2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-第二章 直线和圆的方程综合拔高练

2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册

综合拔高练

五年高考练

考点1直线方程及其应用

1.（2020全国HI文,8）点（0,-1）到直线y=k（x+l）距离的最大值为（）

A.1B.V2C.V3D.2

2.（2021上海春季高考,5）直线x=-2与直线gx-y+l=0的夹角为.

考点2圆的方程及其应用

3.（2021北京,9）已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx+m,则当k的值发生变化时，直线1

被圆C所截的弦长的最小值为2,则m的取值为（）

A.±2B.±V2

C.±V3D.±3

4.（多选）（2021新高考I,11）已知点P在圆（x-5）2+（y-5）2=16上，点

A（4,0）,B（0,2）,则（）

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NPBA最小时，|PB|=3或

D.当NPBA最大时，|PB|=3立

5.（多选）（2021新高考II,11）已知直线1:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,A（a,b）,

则下列说法正确的是（）

A.若点A在圆C上,则直线1与圆C相切

B.若点A在圆C内，则直线1与圆C相离

C.若点A在圆C外,则直线1与圆C相离

D.若点A在直线1上,则直线1与圆C相切

6.（2020北京,5）已知半径为1的圆经过点（3,4）,则其圆心到原点的距离的最小

值为（）

A.4B.5C.6D.7

7.（2020全国I文,6）已知圆x?+文-6x=0,过点（1,2）的直线被该圆所截得的弦的长

度的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

8.（2020全国II理，5）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线

2x-y-3=0的距离为（）

A.gB.等

3V5„4V5

cr-VD-

9.（2020全国I理,H）已知0M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为1上的动

点.过点P作OM的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程

为（）

A.2x-y-l=0B.2x+y-l=0

C.2x-y+l=0D.2x+y+l=0

10.（2021天津，12）若斜率为8的直线与y轴交于点A,与圆x?+（y-1）2=1相切于点

B,则|AB|=.

11.（2020浙江，15）已知直线y=kx+b（k>0）与圆x2+y2=l和圆（x-4）?+y2=l均相切,

贝！Jk=,b=.

12.（2020天津,12）已知直线x-V3y+8=0和圆x2+y2=d（r>0）相交于A,B两点.若

IAB|=6,则r的值为.

三年模拟练

应用实践

1.(2022四川成都阳安中学期中)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》

是古代世界光辉的科学成果，里面证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的

比值为常数k(k>0,kWl)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平

面直角坐标系中，设A(-3,0),1^3,0),动点M满足嗡｛=2,则动点M的轨迹方程为

()

A.x2+(y-5)2=9B.x2+(y+5)2=9

C.(x-5)2+y2=16D.(x+5)2+y2=16

2.(2022北京第十三中学期中)若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=l上任一点,则点P到直

线丫=1«-1距离的值不可以为()

A.4B.6

C.3V2+1D.8

3.(2021安徽阜阳太和一中月考)已知点P(t,t),t£R,点M是圆A:x2+(y-l)24±

的动点，点N是圆B:(x-2)2+y2=；上的动点，则IPNHPMI的最大值是()

A.V5-1B.2

C.3D.V5

222

4.(2021江西南昌二中月考)4知圆C,:(x-2)+y=4,C2:(x-2-5cos9)

+(y-5sin。)2=1(。£R),过圆C2上一点P作圆G的两条切线，切点分别是E,F,则

方•丽的最小值是()

A.6B.5

C.4D.3

5.（多选）（2022广东顺德一中期中）已知点A是直线l:x+y-&=0上一定点，点P,Q

是圆x2+y2=l上的动点,若NPAQ的最大值为90°,则点A的坐标是（）

A.（0,V2）B.（1,V2-1）

C.（V2,0）D.（V2-1,1）

6.（2021新高考八省（市）联考）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正

方形的两条邻边所在直线的斜率分别为.

7.（2022北京汇文中学期中）已知过点的直线1与圆（x+l）2+（y-2）2=5相切,

且与直线ax+y-l=0垂直,求a的值及直线1的方程.

