电磁场与电磁波第二章

2.1电荷守恒定律2.1.1电荷及电荷密度自然界中存在两种电荷，正电荷和负电荷。带电体所带的电量的多少称为电荷量。迄今为止能检测到的最小电荷量是质子和电子的电荷量，称为基本电荷的电量，其值为(库仑)任何带电体的电荷量都只能是一个基本电荷量的整数倍电荷宏观描述1.电荷体密度电荷连续分布于体积内，用电荷体密度描述其分布。设体积元内的电荷量为，则该体积内任一源点处的电荷体密度为：2.电荷面密度设电荷连续分布于厚度可以忽略的曲面上，用电荷面密度描述其分布设面积元上的电荷量为，则该曲面上任一源点处的电荷面密度为：3.电荷线密度电荷连续分布于横截面积可以忽略的细线上，用电荷线密度描述其分布设长度元上的电荷量为，则该细线上任一源点处的电荷线密度为：4.点电荷点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将其视为一个体积很小而电荷密度很大的带电小球的极限。当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其中的电荷分布已经无关紧要，可以将带电体所带电荷看成集中在带电体中心上，此模型称为点电荷。若点电荷q的位置矢量为,其电荷密度则为：2.1.2电流及电流密度电荷的定向运动形成电流，通常使用电流强度为描述其大小。设在时间内通过某一截面S的电荷量为，则通过该截面S的电流强度定义为：电流强度一般简称为电流，其单位为安培1.体电流电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为体电流。一般情况下，在导体内某一截面上不同的点，电流的大小和方向往往是不同的。为了描述该截面上电流的分布，引入电流密度矢量，其定义为：空间任一点的方向是该点上正电荷运动的方向，其大小等于在该点与垂直的单位面积的电流，即:通过任意截面S的电流则为：2.面电流电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流称为面电流，用面电流密度矢量来描述其分布。通过薄导体层上任意有向曲线l的电流为：其中为薄导体层的法向单位矢量上式的理解需要记住线段L，是薄层的厚度趋于零时的极限，这个趋于零的面元S，其方向符合右手法则的定义，这个右手方向也定义了有向曲线的方向3.线电流电荷在一个横截面积可以忽略的细线中做定向流动所形成的电流称为线电流。可以认为线电流是集中在细导线的轴线上。长度元中流过电流，将称为电流元。2.1.3电荷守恒定律与电流连续性方程实验表明，电荷是守恒的，它既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移到另一物体。根据电荷守恒定律，单位时间内从闭合面S内流出的电荷量应等于闭合面S所限定的体积V内的电荷减少量，即：微分形式上式为电流连续性方程的积分形式。设定闭合面S所限定的体积V不随时间变化，则将全导数写成偏导数，上式为：由散度定理：此式为电流连续性方程的微分形式2.2真空中静电场的基本规律空间位置固定、电量不随时间变化的电荷产生的电场，称为静电场。描述电场的基本物理量是电场强度矢量。2.2.1库仑定律电场强度库仑定律是关于两个“点电荷”之间的作用力的定量描述.如果表示点电荷对点电荷的作用力,表示由指向的单位矢量叠加原理若真空中有N个点电荷，分别位于，则位于处的点电荷q受到的作用力为其余每个点电荷对q的作用力的叠加，表示为：点电荷的电场设点电荷位于处，其在位置的场点产生的电场强度为：电场也满足叠加原理，极限情况下就是积分例2.2.1计算电偶极子的电场强度电偶极子是相距很小距离d的两个等值异号的点电荷组成的电荷系统。采用球坐标系，使电偶极子的中心与坐标系的原点O重合，并使电偶极子轴与z轴重合。