241623366850280423将以上两个表中的实际背景去掉，则抽象出如下数据：数学上就把的矩形数叫作矩阵.现在给出矩阵的一般定义.二、矩阵的运算根据实际问题的需要，规定矩阵的一些基本运算如下.1.矩阵的相等2.矩阵的加法根据定义不难验证，矩阵的加法具有以下性质：3.数与矩阵的乘法解4.矩阵与矩阵的乘法解解解解5.矩阵的转置解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节逆矩阵一、方阵的行列式二、逆矩阵证证证解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第三节矩阵的秩与初等变换1.矩阵的秩解解二、矩阵的初等变换解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第四节线性方程组的矩阵求解本节主要讨论以下问题.一、高斯消元法解表12-3方程组的消元过程与方程组对应的增广矩阵的变换过程对照方程组的消元过程增广矩阵的变换过程解二、线性方程组的相容性解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案*第五节数学实验六

用Mathematic进行矩阵运算和解线性方程组一、学习Mathematic命令1.数组与矩阵2.矩阵运算3.线性方程求解二、矩阵运算解解三、矩阵的行列式与逆矩阵解四、矩阵的秩解五、线性方程组求解解一

用行初等变换将增广矩阵化为阶梯形，阶梯形矩阵所对应的线性方程组和原方程组同解.因此，原方程组和以下方程组同解：解二记aa为系数矩阵，xx为未知量矩阵,bb为常数项矩阵.返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回答案返回返回

拉普拉斯变换第一节拉普拉斯变换的概念和性质第二节拉普拉斯逆变换第三节拉普拉斯变换应用举例第一节拉普拉斯变换的概念和性质一、拉普拉斯变换的概念

在数学中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算,常常采取一种变换手段.如数量的乘积或商运算可以通过对数变换化为和或差的运算,从而实现化繁为简的目的,再如在解析几何中,可以借助于坐标的变换,把复杂的方程化为简单形式的方程,从而能较好地研究几何问题.这里将要介绍的拉普拉斯变换就是通过一种积分运算,把一个函数化为另一个函数的变换,该变换规定如下.解解解解二、拉氏变换的性质根据拉氏的定义，可推得拉氏变换有以下性质.解解解解解解关于拉氏变换的性质和常用函数的拉氏变换见表27-1和表27-2.表15-1拉氏变换的性质4321序号序号5表15-2常用函数的拉氏变换1331221111序号序号序号序号41145156167178189191020第二节拉普拉斯逆变换解解例3求下列函数的拉氏逆变换：解第三节拉普拉斯变换应用举例

在电路分析和自动控制理论中，需要对一个线性系统进行分析和研究，这就要建立描述该系统特性的数学表达式，在很多情况下它的数学表达式是一个线性微分方程或线性微分方程组.本节将介绍用拉氏变换来解线性微分方程和建立线性系统的传递函数.拉氏变换在其他领域（如数学物理方程）也有着广泛的应用.解解解解解解

数理统计基础第一节简单随机样本第二节参数估计第三节假设检验第一节简单随机样本一、总体与样本二、统计量三、统计量的分布思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节参数估计一、参数的点估计1.样本数字特征法2.估计量的评选标准证二、区间估计1.置信区间的概念2.正态总体均值的置信区间解3.正态总体方差的置信区间解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第三节假设检验1.假设检验的基本原理解二、假设检验的步骤三、一个正态总体的期望和方差的检验表10-1正态总体的有关检验问题及方法解四、两个正态总体方差相等的假设检验解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案返回返回返回返回返回1.无偏性、有效性.返回2.是正确的.返回返回返回返回返回返回返回返回返回

无穷级数第一节数项级数的概念及其基本性质第二节数项级的敛散性第三节幂级数第四节函数的幂级数展开第五节傅里叶级数第六节周期为2的函数展开成傅里叶级数第一节数项级数的概念及其基本性质

和微分、积分一样，无穷级数是一个重要的数学工具.本章包括常数项级数与函数项级数两部分，介绍无穷级数的一些基本内容，并着重讨论如何将函数展开成幂级数以及傅里叶级数的问题.一、数项级的概念例1