8.（2022上海复旦大学附属中学月考）如图，一个湖的边界是圆心为0的圆，湖的

一侧有一条直线型公路1,湖上有桥AB（AB是圆0的直径），规划在公路1上选两个

点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点0的

距离均不小于圆0的半径.已知点A,B到直线1的距离分别是AC和BD（C,D为垂

足），测得|AB|=10,|AC|=6,|BD|=12（单位:百米）.

⑴若道路PB与AB垂直,求道路PB的长；

⑵在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由；

⑶在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d（单位:百米），求当d最小时,P,Q

两点间的距离.

I)C

迁移创新

9.(2020广东佛山一中期中)规定:在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，

球的位置是指球心的位置,我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后，目标球

在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,

母球球心所指向目标球球心的方向.将所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且

母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系，解

决下列问题：

⑴如图①,若母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向

B'(8,-4)处运动,求碰撞前母球A的球心运动的直线方程；

⑵如图②,若母球A的位置为(0,-2),目标球B的位置为(4,0),能否让母球A击

打目标球B后，使目标球B向B'(8,-4)处运动？

⑶当A的位置为(0,a)时，使得母球A击打目标球B,目标球B(4夜,0)可以向能碰

到目标球C(7V2,-5V2)的方向运动,求a的最小值(只需要写出结果即可).

图②

答案全解全析

五年高考练

1.B由y=k(x+1)可知直线过定点(-1,0),设为P,设A(0,-1),当直线y=k(x+1)与

AP垂直时，点A到直线y=k(x+1)的距离最大,其最大距离为|AP|=々.故选B.

2.答案?

解析因为直线x=-2的斜率不存在，倾斜角为与,直线遮x-y+l=0的斜率为百，倾

斜角为1所以直线x=-2与直线8x-y+l=0的夹角为弓-:；.

3236

3.C设圆心C到直线1的距离为d,则，当弦长最小时，d最大，此时

k=0,d=|mI,由题意知m2+l=4,所以m=±V3,故选C.

4.ACD由题意可知直线AB的方程为&匕1,

42

即x+2y-4=0,则圆心(5,5)至直线AB的距离(1=窄詈二畔>4,

V+245

，直线AB与圆(x-5)2+0-5)2=16相离，

...点P到直线AB的距离的取值范围为『学―4,^+4

•.管-4£(0,1),呼+4」(8,9),，A正确,B错误.

过点B作圆的两条切线,切点分别为P„P2,如图，当点P在切点P,的位置时，ZPBA

最小，当点P在切点P2的位置时,ZPBA最大，易知|PR=RB|,圆心(5,5)到点B

r

的距离为后,圆的半径为4,所以|PiB|=|P?B|=V3416=V18=3V2,故C,D均正确.

故选ACD.

B\

7)]

5.ABD圆心C(0,0)到直线1的距离

Va2+i>2

若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,

所以直线1与圆C相切,故A正确.

若点A(a,b)在圆C内，则a2+b2<r2,

所以直线1与圆C相离,故B正确.

若点A(a,b)在圆C外,则aJ+b">r",

r2

所以d=F^〈|r|,

y/a2+b2

所以直线1与圆c相交，故c错误.

若点A(a,b)在直线1上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,

2

所以d=.r

yJa2+b2-|r|.

所以直线1与圆C相切，故D正确.故选ABD.

6.A设圆心为A(x,y),由已知得(x-3尸+(y-4)2=1,即A在以(3,4)为圆心，1为半

径的圆上，所以圆心A到原点的距离的最小值为、(3-0)2+(4-0)2-1=5-1=4.故

选A.

7.B由x2+y2-6x=0得圆心为(3,0),设此点为C,点(1,2)为A,当过点A的弦与AC

垂直时一，弦长最小，易知|AC|=j22+(1-3)2=2V2,因为半径、半弦长、弦心距构成

直角三角形,所以弦的长度的最小值为2』32-(2.2=2,故选B.

8.B由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆至少与一条坐

标轴相交,不符合题意,所以圆心必在第一象限.

设圆心的坐标为(a,a)(a>0),则圆的半径为a,圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a：

由题意可得(2-a)2+(l-a)2=a2,整理得a2-6a+5=0,解得a=l或a=5.

所以圆心坐标为(1,1)或(5,5),

圆心(1,1)至!J直线2x-y-3=0的距离d尸2x葭3岑;

V55

圆心⑸5)到直线2x-y-3=0的距离&=2x5晨-3二学.