场点的电场强度就是两个点电荷的生的电场强度的矢量和在球坐标系中，场点P的位置矢量是两个源点的位置矢量为：电偶极子的场根据叠加原理：在电磁理论中，常常感兴趣的是远离电偶极子区域内的场，此时：续将上式使用二项式展开近似，得：从而远场近似为：续引入电偶极矩则上式变为：在球坐标中：最终有：2.2.2静电场的散度和旋度1.静电场的散度和高斯定理利用关系式：两边取散度：静电场的散度利用关系式：上式为：根据广义函数的筛选性：因已经假设场点位于V内，故得高斯定理微分形式高斯定理积分形式对微分形式两边求体积积分运用散度定理：此为高斯定理积分形式2.静电场旋度上式两边取旋度：运用斯托克斯定理：说明静电场是无旋场真空中恒定磁场的基本规律恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，或称为静磁场描述磁场的基本物理量是磁感应强度矢量2.3.1安培力定律磁感应强度1.安培力定律真空中的静止细导线回路和，它们分别载有恒定电流，回路对的作用力为：安培力定律电流元的位置矢量为，电流元的位置矢量为，两电流元之间距离为，表示为矢量2.磁感应强度宏观电磁场理论认为，电流要产生磁场，从而对电流回路有作用力任意电流回路C，回路上任一电流元所产生的磁感应强度可表示为：回路C总磁场：2.3.2恒定磁场的散度与旋度1.恒定磁场的散度和磁通连续性原理利用得再利用恒等式：续上式两端取散度，肯定有：2.恒定磁场的旋度和安培环路定律对前页的最终式子两边取旋度：而在上式中求导变量已经由场点变成了源点，然后再变回哈密顿算符的作用函数之内故:根据电流连续性方程，对于静磁场：所以：另外，将此结果代入磁感应强的旋度的表达式上式运用了电流分布在有限体积V内，在边界上无值安培环路定理两端取面积分：运用斯托克斯公式：所以有：2.4媒质的电磁特性2.4.1电介质的极化电位移矢量1电介质的极化电介质中的束缚电荷在外电场作用下发生位移的现象，称为电介质的极化，束缚电荷也称为极化电荷。将电介质的分子分为无极分子和有极分子两类。无极分子的正、负电荷中心重合，因此对外产生的合成电场为0，不显示电特性。有极分子的正、负电荷中心不重合，构成一个电偶极子。但由于许许多多电偶极子杂乱无章地排列，对外不显示电性。电介质极化的结果是电介质内部出现许许多多顺着外电场方向排列的电偶极子，这些电偶极子产生的电场将改变原来的电场分布。电介质对电场的影响可归结为极化电荷产生的附加电场的影响附加电场电介质内电场强度为自由电荷产生的外电场与极化电荷产生的附加电场的叠加引入极化强度来描述电介质的极化程度单位体积中电偶极矩的矢量和称为极化强度电极化率对于线性和各向同性电介质，其极化强度与电介质中的合成电场强度成正比，表示：式中，称为电介质电极化率，是一个正实数极化电荷与极化强度的关系若表示体积V内的极化电荷体密度，则：对于电极化均匀的媒质，将没有体极化电荷密度，但电介质表面上可能出现极化电荷密度，其面密度为：根据电偶极子产生电势的公式，可知电偶极子微元产生的电位为：整个电介质内电偶极子产生的电位应该为：上两式一个公式化的推导：根据矢量恒等式，有上式第一项使用散度定理：对比体电荷和面电荷产生电位的公式，可得到等效的极化电荷体密度和面密度：2.电位移矢量和电介质中的高斯定律将真空中的高斯定律推广到电介质中将电极化强度与电极化密度的关系代入：定义电位移矢量为：高斯定律高斯定律的微分形式为：由散度定理给出积分形式：3.电介质的本构关系对于线性各向同性介质其中，称为介质的介电常数，称为电介质的相对介电常数，无量纲2.4.2磁介质的磁化磁场强度1.磁介质的磁化分子电流的磁偶极矩称为分子磁矩，表示为：其中i为分子电流，为分子电流所围成的面积元矢量，其方向与i成右手螺旋关系磁介质中磁感应强度是真空中传导电流产生的磁感应强度和磁化电流产生的磁感应强度的叠加，即磁化强度引入磁化强度M，用它来描述磁介质磁化的程度单位体积中的分子磁矩的矢量和称为磁化强度，表示为：磁化电流与磁化强度关系磁化电流表示为磁化电流密度的积分，即而：磁化电流面密度：2.