4.1 数列的概念 -2023-2024学年高二数学精讲（2019人教A版选择性）

4.1数列的概念知识点1：数列的概念及辨析数列的概念★★☆数列及其有关概念(1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.(2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}.数列的分类★★☆数列的通项公式★★★数列的通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个通项公式.数列的递推公式★★☆递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.【微点拨】：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.数列表示方法及其比较★★☆数列的表示方法：(1)列举法：(2)图象法：数列可用一群孤立的点表示；(3)解析法（公式法）：通项公式或递推公式.数列的前n项和★★★数列的前项和和通项的关系：数列的性质★★☆数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，数列具备单调性时，可以探讨数列的增减性与最大、最小项，以及和的最大与最小值，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．【例1】现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列；②数列1，1，1，1，…是无穷数列；③每个数列都有通项公式；④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．其中正确的有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，所以说法正确的个数是1.故选：B【例2】下列有关数列的说法正确的是（

）A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列C．数列2，4，6，8可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，常数列中任意两项都是相等的，所以A不正确；对于B中，数列，0，2与2，0，中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确；对于C中，表示一个集合，不是数列，所以C不正确；对于D中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.故选：D.【例3】数列1，5，9，13，17，…的一个通项公式为（）A．2n B．2n+1 C．3n D．4n﹣3【分析】根据题意可判断数列为首项为1，公差为4的等差数列后可解．【解答】解：由于数列中后项与前项之差为4，首项为1，则可判断此数列是等差数列，则通项公式an＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3，故选：D．【点评】本题考查等差数列相关知识，属于基础题．【例4】下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？(1)2010,2012,2014,2016,2018；(2)0，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，…，eq\f(n－1,n)，…；(3)1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,2n－1)，…；(4)－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，…；(5)1,0，－1，…，sineq\f(nπ,2)，…；(6)9,9,9,9,9,9.【解析】(1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(4)(5)是摆动数列；(6)是常数列.【点睛】数列的分类.【变式1】下列有关数列的说法正确的是（

）A．同一数列的任意两项均不可能相同B．数列，，与数列，，是同一个数列C．数列1，3，5，7可表示为D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列【答案】D【分析】根据数列的概念，逐项判断即可.【详解】例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3，故A错误；数列，0，1与数列0，1，中项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误；是一个集合，故C错误；根据数列的分类，数列2，5，2，5，…，2，5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列，D正确.故选：D.【变式2】（多选）下面四个结论正确的是（

）A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数C．数列的图像是一系列孤立的点D．数列的项数是无限的【答案】BC【分析】根据数列的相关概念逐一判断即可.【详解】对于A，数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是不同的数列，故错误；对于B，由数列的定义可知正确；对于C，由数列的，可知正确；对于D，根据数列的项可以分为有穷数列和无穷数列，故错误.故选:BC.【变式3】已知数列{an}的前4项为，，，，则它的一个通项公式为（）A．B．C． D．【分析】将数列{an}的前4项进行改写，利用观察法可得出数列{an}的一个通项公式．【解答】解：因为，，，，因此，数列{an}的一个通项公式可为．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．【变式4】写出下列数列的一个通项公式：（1）0，3，8，15，24，…；（2）1，3，5，7，9，…；（3），，，，…；（4）1，11，111，1111，….