2022年河南省中考数学模拟调研试题及答案解析

2022年河南省中考数学模拟调研试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.正可的化简结果为（）

A.3B.-3C.±3D.9

2.已知点4（6一1,3）与点8（2,凡+1）关于x轴对称，则m+n的值为（）

A.-1B.-7C.1D.7

3.一个不透明的袋子中有黄色和若干个白色的两种小球，这些球除颜色外其他完全相同，

已知黄球有9个，每次摸球前先将袋子中的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后，放回袋中,

再摇匀，再摸，通过大量重复摸球后发现，摸到黄球的频率稳定在30%,估计袋子中白球的

个数是（）

A.15B.18C.20D.21

4.如图，一艘轮船在4处测得灯塔P位于其北偏东60。方向上，轮船沿正东方向航行30海里

到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30。方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（）

A.15b海里B.30海里C.45海里D.30遮海里

5.将抛物线）/=2/-6》+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）

A.y=-8）2+5B.y=1（x-4）2+5

C.y=1（x-8）2+3D.y=1（x-4）2+3

6.如图，△ABC内接于。。，NB=65。，4c=70。.若BC=2应，则命的长为（）

A.71B.V2TTC.27rD.2扬r

7.以x为自变量的二次函数、=/一2（。一2次+从一1的图象不经过第三象限，则实数b的

取值范围是（）

5

匕>

A.-4-B.b>1或b<-1C.b>2D.l<b<2

8.二次函数y=-（%-l）2+5,当m<x<n且77m<。时,y的最小值为2m,最大值为2n,

则m+n的值为（）

A.|B.2C.|D.1

9.如图QABCD,F为BC中点，延长40至E,使DE：40=1：3,连接EF交DC于点G,则S^EG：

S&CFG=（）

A.2：3B.3：2C.9：4D.4：9

10.如图，在菱形ABCD中，乙4BC=60。，AB=4,点E是4B边上的动点，过点B作直线CE

的垂线，垂足为F,当点E从点4运动到点B时，点尸的运动路径长为（）

A.V3B.2V3C.-itD.-7T

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.从2,3,4,6中随机选取两个数记作a和b（a<b）,那么点（a,b）在直线y=2x上的概率

是.

12.如图，在△ABC中，sinB=g,tanC="，AB=3,贝i]4C的长为.

Jz

13.若关于x的一元二次方程£^2+2》一1=0无解，则a的取值范围是.

14.如图，△48C是等腰直角三角形，/.ACB=90°,AC=BC=2,把AABC绕点4按顺时

针方向旋转45。后得到△AB'C,则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是

B'C

B

15.如图，二次函数解析式为y=4/+B%+c（4^o）,则下列命题中正确的有（填

序号）.

@ABC>0；@B2<4AC；③44-2B+C>0；（4）2A+B>C.

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题10.0分）

解方程：

（1）X2-2X-3=0；

（2）3X2-2V3X=-1.

17.（本小题9.0分）

某市对当年初中升高中数学考试成绩进行抽样分析，试题满分100分，将所得成绩（均为整数）

整理后，绘制了如图所示的统计图，根据图中所提供的信息，回答下列问题：

（1）共抽取了多少名学生的数学成绩进行分析；

（2）如果80分以上（包括80分）为优生，估计该年的优生率为多少？

（3）该年全市共有22000人参加初中升高中数学考试，请你估计及格（60分及60分以上）人数大

约为多少？

小学生数

18.(本小题9.0分)

某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔4B,如图所

示.在山脚平地上的。处测得塔底B的仰角为30。，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶4的

仰角为60。，求小山BC的高度.

19.(本小题9.0分)

已知关于工的一元二次方程/+2x-k=0有两个不相等的实数根.

(1)求k的取值范围：

(2)若方程的两个不相等的实数根是a,b,求系-告的值.

20.(本小题9.0分)

如图，AB是。。的直径，C为。。上一点，PC切。。于C,AEJ.PC交PC的延长线于E,4E交

。。于D,PC与力B的延长线相交于点P,连接AC、BC.