讨论等比级数（又称几何级数）解解解二、数项级数的基本性质证解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节数项级数的敛散性一、正项级数及其审敛法1.比较审敛法根据该定理1，可建立正项级数的一些基本审敛法.解解解2.比值审敛法解二、任意项级的敛散性1.交错级数及其审敛法解2.任意项级数敛散性解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案*第三节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性解解解三、幂级数的运算性质解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案*第四节函数的幂级数展开

幂级数在收敛区间内确定一个和函数，现在讨论相反问题，即一个函数是否能表示成幂级数.一、泰勒级数二、把函数展开成幂级数1.直接展开法解解2.间接展开方法

间接展开法是指利用一些已知的函数幂级数展开式通过幂级数的运算性质,将所给函数展开成幂级数的方法.解解解解三、函数幂级数展开式的应用1.近似计算解*2.微分方程的幂级数解法解3.用幂级数表达函数思考题答案答案答案课堂练习题答案答案*第五节傅里叶级数一、三角级数和三角函数系的正交性二、周期为2π的函数的傅里叶级数解三、正弦级数和余弦级数解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案*第六节周期为2的函数展开成傅里叶级数一、周期为2的函数的傅里叶级数解二、傅里叶级数的复数形式

上面介绍的傅里叶级数一种三角形的表示，在电子学及工程技术上有时采用指数形式的傅里叶级数比较方便.解思考题答案答案课堂练习题答案返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回3.近似计算、微分方程的幂级数解法、用幂级数表达函数.返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回

行列式第一节二阶、三阶行列式第二节

n阶行列式第三节克莱姆法则第一节二阶、三阶行列式一、二阶行列式解二、三阶行列式图11-1三阶行列式展开方法解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节n阶行列式一、n阶行列式的概念二、n阶行列式的性质性质1行、列依次互换，行列式的值不变.三、n阶行列式的计算解方法一化为上三角行列式方法二利用定理，按第四行展开.方法三利用性质8及定理.解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第三节克莱姆法则证：解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案返回返回返回返回返回1.常用的方法有：直接利用行列式的性质计算、化为三角形行列式计算、按某行（列）展开将高阶化为低阶行列式来计算等.返回2.注意到各行（或列）元素的和都相等，故可利用行列式性质先把各行（或列）元素加到第1列（或第1行），提出该列（或行）的公因子，使该列（或行）的元素都变成1，进而化三角或者降阶计算.返回返回返回返回返回返回返回返回返回

一元函数积分学第一节不定积分的概念与性质第二节不定积分法第三节定积分的概念与性质第四节牛顿-莱布尼兹公式第五节定积分的换元法与分部积分法第六节广义积分第七节数学实验四用Mathematica计算积分

微分和积分是高等数学中的两大基本运算.微分的基本问题是:已知一个函数,求它的导数.但是,在许多实际问题中往往会遇到反问题:已知一个函数的导数,求原来的函数.由此产生了积分学.积分学包括不定积分和定积分两大部分.第一节不定积分的概念与性质一、原函数证二、不定积分证由导数与不定积分定义，很容易得到如下规律：（微分运算与不定积分的运算是互逆的！）三、不定积分的几何意义由于不定积分是微分的逆运算，所以根据微分基本公式就得对应的积公式：四、基本的积分公式

以上13个公式是积分法的基础，必须熟记，不仅要记住等式右端的结果，还要熟悉左端被积函数的形式！

由导数的运算法则和不定积分的定义，可以得到以下不定积分的运算法则.法则1对于有限个函数的代数和也是成立的!五、积分的基本运算法则解解解解解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节不定积分

利用直接积分法能计算的不定积分是非常有限的，因此有必要探索计算不定积分的新方法.本节介绍换元积分法与分部积法、换元积分法可分为第一类换元法和第二类换元法.

第一类换元积分法（又称凑微分法）是与微分分学中的复合函数微分法则相应的积分法.一、第一类换元积分法注：换元过程可以省略.一般地，若不定积分被积表达式能写成下面举例说明解解解解

以上几例都是直接用凑微分求积分的，下在介绍几个常用的凑微分的等式供参考解解解解解解法二解法一