电工学-第3章交流电路

第3章交流电路3.1正弦交流电的根本概念3.2

正弦交流电的相量表示法3.3

单一参数交流电路3.4

串联交流电路3.5

并联交流电路3.6

电路的功率因数

23.1正弦交流电的根本概念交流电:

大小和方向都周期性变化、在一个周期上的函数平均值为零。正弦交流电:

按正弦规律变化的交流电。最大值角频率初相位

i=Imsin(ωt+ψ)ImOiωtψ正弦交流电的三要素瞬时值最大值角频率初相位3正弦交流电的波形:ωti

Oωti

Oψωti

Oωti

Oψ0＜ψ＜180°－180°＜ψ＜0°ψ=0°ψ=±180°4周期T：变化一周所需要的时间〔s〕。频率f：1s内变化的周数〔Hz〕。角频率ω：

正弦量1s内变化的弧度数。T1f

==2π(rad/s)T一、交流电的周期、频率、角频率ω=2πfi2πOωtT二、

瞬时值、幅值与有效值有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。幅值：Im、Um、Em则有交流直流幅值大写,下标加m同理

有效值

必须大写

OiωtIRRi

i=Imsin(ωt+ψ)

相位：初相位：

表示正弦量在t=0时的相角。

反映正弦量变化的进程。iO正弦量所取计时起点不同，其初始值(t=0时的值)就不同，到达幅值或某一特定值的时间就不同。三、交流电的相位、初相位、相位差如：图中电压超前电流

角

两同频率的正弦量之间的初相位之差。相位差：ui

1

2或称i滞后

u

角

相位差=初相位之差。电流超前电压电压与电流同相

电流超前电压

电压与电流反相(2)不同频率的正弦量比较无意义。

(1)两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时起点的选择无关。注意:大连理工大学电气工程系10ωt

O+1+j

Oψψωωt2ωt1ωt1ωt2(b)正弦交流电(a)旋转矢量3.2正弦交流电的相量表示法+j+1

Oψ

正弦交流电可以用一个固定矢量表示Im最大值相量

I有效值相量

Im

I大连理工大学电气工程系11模辐角代数式指数式极坐标式三角式O+1+jψba

p=c(cosψ+jsinψ)1.复数的表示方法=ce

jψ=cψOp

=a+jb一、复数的根底知识几何法bψj+1baA22+=abtg1-=ψM=a+jb

=Acosψ+jAsinψaA●在复平面上表示一个复数MM1.复数的表示方法一、复数的根底知识3.2正弦交流电的相量表示法模辐角13M=

a+jb=Acosψ+jAsinψ2.复数的几种表达式：

代数式——

极坐标式由欧拉公式代数式可转换成：——

指数式cosψ+jsinψ

=ejψ

三角式eejψ2jsinψ

=--eejψ-+2cosψ

=jψjψ=AψM=

Aejψ大连理工大学电气工程系143.复数的运算复数的运算：加、减、乘、除法。加、减法：A1±A2=(a1±a2)+

j(b1±b2)

乘法:

A1A2=c1

c2ψ1＋ψ2设：

A1=a1＋jb1=c1ψ1A2=a2＋jb2=c2ψ2

≠０=A1A2c1c2ψ1－ψ2除法：A1A2+j+1OA1+A2+1O+jψej90

=

190

=j由于：－jA=Ae

j90=|A|ejψ·

e

j90=|A|ej(ψ

90)jAA

jA那么jA=Aej90=|A|ejψ

·

ej90=|A|ej(ψ+

90)cosψ+jsinψ

=ejψ

ej-90

=

1-90

=-j-Aej180

=

1-180

=-1－A=Aej180=|A|ejψ·

ej180=|A|ej(ψ+

180)－j

、j、-1旋转因子16二、正弦交流电的相量表示法令ωt=0=

Im[U

ψu]√2=

Im[U]√2√2Um=UIm[a+bj]=b+j+1

O

Um

U？电压的幅值相量(1)相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。注意:相量的模=正弦量的最大值

相量辐角=正弦量的初相位或设正弦量电压的有效值相量用相量表示:相量的模=正弦量的有效值

相量辐角=正弦量的初相位=

正弦量是时间的函数，而相量仅仅是表示正弦量的复数，两者不能划等号！(3)正弦量表示符号的说明(2)相量的两种表示形式

相量图:

把相量表示在复平面的图形可不画坐标轴相量式:瞬时值小写〔u,i〕有效值大写〔U,I〕最大值大写+下标〔Um,Im〕只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。相量