⑴求证：AC平分NB4D；

(2)若PB：PC=1：2,PB=4,求48的长.

D

21.（本小题9.0分）

毕业季即将到来，某礼品店购进了一批适合大学生的毕业纪念品，该礼品店用4000元购进2种

礼品若干件，用8400元购进B种礼品若干件，所购B种礼品的数量比4种礼品的数量多10件，

且B种礼品每件的进价是4种礼品每件进价的1.4倍.

（1）4、B两种礼品每件的进价分别为多少元？

（2）礼品店第一次所购礼品全部售完后，再次购进小B两种礼品（进价不变），其中4种礼品购

进的数量在第一次的基础上增加了2a%,售价在进价的基础上提高了0.9a%；B种礼品购进的

数量在第一次的基础上增加了2a%,售价在进价的基础上提高了a%.全部售出后，第二次所

购礼品的利润为12000元（不考虑其他因素），求第二次购进4B两种礼品各多少件？

22.（本小题10.0分）

如图，已知锐角三角形ABC内接于圆。，。。18。于点。，连接04

⑴若NBAC=60°,

①求证：OD=^OA.

②当。4=1时，求A4BC面积的最大值.

(2)点E在线段OA上，OE=OD,连接DE,设ZJ1BC=m4OED,4ACB=n4OED(m,n是正数

),若＜NACB,求证：m—n+2=0.

23.(本小题10.0分)

如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与％轴交于4,B两点，与y轴交于点C,且关于直线攵=1

对称，点4的坐标为(一1,0).

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接BC,若点P在y轴上时，BP和8c的夹角为15。，求线段CP的长度；

(3)当aSxSa+1时，二次函数y=/+打+c的最小值为2a,求a的值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：原式=|一3|

=3.

故选：A.

直接根据必=⑷进行计算即可.

本题考查了二次根式的计算与化简：疝=|a|.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于x轴对称的

点，横坐标相同，纵坐标互为相反数.

本题考查了对称点的坐标规律：(1)关于%轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于

y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数：(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为

相反数.

【解答】

解：•••点力(m-1,3)与点B(2,n+1)关于x轴对称，

fm—1=2

Yn+1+3=0，

{m=3

In=-4

・•・m+几=3+(—4)=—1.

故选4.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发

生的概率即可.

此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性

相同，其中事件4出现6种结果，那么事件4的概率P(A)=?是解题关键.

【解答】

解：••・通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%,

・•・根据题意任意摸出1个，摸到黄色乒乓球的概率是：30%,

设袋中白色乒乓球的个数为a个，

则30%=3.

a+9

解得：a=21,

...白色乒乓球的个数为：21个.

故选D.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了方位角和等腰三角形的性质，属于基础题.

易得乙4PB=180°-30°-120°=30°=/.BAP,根据等腰三角形的性质可得BP=AB=30；

【解答】

解：由图可知484P=30°,^ABP=90°+30°=120°

P

A

所以N4P8=180°-30°-120°=30°=/.BAP,

所以BP=48=30（海里），

故选：B.

5.【答案】D

【解析】解：y=|x2-6%+21

1,

=2（X2-12X）+21

1

=2[(%—6)2—36]+21

=1(x-6)2+3,

故y=*x—6)2+3,向左平移2个单位后，

得到新抛物线的解析式为：y=1(x-4)2+3.

故选：D.

直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案.

此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确配方将原式变形是解题关键.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本

知识，属于常考题.

连接。8,0C,首先证明AOBC是等腰直角三角形，求出。8即可解决问题.

【解答】

解：连接。8,0C.

•••4A=180°-^ABC-4ACB=180°-65°-70°=45°,

Z.BOC=90°,

vBC=2>/2,

・•・OB=OC=2,

・•・翁的长为史篙”=n,

loU

故选：A.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

此题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是会根据图象的位置得到关于b的不等式组解

决问题.由于二次函数y=/—2(6-2万+川-1的图象不经过第三象限，所以抛物线的顶点在

x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此

可以确定抛物线与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，由此即可得出关于b的不等式组，

解不等式组即可求解.

