2023人教版新教材高中数学必修第一册同步练习-第五章　三角函数复习提升

2023人教版新教材高中数学必修第一册

本章复习提升

易混易错练

易错点1忽略轴线角致错

1.(2022黑龙江齐齐哈尔龙江一中月考)设角a的顶点为坐标原点,始边为x轴的

非负半轴，则“角a的终边在第二或第三象限”是“cosa<0”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.已知角a的终边过点P(3a-9,a+2),且cosaWO,sina>0,则实数a的取值

范围是.

易错点2应用三角函数的定义求值时忽略参数的范围致错

3.已知角a的终边过点P(-8m,-6sin30°)，且cosa=-'则m的值

为.

4.已知角a的终边过点P(-3m,m)(m/0),则sina=.

易错点3利用三角函数的基本关系时忽略隐含条件致错

5.已知sin会,cos若9为第二象限角，则下列结论正确的是()

1+a1+Q

A.aeQ,1)B.a=l

C.a=l或a=：D.a=^

99

6.(2022黑龙江大庆铁人中学期末)已知-弘<x<0,sinx+cosx=/贝U:

（1）sinx-cosx的值为;

⑵2sin2x+2sinxcosx的值

1-tanx---------•

易错点4忽略对参数进行分类讨论致错

7.化简科噤警毕多―）的结果为

cosL（九+1）ii-aj

8.已知函数y=2asin（2x-^）+b的定义域为［o,,函数的最大值为1,最小值为-5,

求a和b的值.

易错点5忽略三角函数的定义域、值域致错

9.函数f（x）-sinx（「sinx）（）

1-sinx

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数

10.（2020山西长治期末）函数y=2sir?x-2sinx+1的值域是

易错点6图象变换中因忽视自变量x的系数和平移的方向致错

11.要得到函数y=cos（2%+J的图象，只需把函数y=sin2x的图象（）

A.向左平移三个单位长度

B.向左平移三个单位长度

C.向右平移三个单位长度

D.向右平移三个单位长度

思想方法练

一、函数与方程思想在三角函数中的应用

1.（2020辽宁阜新二中期末）已知函数f（x）=sinOx+@）（3>0,|6KJI）的部分

图象如图所示,贝IJ.

2.（2020广西兴安中学期中）已知扇形的周长为20cm,当它的半径和圆心角各取

什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少？

二、数形结合思想在三角函数中的应用

3.（2020黑龙江牡丹江一中月考）已知f（x）=sin（3x+4））+cos（3x+40（3>

0,\（p\<9是奇函数，直线y=或与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之

差的绝对值为*贝1］（）

A.f(x)在G，上单调递减

B.f(x：^(0,习上单调递减

。.一外在侬，上单调递增

D.f(x)在g，高上单调递增

4.(2020山西期末)已知函数f(x)=Asin(3x+4O(a>0,to>0,\(p\<的部分

图象如图所示.

⑴求函数f(x)的解析式；

(2)求方程f(x)=-|在区间［0,4］内的所有实数根之和.

三、分类讨论思想在三角函数中的应用

5.(2020广东湛江期末)已知函数f(x)=9sin«x-|cos3x(3>0)的最小正周期

为n,g(x)=2sin^2%-^-4Xf(x)-l.

⑴求函数f(x)的解析式；

⑵当x£R期寸，函数g(x)的最小值为-1，求实数x的值.

四、转化与化归思想在化简、求值及三角函数性质中的应用

6.(2020安徽安庆期末)在AABC中,已知sinA=2sinBcosC,则此三角形一定为

()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.钝角三角形

7.(2022重庆八中期末)已知a,B£(0,5,cosa=A,cos(a+P)

=-77,则sinB=________.

14

8.已知关于x的方程2sin(2%+J+mT=O在［o,皆上有两个不同的实数根，求m

的取值范围.

五、数学建模思想在三角函数中的应用

9.如图，点A,B分别是圆心在原点,半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位

置A°(cos(sin9开始，按逆时针方向以2rad/s的角速度做圆周运动，同时点B

从初始位置B。⑵0)开始,按顺时针方向以2rad/s的角速度做圆周运动.记t(s)

时刻，点A,B的纵坐标分别为y„y2.

⑴求时,A,B两点间的距离；

4

⑵求y=y1+y2关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t£(0,外时，这个函数的值

域.