【答案】（1）an=n21；（2）bn=(1)n+1(2n1)；（3）；（4）.【分析】(1)将给定的5项都加1即为项数的平方特点即可写出一个通项；(2)所给5项正负相间，其绝对值为前5个正奇数，由此即可写出一个通项；(3)把所给4项拆成整数加真分数形式，观察即可写出一个通项；(4)把所给4项变形，并用10的整数次幂减去1的形式表示出，观察即可写出一个通项.【详解】(1)观察数列中的数，可知0=11，3=41，8=91，15=161，24=251，…，所以它的一个通项公式为an=n21；(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，其奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为bn＝(1)n+1(2n1)；(3)数列的整数部分1，2，3，4，…，恰好是项数n，分数部分与项数n的关系为，所以原数列的一个通项公式为；(4)原数列的各项可依次变为，，，，…，于是得原数列的一个通项公式为.知识点2：数列通项公式求解的常用方法根据数列的前几项写出数列的一个通项公式★★☆根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：首先从下面4个角度观察数列的前几项：(1)各项的附号特征；(2)各项能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征：(4)相邻项的变化规律.其次寻找各项与对应的项的序号之间的规律，一般方法为：(1)熟记一些特殊数列的通项公式，如，，，，等，熟悉它们的变化规律，并灵活运用；(2)将数列的各项分拆成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”，如分式形式的数列，可分别求分子、分母的通项；(3)当一个数列各项的符号出现“+”“”相间时，应把符号分离出来，可用(1)”或来实现；(4)当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时，可以考虑用分段的形式给出，也可以将给出的各项统一化成某种形式。数列通项公式的常用求解：【例1】写出下列数列的一个通项公式，使它的前四项为下列各数.（1）1，2，3，4，…；（2）11，102，1003，10004，…；（3）9，99，999，9999，…；（4），2，，8，.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】利用观察法即得,【详解】(1)通过观察数列可知，所以这个数列的一个通项公式是；(2)通过观察数列可知，所以这个数列的一个通项公式是；(3)通过观察数列可知，所以这个数列的一个通项公式是；(4)将每一项都统一写成分母为2的分数，即，所以它的一个通项公式是.2.观察法求数列的通项公式：【例2】在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图1所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示这堆的乒乓球总数，则；（的答案用表示）.【解析】由题意可知：图1图1….所以有通过叠加法可求得：【答案】3.叠加法求数列的通项公式：【例3】设数列中，，则通项.【答案】【解析】法一：由题意可知：所以有，，，，，，将以上各式相加得：故应填.法二：由题意可得：，，，，，，，.将以上各式相加得：故应填.4.累乘法求数列的通项公式：【例4】已知数列满足，，求。【解析】由条件知，分别令，代入上式得个等式后叠乘，即又，.与的关系求通项公式：【例5】已知正数数列满足，，求的通项公式.【答案】【分析】根据间的关系可得，利用累乘法求出.【详解】由题意，当n≥2时，，即，于是，，而符合上式，故而.【例6】已知数列的前项和，求.【答案】【分析】利用与之间的关系即可求解.【详解】当时，，由，当时，，故，又因为，所以.6.其它方法：【例7】数列满足,则.【答案】【解析】当时，.…①所以当时，…②.所以①②得..【例8】已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，n∈N*，求数列的通项公式an.【解析】∵an＋1－an＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，∴a2－a1＝eq\f(1,1)－eq\f(1,2)，a3－a2＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，a4－a3＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，…，an－an－1＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)(n≥2)，∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))，即an－a1＝1－eq\f(1,n)(n≥2).∴an＝a1＋1－eq\f(1,n)＝－1＋1－eq\f(1,n)＝－eq\f(1,n)(n≥2)，又当n＝1时，a1＝－1，也符合上式.∴an＝－eq\f(1,n)，n∈N*.【点睛】由递推公式求通项公式【例9】已知正项数列{xn}满足，n＝1，2，3，…，若x1＝1，x2＝2，则x2019＝．【分析】根据题意，由数列的递推公式求出数列的前8项，分析可得数列{xn}的周期为6，据此可得即可得答案．【答案】2【解析】根据题意，数列{xn}满足，若x1＝1，x2＝2，则，，则数列{xn}的周期为6，=2.数列通项公式的常用求解：【变式1】已知数列满足，，则数列的通项公式是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】由题意可得数列为首项为3的常数列，从而可得出答案.【详解】由题意得，即所以数列是以首项为的常数列，则，得.故选：A【变式2】已知数列满足，，则_______.【答案】50【分析】令，则是常数列，进而求出，故可求得，代入即可求得.【详解】根据题意，令，得因为，所以，又，所以是首项为的常数列，故，即，故，所以.故答案为：50.