大写+“.”（Um,Im

最大值相量）（U,I

有效值相量）··19判断以下各式的正误：10000tu==

sin100w瞬时值复数例瞬时值复数)15sin(2505015o+==°teUjw20有效值

o50100Ð=I最大值(2)相量图[例3.2.1]i1=20sin(ωt+60º)A，i2=10sin(ωt－45º)A。两者相加的总电流为i，即i=i1+i2。(1)求i的数学表达式；(2)画出相量图；(3)说明i的最大值是否等于i1和i2的最大值之和，i的有效值是否等于i1和i2的有效值之和，并说明为什么。[解](1)采用相量运算I1m=2060AA–45I2m=10Im=I1m+I2mA=19.930.9

i=Imsin(ωt+ψ)=19.9sin(ωt+30.9)A+j+1O60°30.9°45°I1mI2mIm22(3)因为i1

+i2的初相位不同，故最大值和有效值之间不能代数相加。大连理工大学电气工程系23

i=Imsin(ωt+ψ)M=

a+jb=Acosψ+jAsinψ

代数式——

极坐标式——

指数式

三角式=AψM=

Aejψbj+1a大连理工大学电气工程系24相量的模=正弦量的最大值

相量辐角=正弦量的初相位或设正弦量电压的有效值相量用相量表示:相量的模=正弦量的有效值

相量辐角=正弦量的初相位=根据欧姆定律(2)大小关系:对电阻而言，电压有效值与电阻有效值之间符合欧姆定律。(3)相位关系：u、i

相位相同。(1)频率相同。相位差：1.时域分析一、纯电阻电路3.3单一参数交流电路2.向量分析UR=UR

IR=IR

=RIR=RIR＋

－

RI

U

对电阻而言，电压有效值相量与电流有效值相量符合欧姆定律。相量图用相量表示电压与电流关系,可把电路模型改画为相量模型。=RIR3.功率分析(1)瞬时功率

p：瞬时电压与瞬时电流的乘积。小写结论:

≥

（耗能元件）,且随时间变化。pωtpO瞬时功率在一个周期内的平均值。大写(2)平均功率(有功功率)P单位:W(瓦)P注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。一只额定电压为220V,功率为100W的电烙铁,误接在380V的交流电源上,问此时它接受的功率为多少？是否平安？假设接到110V的交流电源上,功率又为多少？例：此时不平安,电烙铁将被烧坏。此时电烙铁达不到正常的使用温度。解:由电烙铁的额定值可得当接到110V的交流电源上,此时电烙铁的功率为当电源电压为380V时,电烙铁的功率为二、

纯电感电路

感抗对感抗XL而言，电压有效值与电流有效值符合欧姆定律；电感电压相位超前电流相位90oLi

u＋

－

1.时域分析那么

感抗所以电感L具有通直阻交的作用。直流：f=0,XL=0，电感L视为短路定义：交流：fXLXL与f的关系OfXL(

)UL=UL

IL=IL

=UL

=ULej(ψi

+90)

=ULejψiej90

=jULejψi

=jXLIejψi

=jXLI

定义jXL为复感抗对复感抗jXL，电压相量与电流相量之间符合欧姆定律相量图超前2.向量分析Li

u＋

－

LI

U＋

－

cosψ+jsinψ

=ejψ3.功率分析(1)瞬时功率储能分析：瞬时功率

放能储能放能

电感L是储能元件。结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换〔能量的吞吐)。可逆的能量转换过程(2)平均功率L是非耗能元件单位：乏〔var〕(3)无功功率Q

用以衡量电感电路中能量交换的规模。三、

纯电容电路Ci

u＋－1.时域分析定义：容抗对容抗XC而言，电压有效值与电流有效值符合欧姆定律；电感电压相位滞后电流相位90oCi

u＋－UC=UC

IC=IC=UC

=UCej(ψi

-90)

=-jUCejψi

=-jXCIC

=UCejψiej-90

=-jXCIC

ejψi

对复容抗-jXC，电压相量与电流相量之间符合欧姆定律相量图超前2.向量分析定义-jXL为复容抗3.功率分析(1)瞬时功率由瞬时功率

所以电容C是储能元件。结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换〔能量的吞吐)。(2)平均功率ＰC是非耗能元件(3)无功功率Q单位：var单一参数交流电路主要结论列表3.4

串联交流电路一、RLC串联电路1.时域分析X:电抗R对阻抗模而言，电压有效值与电流有效值之间符合欧姆定律电压与电流的相位差等于阻抗角。阻抗模阻抗三角形452.相量分析用相量表示电压与电流关系,可把电路模型改画为相量模型。设（参考相量）46R在复数域，对电压相量而言，基尔霍夫电压定律成立。也可以证明，对电流相量而言，基尔霍夫电流定律成立对阻抗而言，电压有效值相量和电流有效值相量符合欧姆定律。47则Z的模表示u、i的大小关系，辐角〔阻抗角〕为u、i的相位差。Z

是一个复数，不是相量，上面不能加点。阻抗相量图(

>0感性)XL

>

XC参考相量由电压三角形可得:电压三角形(

<0容性)XL

<

XC49电压三角形阻抗三角形交流电路中有效值一般不能直接加减。由电压三角形可得:由阻抗三角形得：电路参数与电路性质的关系：阻抗模：阻抗角：当XL>XC

时，

>0

，u

超前i

─呈感性当XL<XC

时，

<0

，u

滞后i

—呈容性当XL=XC

时，

=0

，u、

i同相

—呈电阻性

由电路参数决定。ZR513.功率关系储能元件上的瞬时功率qX耗能元件上的瞬时功率pR在每一瞬间,电源提供的功率一局部被耗能元件消耗掉,一局部与储能元件进行能量交换。(1)瞬时功率设52(2)平均功率P(有功功率)单位:W总电压总电流u与i

的夹角cos

称为功率因数，用来衡量对