【解答】

解：•••二次函数y=/_2(6-2)x+b2-1的图象不经过第三象限，

丫二次项系数a=1,

••・抛物线开口方向向上，

当抛物线的顶点在%轴上方时，

则炉-1>0,△=[2(b-2)]2-4(炉-1)<0,

解得b>7；

当抛物线的顶点在X轴的下方时，

设抛物线与久轴的交点的横坐标分别为久1，%2，

2

•••%i+x2=2(b-2)>0,b—1>0,

•••△=[2(6-2)]2-4&-1)>0,①

6-2>0,②

Z>2-1>0,③

由①得b<|,由②得b>2,

;此种情况不存在，

•11。2右

故选：A,

8.【答案】D

【解析】解：二次函数、=一。-1)2+5的大致图象如下:

条件m<x<n和nm<0可得m<0,n>0

所以y的最小值为27n为负数，最大值为2n为正数.

①当m<0<%<n<1时，当％=TH时，y取最小值，即27n=~(m-l)2+5,

解得：m=-2(正值舍去).

当％=n时y取最大值，即2n=—(n—I)2+5,

解得：几=2或九=一2(均不合题意，舍去)；

②当TH<0<%<1<兀时，当％=m时，y取最小值，即2nl=-(m—l)2+5,

解得：m=-2.

当％=1时y取最大值，即2九=一(1一1)2+5,

5

得

解n-

21

或％=九时y取最小值，x=1时y取最大值,

2m=—(n—1)2+5,n=|,

11

vm<0,

・•.此种情形不合题意，

所以?n+几=-2+1=：.

故选：D.

本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题

的关键.

由题意，条件mWxWri和rnn<0可得m<0,n>0所以y的最小值为27n为负数，最大值为2n为

正数.

分两种情况讨论：①当m<0SxSn<1时，最小值只能由x=?n时求出.②当m<0<x<1<

ri时，当x=1时y取最大值，即2n=-(1-1产+5,进一步求出m、n的值即可.

9.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义.表示出CF是解题的关

键.

先设出=进而得出AD=3x,再用平行四边形的性质得出BC=3x,进而求出CF,最后用

相似三角形的性质即可得出结论.

【解答】

解：设DE=x,

vDE：AD=1：3,

•••AD=3x,

•••四边形ABC。是平行四边形，

.-.AD//BC,BC=AD=3x,

•・•点F是BC的中点，

•••CF=i1fiC=|3x,

,:ADIIBC,

DEGSACFG>

.S"DEC_(DE\2_(^_\2_£

SxCFG一、CF)7#—9，

故选：D.

10.【答案】D

【解析】解：如图，连接AC、BD交于点G,连接。G.

•••乙BFC=90°,

.•.点尸的运动轨迹在以边长BC为直径的。。上，

当点E从点4运动到点B时，点F的运动路径长为命，

•••四边形4BCD是菱形，

・•・AB=BC=CD=AD=4,

•・•Z.ABC=60°,

:.乙BCG=60°,

・・・Z,BOG=120°,

••京的长=鬻与，

故选：D.

如图，连接AC、BD交于点、G,连接OG.首先说明点E从点4运动到点8时，点F的运动路径长为翁,

求出圆心角，半径即可解决问题.

本题考查菱形的性质、弧长公式、轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点尸的运动轨迹，属于中

考常考题型.

11.【答案埒

【解析】解：画树状图如图所示,

一共有6种情况，b=2a的有(2,4)和(3,6)两种，

所以点(a,b)在直线y=2%上的概率是，=

故答案为：

画出树状图，找到b=2a的结果数，再根据概率公式解答

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有

等可能的结果求出n,再从中选出符合事件4或B的结果数目血,然后根据概率公式求出事件4或B的

概率.

12.【答案】V3

【解析】

【分析】

此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的

性质是解本题的关键.

过4作/D垂直于BC,在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出4。的长,在直角三角形ACD

中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可.