【变式3】在数列中，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用与的关系即得；（2）利用裂项相消法即得.（1）因为，所以当时，，所以，所以，当时，满足上式，所以；（2）因为，则，从而，故．2.观察法求数列的通项公式：【变式4】数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是A．B．C． D．【答案】C【分析】根据0.3，0.33，0.333，0.3333，…与9，99，999，9999，…的关系，结合9，99，999，9999，…的通项公式求解即可.【详解】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是．故选：C．【变式5】数列1，2，－3，－4，5，6，－7，－8……的通项公式______（写一个符合条件的即可）.【答案】（答案不唯一）【分析】根据要求写出通项公式即可.【详解】由题知：数列1，2，－3，－4，5，6，－7，－8……的通项公式.故答案为：（答案不唯一）【变式6】已知数列，，，，，…，则是该数列的第______项．【答案】21.【分析】观察通项公式，解方程即可.【详解】解析

设该数列的第n项为，则，，，…，所以．令，得n＝21．故答案为：21.3.叠加法求数列的通项公式：【变式7】已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用累加法可求得的值.【详解】由题意可得，则.故选：B.【变式8】已知数列满足，对任意的都有，则A． B． C． D．【答案】C【分析】利用累加法可求得，代入即可求得.【详解】由得：，，，，…，，各式作和得：，，.故选：C.【变式9】已知数列，，且，．求数列的通项公式________；【答案】.【分析】由得，利用累加法求即可.【详解】因为，所以，当时，，，……，，相加得，所以，当时，也符合上式，所以数列的通项公式.故答案为：.【变式10】已知数列满足，，则______．【答案】63【分析】由题设可得，应用累加法，结合已知即可求.【详解】由题设，，所以，又，所以.故答案为：.【变式11】已知数列满足则求___________【答案】【分析】利用递推关系，累加求和计算即可.【详解】∵∴∴,,,…，将以上99个式子都加起来可得，.故答案为：.4.累乘法求数列的通项公式：【变式12】已知数列满足，，则数列的通项公式是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用累乘法计算可得.【详解】解：因为，所以，，，，，，所以，即，又，所以；故选：A【变式13】在数列中，（n∈N*），且，则数列的通项公式________.【答案】【分析】由，得，再利用累乘法即可得出答案.【详解】解：由，得，则，，，，累乘得，所以.故答案为：.【变式14】已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式等于___________【答案】【分析】根据给定的递推公式，结合“当时，”化简，再利用累乘法求解作答.【详解】由得：，当时，，两式相减得：，化简整理得：，当时，，即有，解得，因此，，，，，而满足上式，所以.故答案为：【变式15】数列满足：，，则数列的通项________________.【答案】【分析】根据，，得到，然后利用累加法求解.【详解】解：因为，，所以，当时，，所以，，，当时，，适合上式，所以数列的通项，故答案为：【变式16】已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．【答案】(1)3；6(2)an＝.【分析】（1）分别令，，求出，即可；（2）利用，得到＝，再利用累乘法求即可.（1）由S2＝a2，得（a1＋a2）＝a2，又a1＝1，∴a2＝3a1＝3.由S3＝a3，得3（a1＋a2＋a3）＝5a3，∴a3＝（a1＋a2）＝6.（2）∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴an＝an－1，即＝.∴an＝··…···a1＝··…···1＝.又a1＝1满足上式，∴an＝.与的关系求通项公式：【变式17】若为数列的前项和，且，则_______.【答案】5【分析】直接由的定义计算．【详解】．故答案为：5【变式18】已知等差数列的前n项和，则______.【答案】2n【分析】根据来求得数列的通项公式.【详解】当时，，当时，.当时上式也符合，所以.故答案为：【变式19】已知数列的前项和为，则数列的通项公式_________.【答案】【分析】由先求得，再根据求得的表达式，验证首项，即可得答案.【详解】,故当时，；当时，，不适合上式，，故答案为：.【变式20】已知数列前n项和.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）已知前n项和，可用计算通项公式.（2）通过裂项相消法计算数列的前n项和.（1）由题可知，当时，综上：（2）【变式21】已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．【答案】(1)3；6(2)an＝.【分析】（1）分别令，，求出，即可；（2）利用，得到＝，再利用累乘法求即可.（1）由S2＝a2，得（a1＋a2）＝a2，又a1＝1，∴a2＝3a1＝3.由S3＝a3，得3（a1＋a2＋a3）＝5a3，∴a3＝（a1＋a2）＝6.（2）∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴an＝an－1，即＝.∴an＝··…···a1＝··…···1＝.又a1＝1满足上式，∴an＝.6.其它方法：【变式22】“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是同余方程组问题.现有这样一个问题：将2至2021这2020个整数中被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为___________.【答案】57【分析】由题意，，令求解即可【详解】被5除余1且被7除余1的数就是被35除余1的数，故.由可得n可取的最大整数为57，故此数列的项数为57.