1997考研数四真题及解析

BorntowinPAGEPAGE41997年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)设,其中可微,则.(2)设,则.(3)设阶矩阵,则.(4)设是任意两个随机事件,则.(5)设随机变量服从参数为的二项分布,随机变量服从参数为的二项分布.若,则.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设在点的某邻域内连续,且当时,的高价无穷小,则当时,是的()(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小(2)若,在内,则在内有()(A),(B),(C),(D),(3)设向量组,,线性无关,则下列向量组中,线性无关的是()(A),,(B),,(C),,(D),,(4)非齐次线性方程组中未知量个数为,方程个数为,系数矩阵的秩为,则()(A)时,方程组有解(B)时,方程组有惟一解(C)时,方程组有惟一解(D)时,方程组有无穷多解(5)设是一随机变量,,,则对任意常数,必有()(A)(B)(C)(D)三、(本题满分6分)求极限.四、(本题满分6分)设有连续偏导数,和分别由方程和所确定,求.五、(本题满分6分)假设某种商品的需求量是单价(单位：元)的函数：,商品的总成本是需求量的函数：；每单位商品需要纳税2元,试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额.六、(本题满分7分)求曲线,,,所围成的平面图形的面积,并求该平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.七、(本题满分7分)设函数在内连续,且,试证：(1)求的联合概率分布；(2)求.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下：由可知(2)【答案】【分析】注意本题要求的是个常数.【解析】令,则,两边从0到1作定积分,得.(3)【答案】【解析】把第各行均加至第1行,则第1行为,提取公因式后,再把第1行的-1倍加至第各行,可化为上三角行列式,即.(4)【答案】【解析】根据事件间运算的分配律,有,故如果将直接展开也是一样的,.所以(5)【答案】【解析】由于两个二项分布服从的参数相等,所以只需通过其中一个条件确定参数,则另一个二项分布的参数就可以确定.因,所以.(通常在求一个事件概率比较复杂时,往往我们都考虑通过它的对立事件来求)又,故.(由于概率是必需小于等于１的,所以开根号时,只能取正)因此,,故【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式：若,则,.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)【答案】(B)【分析】由无穷小阶的比较的概念可知,只要考察极限即可.【解析】由于,因此,当时,是的高阶无穷小.故应选(B).(2)【答案】(C)【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题.方法1：由知,的图形关于轴对称.由在内,且知,的图形在内单调上升且是凸的；由对称性知,在内,的图形单调下降,且是凸的,所以应选(C).方法2：由可知.当时,,此时由题设知,,则,故应选(C).方法3：排除法.取,易验证符合原题条件,计算可知(A)、(B)、(D)三个选项均不正确,故应选(C).方法4：由题设可知是一个二阶可导的偶函数,则为奇函数,为偶函数,又在内,则在内,故应选(C).(3)【答案】(C)【分析】这一类题目最好把观察法与技巧相结合.【解析】对于(A),,即存在一组不全为零的数1,-1,1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知线性相关,排除(A)；对于(B),,即存在一组不全为零的数1,1,-1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知线性相关,排除(B)；对于(C),简单的加加减减得不到零,就不应继续观察下去,而应立即转为计算行列式.设有数使得,整理得已知,,线性无关,上式成立,当且仅当=1\*GB3①因=1\*GB3①的系数行列式,故=1\*GB3①有唯一零解,即.故原向量组,,线性无关.应选(C).或者也可以将,,用线性表出,且写成矩阵形式,有,,则可逆,故两向量组是等价向量组,由,,线性无关知,,线性无关.(4)【答案】(A)【解析】因是矩阵,若,增广矩阵也只有行,则故有故有解.应选(A)；或,由知的行向量组线性无关,那么其延伸组必线性无关,故增广矩阵的个行向量也是线性无关的,亦即；关于(B)(D)不正确的原因是：由不能推出(注意：是矩阵,可能大于),无解.故(B)(D)不成立.至于(C),当时,还可能无解,及无穷多解,(只有当时,才有唯一解),故(C)不成立.(5)【答案】(D)【解析】首先看A选项：由于,如果成立,则有.若,则等式成立.若,即有,而,与为任意常数矛盾.故A错.再看B选项：,而,若成立,则.若,与为任意常数矛盾.若,则,与矛盾(因为为任意常数),故B错.再来看Ｃ选项：由于要比较,所以直接的想法是在左边构造出右边项来.在数学计算中经常用到的加一项减一项的技巧.,由所以,故(D)正确,(C)错.【相关知识点】1.随机变量数学期望的性质：若随机变量的期望存在,则(其中为常数),(其中为常数).三、(本题满分6分.)【分析】注意本题中有一项,当时,此项极限存在且为0,所以此项应单独提出来,剩余两项为型未定式,应先通分然后用洛必达法则.【解析】原式四、(本题满分6分.)【解析】由题设有.(*)在中,将视为的函数,两边对求导,得.(1)在中,将视为的函数,两边对求导,得.(2)将(1)、(2)两式代入()式,得.【相关知识点】1.多元复合函数求导法则：若和在点处偏导数存在,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点处的偏导数存在,且.五、(本题满分6分)【解析】以表示销售利润额,则,令,得.由于,可见,时,有极大值,也是最大值(因为是惟一驻点).最大利润额(元).六、(本题满分7分)123xO【解析】如右图所示,所求面积,表示该平面图形在轴下方的部分,表示该平面图形在轴上方的部分.易见,123xO,.故所求图形的面积.平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积；平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积.故所求旋转体体积.七、(本题满分7分)【分析】证明是偶函数要用定义；证明单调不减,只需证明.【解析】(1)因为则为偶函数.(2)由可知(其中介于0与之间)若,则,从而,于是；若,则,从而,于是,即对一切的,有.原题得证.八、(本题满分6分)【解析】直线,和的方程相应为,和.O1xPy21AB过点向轴做垂线,它将分成和两个区域(如右图所示),其中点O1xPy21AB；.故.九、(本题满分7分)【解析】(1)由及,有(2)用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有,又因是非奇异矩阵,所以,故.由此可知可逆的充要条件是,即,亦即.评注：本题考查分块矩阵的运算,要看清是1阶矩阵,是一个数.【相关知识点】1.两种特殊的拉普拉斯展开式：设是阶矩阵,是阶矩阵,则.2.行列式乘积公式：设是两个阶矩阵,则乘积的行列式等于和的行列式的乘积,即.十、(本题满分9分)【分析】是对角矩阵,那么与相似时的矩阵就是由的线性无关的特征向量所构成的,求矩阵也就是求的特征向量.【解析】(1)因为,则,,即(2)由题设条件,由相似矩阵的性质,有特征值.当,由,得到基础解系为,即为矩阵的属于特征值的线性无关的特征向量；当,由,其基础解系为,即为矩阵的属于特征值的特征向量.那么,令则有.【相关知识点】1.相似矩阵的性质：相似矩阵的特征值相同.十一、(本题满分8分)【解析】(1)求分布函数实质上是求的概率.由的绝对值不大于1,可得当时,；当时,；又,则；由题意在内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,那么当的值属于的条件下,事件的条件概率为：(其中为比例正常数),又,而,所以,故；当时,,所以.由条件概率公式,有,而,所以,故.(2)取负值的概率而,又随机变量的密度函数在内是连续的,所以在内随机变量在一点处的概率为０,即,所以.【相关知识点】1.条件概率公式：.十二、(本题满分8分)【解析】(1)要求的联合概率分布,其中都是与相关,所以通过求的概率来求的概率.因服从参数为的指数分布,则其分布函数为：由,知只有四种可能取值.因事件相