【解答】

解：过4作AD18C,

在中，sinB=4，AB=3,

BDC

:.AD=AB-sinB—1,

在RtMC。中，tanC=y)

.•塔=苧，BPCD=V2，

根据勾股定理得：AC=\/AD2+CD2=V1T2=V3，

故答案为旧.

13.【答案】a<-l

【解析】解：•••关于万的一元二次方程aM+2%-1=0无解，

•••a力0且4=22—4xax（-1）<0,

解得a<—1,

a的取值范围是a<-1.

故答案为：a<—1.

根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到aH0fiA=22-4xax（-1）<0,然后求出a

的取值范围.

本题考查了一元二次方程a/+bx+c=0（a力0）的根的判别式△=b2-4ac：当4>0,方程有两

个不相等的实数根；当△=（）,方程有两个相等的实数根；当△<（）,方程没有实数根.也考查了一

元二次方程的定义.

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.也

考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质.

先根据等腰直角三角形的性质得到NB4C=45。，ABWAC=2双,再根据旋转的性质得

^BAB'=LCAC=45°,则点夕、C、4共线，然后根据扇形门口计算，利用线段BC在上述旋转过

程中所扫过部分（阴影部分）的面积=S扇形BAB「S扇施A。进行计算即可.

【解答】

解：•・•△力BC是等腰直角三角形，

•••/.BAC=45°,AB=\f2AC=2&，

4BC绕点4按顺时针方向旋转45。后得到△AB'C,

乙BAB'=Z.CAC'=45°,

.•.点B'、C、A共线，

••・线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积=S后施48,+SfB，c-S扇底AC「S^ABC

=S扇形BAB，~S扇腕AC，

45•7T-(2V2)245.7T-22

=360360~

1

=2n'

故答案为:兀

15•【答案】①③④

【解析】解：•.・抛物线开口向上，

4>0,

••・对称轴％=-羽>0，

•.B<0,

抛物线与y轴交于负半轴，

C<0,

ABC>0,①命题正确；

•••抛物线与x轴有两个交点，

B2-4AC>0,

B2>44C,②命题不正确；

•.•当》=-2时，y>0,

4A-2B+O0,③命题正确；

由图可知力一B+C<0,

故C<B—A<B+24,④命题正确.

故答案为：①③④.

根据二次函数对称轴、开口方向、与y轴的交点，可以判定4、B、C的符号；根据图象与x轴交点

情况可以判断辟-44c的符号；根据特殊点的位置再判断剩下两个式子的符号.

本题考查命题和二次函数的图象的性质.解决本题的关键在于根据图象开口方向、对称轴、与坐

标轴交点、图像上特殊点的的位置，列出关系式来判定各命题是否正确.

16.【答案】解：(1)(%-3)(%+1)=0,

x—3=。或x+1=0,

所以X]=3,%2=~1；

(2)3x2-2V3x+1=0.

4=(-2V3)2-4X3X1=0,

所以=次=半

【解析】（1）利用因式分解法解方程；

（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，

这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式法.

17.【答案】解:（1）根据题意有30+35+45+60x2+70=300（名）；

答：共抽取了300名学生的数学成绩进行分析；

⑵从表中可以看出80分以上（包括80分）的人数有35+70=105（人），总人数共300人；

所以优生率是105+300=35%；

答：该年的优生率为35%.

（3）从表中可以看出及格人数为300-30-60=210（人），

则及格率=210+300=70%,

所以22000人中的及格人数是22000x70%=15400（人）；

答：全市及格的人数有15400人.

【解析】本题是一道利用统计知识解答实际问题的重点考题，计算量略大，难度中等.主要考查

利用统计图表，处理数据的能力和利用样本估计总体的思想.解答这类题目，观察图表要细致，

对应的图例及其关系不能错位，计算要认真准确.

（1）从表中读出学生数，相加可得学生总数；

（2）从表中成绩这一坐标中先找到80分以上（包括80分）的人数，再除以总数，得出优生率.

（3）先从表中查出及格率，再计算全市共有22000人的及格人数.

A

18.【答案】解：设BC为x米，则4c=（20+x）水

米'

由条件知：NDBC=N4EC=60。，DE=80米，（：\\\.