答案全解全析

易混易错练

1.A若角a的终边在第二或第三象限，则cosa<0,充分性成立；

若cosa<0,则角a的终边在第二或第三象限，或在x轴负半轴上，必要性不成

立.

故”角a的终边在第二或第三象限”是“cos的充分不必要条件.故选A.

易错警示由角的象限可以确定三角函数值的符号;反过来，由三角函数值的符

号确定角的范围时,要注意轴线角这种特殊情况，防止遗漏导致解题错误.

2.答案(-2,3]

解析VcosQW0,a的终边在第二或第三象限，也可能在y轴上或在x轴负

半轴上.

Vsina>0,Aa的终边在第一或第二象限,或在y轴正半轴上.

/.点P在第二象限或在y轴正半轴上.

c3cz-9<0,或13a-9=0,

ta+2>0叫a+2>0,.•.—2<aW3,

...实数a的取值范围是(-2,3].

3.答案|

解析由题意可得cosa=j_8mY

J(-8m)2+(-3)25

所以m=1.

易错警示在解这类题时,一定要注意题目中的隐含条件，由cosa=-表0可以得

到m>0,解题时要注意参数的范围.

4.答案包或一邈

1010

解析由题意可得，|（^|=］（-3血）2+租2=的工刷|（0为坐标原点）.

当m>0时，10P|=V101m|=VTOm,

rn.l.mVio

贝sina=-^-=—;

VlOm10

当m<0时，|OP|=V101m|=-V10m,

m

贝Mil1Jsi.na='L■二一—V1O・

-VlOm10

故sina的值为绊或-绊.

1010

5.DVsin'9+cos29=1,・••（£+（累）I】,

解得a=l或2=今

当a=l时,sin9=0,9不是第二象限角，舍去;

当a=1时,sin9>0,cos9<0,9是第二象限角，符合题意.

a=1.故选D.

易错警示隐含条件为sin9>0,cos0<0,利用平方关系解出a的值后要注意检

的L.

6.答案（i）q（2）-/

解析⑴n<x<0,sinx+cosx=|,

--<x<0,sinx<0,cosx>0.

2

由sinx+cosx=1,sin2x+cos2x=l,

可得l+2sinxcosx弓,即2sinxcosx=-||,

r因~i止匕（sinx-cosx）n-=l-2sinxcosx=—49,

又sinx-cosx<0,Asinx-cosx=--.

sin%4-cosx=.

7可得sinx=--,cosx=-,

{sinx-cosx=

•,sin%3

••tanx=----:

cosx4

2sin2x+2sin%cos%2x三+2x(-g)xg_24

1-tanxi+-175

4

易错警示由条件sinx+cosx=1>0及-n<x<0可得q<x<0,进而可确定sinx-cos

x<0,若不注意分析角的范围，则易导致解题错误.

n+1

7.答案(-l)sina(neZ)

解析①当n=2k(k£Z)时，

Essin(2/cn+a)cos(2/cir-a)sinacosa.

原式二----r————:-=--------=-Sina.

cosL(2fc+l)n-a\-cosa

②当n=2k+l(k£Z)时，

原式sint(2fc+l)7i+a]cos[(2k+l)n-a](-sina)(-cosa)

cos[(2fc+2)7t-a]cosa

综上，化简所得的结果为(T)n”sina(neZ).

8.解析―后,

333

_?Wsin(2%-

若a>。，则RM二解得忆：姆匕

2a+b=-5,=-12+6>/3,

若a<0,则

-V3a+b=1,=19-12V3.

易错警示形如y=Asin(o)x+<t))+B或y=Acos(3x+6)+B(AW0)的函数,其最值

与参数A的正负有关，因此在解决这类问题时,要注意分A>0和A<0两种情况进行

讨论.

9.D由题意知sinxHl,即f(x)的定义域为卜|xW2kn+],k£z},不关于原点

对称，

...f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

易错警示判断三角函数的奇偶性时,首先要考虑函数的定义域是否关于原点对

称,再等价变形,最后下结论.

10.答案[|,5

2

1\1

J-!+-

解析y=2sinx-2sinx+1=2（sin%-.

2/2

21

+

-

令t=sinx,则TWtWl,丫=2，-1）2，

...当t=-l时，函数取得最大值,为5;

当t4时,函数取得最小值,为也

故函数的值域为L，5.

易错警示解与三角函数有关的最值问题时，注意正、余弦函数的有界性.

