人教A版选择性必修第一册331抛物线及其标准方程课件

3.3.1抛物线及其标准方程第三章3.32023内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.了解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.了解抛物线的几何图形和标准方程.3.明确p的几何意义,并能解决简单的求抛物线标准方程问题.4.培养数学抽象、直观想象、逻辑推理与数学运算素养.自主预习新知导学一、抛物线的定义1.前面我们已经学习过求动点的轨迹方程,试求到直线y=-1的距离与到定点F(0,1)的距离相等的动点M的轨迹方程,这是我们以前学过的什么函数?试画出它的图象,并判断其图象是一条什么曲线?这是我们学过的二次函数,图象是一条抛物线.如图,2.若将直线方程改为x=-1,点F的坐标改为(1,0),动点M到直线x=-1的距离与到点F的距离相等,则点M的轨迹方程又是什么?其图象与上一条曲线有什么联系?提示:轨迹方程是y2=4x.图象可由x2=4y的图象绕原点顺时针旋转90°得到.3.在上面两条曲线中,动点M满足的条件是什么?提示:到定直线的距离与到定点的距离相等.4.抛物线的定义

5.到直线x=2与到定点P(-2,0)的距离相等的点的轨迹是(

)A.抛物线 B.双曲线

C.椭圆 D.直线答案:A二、抛物线的标准方程【问题思考】1.如图,设定点F到定直线l的距离|FK|=p,类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程,试建立适当的平面直角坐标系,求抛物线的标准方程.提示:取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴,以线段FK的中点为原点建立平面直角坐标系Oxy,如图.2.根据定点F与定直线l的位置关系,你认为抛物线的标准方程有几种类型?开口方向有哪些?提示:抛物线的标准方程有四种类型,开口方向有向右、向左、向上、向下.3.抛物线的标准方程

4.下列关于抛物线x2=4y的描述正确的是(

)A.开口向上,焦点坐标为(0,1)答案:A【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)方程x2=2py表示的抛物线开口向上.(×)(2)抛物线的方程都是y关于x的二次函数.(×)(3)标准方程y2=2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.(√)(4)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定.(√)(5)平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(×)合作探究释疑解惑探究一求抛物线的标准方程【例1】

分别求适合下列条件的抛物线的标准方程.(2)过点(-3,2);(3)焦点在直线x-2y-4=0上;(4)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5.分析:根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可,注意标准方程的形式.(2)由题知点(-3,2)在第二象限,设抛物线的标准方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),(3)①令x=0,由方程0-2y-4=0得y=-2,故抛物线的焦点坐标为(0,-2).设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则由

=2,得2p=8,故所求抛物线的标准方程为x2=-8y.②令y=0,由x-0-4=0得x=4,故抛物线的焦点坐标为(4,0).设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),由

=4得2p=16,故所求抛物线的标准方程为y2=16x.综上可知,抛物线的标准方程为x2=-8y或y2=16x.(4)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.反思感悟

1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤:2.求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)把握开口方向与方程间的对应关系.(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.(3)注意p与

的几何意义.【变式训练1】

根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)焦点在y轴上且过点(-1,-3);(2)过点(4,-8).解:(1)如图①所示,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),(2)如图②所示,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2py(p>0),将(4,-8)代入y2=2px,得p=8,将(4,-8)代入x2=-2py,得p=1,故所求抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-2y.探究二抛物线的定义及其应用答案:C【例2】

(1)已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为(

)(2)已知抛物线y2=4x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,对于定点A(4,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时的点P的坐标.分析:(1)由条件及抛物线的定义求出点P的横、纵坐标,则△POF的面积易得.(2)利用抛物线的定义,把|PF|转化为点到准线的距离.解:如图,作PN⊥l于点N(l为准线),作AB⊥l于点B,则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|,当且仅当P为AB与抛物线的交点时,取等号.故(|PA|+|PF|)min=|AB|=4+1=5.此时yP=2,代入抛物线方程得xP=1,P(1,2).将本例(2)点A坐标改为(3,4),点P到抛物线准线的距离为d,其他条件不变,则|PA|+d的最小值为

.

解析:由题意可知点(3,4)在抛物线的外部,d=|PF|.∵|PA|+d=|PA|+|PF|的最小值即为A,F两点间的距离,反思感悟

抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.【变式训练2】

(1)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(

)解析:由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由图可得,点P到准线x=-的距离d=|PF|,易知点A(0,2)在抛物线y2=2x的外部,连接AF,交抛物线y2=2x于点P',欲使所求距离之和最小,只需A,P,F共线,答案:A(2)若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和点M的坐标.解得p=2.故抛物线方程为y2=-4x,将x=-9代入y2=-4x,解得y=±6,故M(-9,6)或M(-9,-6).探究三与抛物线有关的轨迹方程【例3】

(1)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程.(2)某河上有一座抛物线形的拱桥,当水面距拱顶5m时,水面宽8m,一木船宽4m,高2m,载货的木船露在水面上的部分为0.75m,当水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?分析:(1)利用|MC|的长度比点M到直线y=2的距离大1求解.(2)先建立平面直角坐标系,确定抛物线的方程,由对称性知,木船的轴线与y轴重合,问题转化为求出x=2时的y值.解:(1)设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则由题意可得M到圆心C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等.由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y.(2)以桥的拱顶为坐标原点,拱高所在的直线为y轴,建立直角坐标系(如图).设抛物线的方程是x2=-2py(p>0),由题意知点A(4,-5)在抛物线上,设水面上涨,木船面两侧与抛物线形拱桥接触于点B,B'时,木船开始不能通航,故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2

m时,木船开始不能通航.反思感悟

1.求动点轨迹方程的方法:定义法,判断动点的轨迹是否满足抛物线的定义.若满足抛物线的定义,则可按抛物线标准方程的形式写出方程.2.求解与抛物线有关的实际应用题的五个步骤:(1)建立适当的坐标系;(2)设出合适的抛物线标准方程;(3)通过计算求出抛物线的标准方程;(4)求出需要求出的量;(5)还原到实际问题中,从而解决实际问题.【变式训练3】

已知动圆M经过点A(3,0),且与直线l:x=-3相切,求动圆圆心M的轨迹方程.解:设动点M(x,y),☉M与直线l:x=-3的切点为N,则|MA|=|MN|,即动点M到定点A和定直线l:x=-3的距离相等,故点M的轨迹是抛物线,且以A(3,0)为焦点,以直线l:x=-3为准线,则

=3,p=6,故动圆圆心M的轨迹方程是y2=12x.【易错辨析】

考虑问题时思维不严密致误【典例】

已知动点M(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,求动点M(x,y)的轨迹方程.错解:因为动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,所以动点M到定点(2,0)的距离与它到定直线x=-2的距离相等,所以动点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且p=4,所以抛物线的方程为y2=8x,即所求动点M的轨迹方程为y2=8x.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解只考虑了一种情况.在此题中,(2,0)到y轴的距离为2,故x轴上原点左侧的点也满足题中条件.正解:因为动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,所以动点M到定点(2,0)的距离与它到定直线x=-2的距离相等,所以以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线方程满足轨迹方程,且p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.又x轴上原点左侧的点到y轴的距离比它到点(2,0)的距离小2,所以方程y=0(x<0)也满足轨迹方程.综上,动点M的轨迹方程为y=0(x<0)或y2=8x.防范措施

考虑问题时要注意题目中的隐含条件,本题中点(2,0)到y轴的距离正好等于2,又点(2,0