V55

所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为等.故选B.

9.DOM的方程化为标准形式为(xT)2+(y-l)2=4,半径r=2,M(l,1),如图，由题可

知，ABJ_PM,

=

IPM|,|AB|=2S四边形APBM=2(SAPAM+SAPBM)2(IPAI+)PB)).

V|PA|=|PB|,

此时|PA|=1,AB〃1,设直线AB的方程为y=-2x+b(bW-2),

圆心M到直线AB的距离为dT

22

.,.C!2+|Y|=IMA12,即解得b=T或b=7(舍去).

综上，直线AB的方程为y=-2x-l,即2x+y+l=0,故选D.

10.答案V3

解析设圆心为M,由直线的斜率为旧知此切线的倾斜角为60°，又切线与y轴交

点为A,所以ZMAB=30°,又ZABM=90°，且所以|AM|=2,即

|AB|=J|/1M|2-|BM|2=V3.

11.答案

33

/JII_=]

解析由直线与圆相切的充要条件知[女工’=

4k+bq

Wfc2+i

k=f(舍负)，

b=4k+b,

b|=yjk2+1b=-也.

3

12.答案5

解析设圆心(0,0)到直线x-V3y+8=0的距离为d,则d=8=4,

Jl2+(-V3)2

.,.r2=(^y-)2+d2=32+42=25,又r>0,.\r=5.

三年模拟练

1.C设M(x,y),依题意得,(工=2,

J(x-3)2+y2

化简,得x2-10x+y2+9=0,

配方,得方-5)，y2=16.故选C.

2.D圆C:(x+3)2+(y-3)2=l的圆心坐标为(-3,3),半径为1,直线y=kx-l过定点

(0,-1).

由图可知，圆心C到直线y=kx-l距离的最大值为J(-3-0)2+[3-(-1)]2=5,则点

P到直线y=kx-l距离的最大值为5+1=6.

结合选项知，只有D不符合.故选D.

3.B圆x2+(y-l)2=：的圆心为A(0,1),圆(x-2¥+y2=；的圆心为B(2,0),则

44

|PNHPM|w|PB|+p(|P4|-3=|PBHPA|+L设A关于直线y=x的对称点为

A'(1,0),则|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA'|+1W|A'B|+1=2,故选B.

22

4.A由圆C2：(x-2-5cos0)+(y-5sin9)=1(9£R)可得，圆C2的半径为1,圆心

在圆(x-2)2+y2=25上运动.由Ci(2,0),可得|PC,|G[4,6].

由图可知，屈•方=1屈12cos2a=(|PG|2—4)•(l-2sin2a)=

(IPG12—4)(1--^)=IPG12+^1^—12,

\PCi/IPCj

由y=IPCI|2+^^-12在IPG12£[16,36]上为增函数可知，当|PG12=16时，丽•两

|PCil

取最小值，为6,故选A.

5.AC如图所示.

原点到直线1的距离d=^2=l,则直线1与圆x2+y2=l相切.

Vlz+lz

由图可知，当AP,AQ均为圆x2+y2=l的切线时，ZPAQ取得最大值,

连接0A,0P,0Q,由于ZPAQ的最大值为90°,且此时

ZAP0=ZAQ0=90°,|0P|=|0QHl,所以四边形AP0Q为正方形，所以

|0A|-V2|0P|=V2.

设A(t,V2-t),

由两点间的距离公式得|OA|=J"+(V2-t)2=V2,

整理得t2-V2t=0,解得t=0或t=V2,因此，点A的坐标为(0,6或Hi,0).故选

AC.

6.答案-3,1

解析解法一:设正方形的一条对角线所在直线的倾斜角为a,且tana=2,

则正方形的两条邻边的倾斜角为a+1a-H

44

TT.TV

(,n\tana+tan-0,/*tana-tan-i

tana+-=------^=-3,tana--=------V2-,

I4；l-tanatan-I4)1+tanatan-3

正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为-3,i

解法二:建立平面直角坐标系，如图，

设0(0,0),A(1,2),则B(-2,1),D(2,-1),

=；

所以kAB=^4=1)kAD7Y=-3.