磁场强度和磁介质中的安培环路定理将真空中的安培环路定理推广到磁介质中即：引入磁场强度矢量：得：积分形式为：3.磁介质的本构关系对于各向同性磁介质，磁化强度与磁场强度成正比，表示为：其中，是无量纲的常数，称为磁化率2.4.3媒质的传导特性导电媒质内部有许许多多能自由运动的带电粒子，它们在外电场的作用下可以做宏观定向运动而形成电流对于线性和各向同性的导电媒质，媒质内任意一点的电流密度矢量和电场强度成正比，表示为：此为欧姆定理的微分形式。比例系数称为电导率焦耳定律的微分形式设在导电媒质中，体密度为的电荷在电场力的作用下以平均速度运动，则作用于体积元内的电荷的电场力为若在时间内，电荷的移动距离为，则电场力作的功为：故电场对体积元dV提供的功率为：电场对单位体积提供的功率为：电场提供的功率以热的形式作为焦耳热消耗在导电媒质的电阻上。上式称为焦耳定律的微分形式整个体积V内导电媒质消耗的功率为：对于各向同性和线性媒质为什么实际上只要考察一下如果设想一个单位时间dt，乘到里面去，是不是单位时间内通过的电荷量？vdt是长度，长乘面积等于体积，体积乘密度等于电量2.5电磁感应定律和位移电流2.5.1法拉弟电磁感应定律法拉弟等人发现导体回路所围面积的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电动势，并引起感应电流感应电动势与穿过回路所围面积的磁通量的时间变化率成正比。若规定回路中感应电动势的参考方向与穿过该回路所围面积的磁通量符合右手螺旋关系，则感应电动势为：电磁感应定律数学式此为法拉弟电磁感应定律若，表明感应电动势的实际方向与规定的参考方向相反；反之，则相同。因此，感应电流产生的磁通总是对原磁通的变化起阻碍作用推广对于导体回路，导体内存在感应电流表明导体内必然存在感应电场，即这样，一般情况下，空间的总电场等于库仑电场与感应电场的叠加，即，，由于法拉弟电磁感应定理的微分形式如果回路是静止的，则：利用斯托克斯定理，有：2.5.2位移电流法拉弟电磁感应定律提示了随时间变化的磁场会激发产生电场，那么随时间变化的电场是否也会激发产生磁场呢？由恒定磁场的安培环路定理的微分形式：上式两边取散度，与电流守恒定律矛盾,说明安培环路定律对于时变电磁场不成立位移电流的引出假定静电场中的高斯定律对时变场仍然成立，将其代入电荷守恒方程：式中的是电位移矢量随时间的变化率，与电流密度同量纲,被称为位移电流密度位移电流密度记：安培环路定律中增加位移电流密度，即可消除电荷守恒定律不用应用于变化电磁场的情况修正后的安培环路定律：2.6麦克斯韦方程组麦克斯韦在前人得到的实验结果的基础上，考虑随时间变化这一因素，于一八六四年总结出了麦克斯韦方程组2.6.1麦克斯韦方程组的积分形式第一方程：第二方程：第三方程：第四方程：2.6.3麦克斯韦方程组的微分形式按前顺序：麦克斯韦方程预言了电磁波的存在2.6.3媒质的本构关系当有媒质存在时，前述方程组尚不够完备，需要补充描述媒质特性的方程对于线性各向同性媒质，这些方程是：仅由场矢量表示的麦克斯韦方程2.7电磁场边界条件在电磁问题中总要涉及由不同本征参数的媒质所构成的相邻区域。为了求解这种情况下各个区域中的电磁场问题，一定要知道两种不同媒质分界面上电磁场量的关系将电磁场在不同媒质分界面各自满足的关系称为电磁场的边界条件电磁场边界条件由麦克斯韦方程组导出2.7.1边界条件的一般形式1.磁场强度H的边界条件两种媒质的参数分别是：和设分界面的法向单位矢量为（设其离开分界面指向媒质1），是沿分界面的切向单位矢量，如图示在分界面上取矩形闭合回路，其宽边，高，平行于分界面。磁场强度的边界条件将积分形式的麦克斯韦第一方程应用于矩形回路：当时，上式中极限项的第二项在极限下为零，因为被积函数为有限值，而面积趋于零。式中，是