故答案为：57【变式23】在数列中，已知，则______.【答案】【分析】令，根据换元法求通项，即可得出结果.【详解】令，则，所以，所以，当时，上式也成立，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查求数列的通项，利用换元法求解即可，属于基础题型.知识点3：数列通项公式的应用数列单调性的判断方法与应用思路★★☆数列的单调性：(1)定义：若数列满足：对一切正整数n,都有(或),则称数列为递增数列（或递减数列).(2)判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性。如数列的通项公式为.因为函数在上为增函数，因此数列是单调递增数列.②利用定义判断：作差比较法，即作差比较与的大小；作商比较法，即作商比较与的大小，从而判断出数列的单调性。求数列的最大项、最小项★★☆1.利用数列的单调性求数列的最大（或最小）项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值。(2)利用求数列中的最大项;利求数列中的最小项当解不唯一时，比较各解大小即可确定.2.利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系：数列递增恒成立；数列递减恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决。由与间的关系求★★★求求数列的通项公式。解题过程通常分为四步：(1)令n=1，得（2）令n≥2，得,(3)在第二步求得的的表达式中取n=1,判断其值是否等于;(4)写出数列的通项公式（若第三步中n=1时，表达式的值不等于,则数列的通项公式一定要分段表示。与之间的关系式求由与之间的关系式求的两种途径：（1）由关系式消去，建立与（或）之间的关系式求；（2）由关系式消去，建立与之间的关系式求，进而求出【例1】已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值．【答案】（1）数列中有两项是负数；（2）n＝2或3，最小值为－2.【分析】（1）令解一元二次不等式，结合n∈N*确定n的个数即可.（2）法一：根据的通项公式，应用二次函数性质求最小值；法二：应用不等式法，由解不等式组可求n，进而求最小值.【详解】（1）由n2－5n＋4<0，解得1<n<4，又n∈N*，∴n＝{2，3}，即数列中有两项是负数．（2）法一：∵，可知对称轴方程为.又n∈N*，∴故n＝2或3时，an有最小值且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.法二：设第n项最小，由，得，解得2≤n≤3，∴n＝2或3，即a2＝a3且最小，则a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.【例2】已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)×(n∈N*)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．【答案】数列{an}有最大项a5或a6，且a5＝a6＝.【分析】法一：作差比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性，可得结论．法二：作商比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性，由此可得结论．法三：假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则建立不等式组，解之可得结论.【详解】法一：作差比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性．an＋1－an＝(n＋3)×－(n＋2)×＝.当n＜5时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n＞5时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…，所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝.法二：作商比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性．＝＝.又an＞0，令＞1，解得n＜5；令＝1，解得n＝5；令＜1，解得na1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞…，所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝.法三：假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则即解得即5≤n≤6.故数列{an}有最大项a5或a6，且a5＝a6＝.【点睛】方法点睛：求数列最大项或最小项的方法（1）可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式找到数列的最小项．（2）从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，利用函数的方法研究数列的最大项或最小项．【变式1】在数列中，，，则（）A．数列单调递减 B．数列单调递增C．数列先递减后递增 D．数列先递增后递减【答案】A【分析】由数列递推式求出，可判断，将两边平方得，判断与同号,结合，可判断，即得答案.【详解】由，，得，，且可知．再由，两边平方得①，则②，②﹣①得：，∴，∵，∴与同号,由，可知，，即，可知数列单调递减．故选：A．【变式2】已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先分别确定每段的单调性，然后结合可得答案.【详解】当时，有，即；当时，有，又，即，综上，有，故选：C．【变式3】已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数列是递增数列，列出符合条件的不等式组，求出的取值范围即可.【详解】数列是递增数列，