...正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为-3,(

7.解析易知点在圆(x+l¥+(y-2¥=5上,

又过点M(l,1)的直线1与圆(x+l)2+(y-2)2=5相切，且与直线ax+y-l=0垂直,

所以切点M与圆心(T,2)的连线与直线ax+y-l=0平行或重合,

所以-a=：｝=-所以a=；.

22

所以直线1的方程为y-以2(x7),即2x-y-l=0.

8.解析解法一：(1)过A作AELBD,垂足为E.

由已知条件得，四边形ACDE为矩形，|DE|=|BE|=|AC|=6,

|AE|=|CDl=8.

因为PB±AB,所以cosNPBD=sinNABE*q

所以IPB|=—^=¥=15.

COSZ-PBD-

5

因此道路PB的长为15百米.

⑵不能.理由如下:①若P在D处，由⑴可得E在圆上,则线段BE上的点（除B,E）

到点0的距离均小于圆0的半径,所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处,连接AD,由⑴知|AD|=J|/E|2+|ED|2=10,

।2I।2।।2

从而cosNBAD」”：［BD招）0,所以/BAD为锐角.

2AD•\AB25

所以线段AD上存在点到点0的距离小于圆。的半径.因此,Q选在D处也不满足规

划要求.

综上,P和Q均不能选在D处.

⑶先讨论点P的位置.

当N0BP〈90°时,线段PB上存在点到点0的距离小于圆0的半径，点P不符合规

划要求；

当N0BP290。时,对线段PB上任意一点F,|0F|2|0B|,即线段PB上所有点到点

0的距离均不小于圆0的半径，点P符合规划要求.

设Pi为1上一点，且P,B1AB,由⑴知，|PiB|=15,止匕时

IPJ)|=|P,B|sinZPiBD=|P,B|cosZEBA=15x|=9;

当N0BP>90°时，在△PP。中，|PB|>|PiB|=15.

由上可知，d215.

再讨论点Q的位置.

由⑵知，要使得|QA|215,点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当

IQA|=15时-，|CQ||Q412-1AC12=V152-62=3V21.止匕时,线段QA上所有点到点0

的距离均不小于圆。的半径.

综上，当PB_LAB,点Q位于点C右侧,且|CQ|=3旧时,d最小,此时P,Q两点间的距

离|PQ|=|PD|+|CD|+|CQ|=17+3&I.

因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3V21)百米.

解法二：⑴如图，过。作垂足为H.

以0为坐标原点,直线0H为y轴,建立平面直角坐标系.

因为|BD|=12,|AC|=6,所以|0H|=9,直线1的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为

3,-3.

因为AB为圆。的直径，|AB|=10,

所以圆。的方程为x2+y2=25.

从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为二.

4

因为PB_LAB,所以直线PB的斜率为

直线PB的方程为y=_x-g.

所以P(T3,9),|PB|=J(-13+4V+(9+3)2=i5.

因此道路PB的长为15百米.

⑵不能.理由如下:①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则|E01=4<5,所以P

选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处，连接AD,由⑴知D(-4,9),

又A(4,3),所以线段AD:y=4x+6(-4WxW4).

在线段AD上取点M(3,胃)，

因为硼:5+(号之〈存*痔5,

所以线段AD上存在点到点0的距离小于圆0的半径.因此Q选在D处也不满足规

划要求.

综上,P和Q均不能选在D处.

⑶先讨论点P的位置.

当N0BP<90°时,线段PB上存在点到点0的距离小于圆0的半径，点P不符合规

划要求；

当N0BP290。时,对线段PB上任意一点F,|0F|2|0B|,即线段PB上所有点到点

0的距离均不小于圆0的半径，点P符合规划要求.

设P为1上一点,且P1B1AB,由(1)知，|P,BI=15,此时Pi(-13,9);

当N0BP>90°时，在APPiB中，|PB|>|PiBkl5.

由上可知，d215.

再讨论点Q的位置.

由⑵知，要使得|QA|215,点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当

|QA|=15时，设06,9),由|人0|=](0-4)2+(9-3)2=156>4),得a=4+3VH,所以

Q(4+3V21,9),此时,线段QA上所有点到点0的距离均不小于圆0的半径.

综上，当P(T3,9),Q(4+3何，9)