ED

在直角ADBC中，1即6。。啜吟

则DC=gx米,

CE=(V3x-80)米,

在直角△4CE。

AC20+x

.60。=而=行=V3,

解得x=10+40V3.

答：小山BC的高度为(10+406)米.

【解析】设BC为X米，时4C=(20+x)米，通过解直角ADBC和直角A4CE列出关于x的方程，利

用方程求得结果.

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的

定义是解题的关键.

19.【答案】解：(1)、•方程有两个不相等的实数根，

.•・△=b2-4QC=4+4fc>0,

解得上>一1.

・・・左的取值范围为1>一1；

(2)由根与系数关系得Q+匕=-2,a*b=k,

a1ab—1k—1

--------=--------=，=4i.

a+1b+1ab+a+b+1k—2+1

【解析】此题考查了一元二次方程a/+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，(1)△>

0时，方程有两个不相等的实数根；(2)△=()时，方程有两个相等的实数根；(3)△<()时，方程没

有实数根；(4)向+孙=一5，X1，X2=

(1)根据方程有两个不相等的实数根可得^=4+4k>0,解不等式求出k的取值范围;

(2)由根与系数的关系可得a+b=-2,ab=k,代入整理后的代数式，计算即可.

20.【答案】解：(1)如图所示：连接。C.

・・・PC是O。的切线，

:.OC1EP.

又・・・AELPC,

.--AE//OC.

:、Z.EAC=Z.ACO.

又•・,Z.ACO=Z.OAC,

:.Z-EAC=Z-OAC.

・・・AC平分NBAD；

(2)・・・48是。。的直径，

:.Z.ACB=90°,

・•・ABAC+^ABC=90°.

•・・OB=OC,

Z.OCB=Z-ABC.

•・・Z,PCB+乙OCB=90°,

・•・乙PCB=Z.PAC.

vZ.P=ZP,

・•・△PCAFPBC,

/.—PC=—PA,

PBPC

2

・P・・CP4=*=16・

・•・AB=PA-PB=16-4=12.

【解析】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、切线的性质、圆周角定理的应用，熟练掌

握相关定理是解题的关键.

(1)先4E〃0C,然后依据平行线的性质可得到NE4C=N/CO.,接下来由乙4c0=4AOC,可证明

LEAC=Z.OAC；

(2)先证明NPCB=ZJMC,从而可证明AP。4sAPBC,依据相似三角形的性质可求得24的长，最

后依据48=PA-PB求解即可.

21.【答案】解：(1)设4种礼品每件的进价为x元，则B种礼品每件的进价为L4x元,

依题意得：^--=10,

1.4%x

解得：x=200,

经检验，x=200是原方程的解，且符合题意,

•1•1.4%=280(元).

答：4种礼品每件的进价为200元，B种礼品每件的进价为280元.

(2)第一次购进力种礼品的数量为4000+200=20(件)，

第一次购进B种礼品的数量为8400+280=30(件).

依题意得：200X0.9a%x20(1+2a%)+280xa%x30(1+2a%)=12000,

整理得：a?+50。-so。。=o,

解得：的=—100(不合题意，舍去)，a2=50,

•••20(1+2a%)=40(件)，30(1+2a%)=60(件).

答：第二次购进4种礼品40件，B种礼品60件.

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，

正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程.

(1)设4种礼品每件的进价为x元，贝।出种礼品每件的进价为1.4x元，根据数量=总价+单价，结合

所购8种礼品的数量比4种礼品的数量多10件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得

出结论；

(2)利用数量=总价+单价，可分别求出第一次购进4B两种礼品的数量，利用总利润=每件礼品

的利润x销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值，将其正值分别代入

20(1+2a%)和30(1+2a%)中即可求出结论.

22.【答案】解：（1）①连接OB、0C,

乙OBC=30°,

OD=^OB=^OA；

（2）vBC长度为定值，

.•.求AABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，

当过点。时，AD最大,即：AD=AO+OD=l，

根据勾股定理求出3。=亭

△ABC面积的最大值=底