11.By=cos(2%+，)=sin/4-(2x+]卜sin.2x+g,=sin2(%+；)],故只需将

y=sin2x的图象向左平移与个单位长度即可，故选B.

易错警示当函数名称不同时,先统一函数名称,再进行图象变换,并注意左右平

移变换的对象是自变量x,在此条件下遵循“左加右减”的法则.

思想方法练

1.答案詈

解析由题图可知券2»乎=芋,所以T客，

2442

因此3#三,所以f(x)=sin6x+(p).

又函数图象过点(2j1),所以sin管+(p)=l,

找出关键点,列方程求解参数的值.

即墨+6=2kar+1,k£Z,解得6=2k"詈,k£Z,

又因为I61〈五，所以6得.

2.解析设扇形的圆心角为a,半径为r,弧长为1,面积为S,则l=20-2r,

/.S=-lr—(20-2r),r=-r2+10r=-(r-5)2+25,

22

构建S关于r的一元二次函数,利用函数思想解题.

...当r=5cm时，扇形的面积最大，为25cm；

此时a=L空空=2(rad).

r5

思想方法在本章中,研究三角函数有关问题时,将条件化为等式或者函数式,通

过方程或函数的知识求解,是一种常见的方法.

3.Af(x)=sin(«x+)+cos(«x+4>)=V2sinwx+<i>+-J.由f(x)是R上的奇函

4

数，得f(0)=0,即sin(3+9=0,又|@|?，所以。可.

因为直线丫=鱼与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为

pf(X)M或,所以f(x)的最小正周期丁三,所以3牛4,

由直线丫力泛与函数f(x)的图象的两个相邻交点(形)的横坐标之差的绝对值得到

f(X)的周期(数),利用周期求出3的值.

所以f(x)=V^sin4x.

当一尊时，4X£&•，函数在此区间内单调递减；

当x£(0,时,4X£(0,其)，函数在此区间内先增后减.

故选A.

4.解析⑴由题图可知A=2,T=2X(/g=2,所以3成，，所以

f(x)=2sin(x+).

又点C，2)在f(x)的图象上，

所以2sinf-+(p)=2,所以2+6』+2kn,k£Z,即4>=-+2kn,k£Z,又|6|<-,所以

\6/6232

3

故f(x)=2sin(ir%+*

⑵如图，易得f(x)在［0,4］上的图象与直线y=-1有4个交点,则方程f(x)=|在

［0,4］上有4个实数根,设这4个实数根分别为Xi,X2,X3,x4(xi<x2<x3<x4).

将方程的根的问题转化为对应函数的图象的交点问题，结合图象分析解决问题.

由图可得X1,X2关于直线x=:对称，X3,X4关于直线*¥对称，所以Xi+x2=pX3+X4=F，

6633

所以Xi+X2+X3+X4=y.

思想方法解决与三角函数有关的问题时,常通过数形结合实现图象与性质的有

机结合,如解决函数的零点、方程的根的问题,一方面,利用图象确定函数零点或

方程根的范围、个数，另一方面,利用图象的对称性寻求函数零点、方程根间的关

系,进而解决相关问题.

5.解析(l)f(x)=gsin3x-：cosax=sin(3%-当，因为f(x)的最小正周期为Ji,

22\6/

所以生="，即3=2,因止匕f(x)=sin(2%-斗.

(2)由(1)知g(x)=2sin^2%-^-4入sin(2x—一1.

令t=sin（2x.）,

则y=2t-4Xt-1=2（t-入尸-2入2一i.

因为x土，*所以2x*［O,*所以［0,1］.

-1Z3」6Z.

求y=2t2-4入tT在［0,1］上的最小值，要对给定区间与其图象的对称轴的位置

关系进行分类讨论.

2

当入＜0时，y=2t-4入tT在［0,1］上单调递增，所以当t=0时，y,„in=-l^-|,不

合题意.

当人＞1时,y=2t2-4入t-1在t£［0,1］上单调递减,所以当t=l

=

时，ymin2-4入-1=1-4人，

所以1-4人=-|,解得人=|（舍去）.

当0W入W1时,ymin=_2入'T,所以-2入'-1=-|,解得人=|（负值舍去）.

综上所述，人=1.

思想方法在三角函数中，有关角所在的象限,参数的取值范围等,解题时要依据

题意对其进行分类讨论.

6.C由已知得sinA=sin（B+C）=sinB,cosC+cosBsinC

=2sinBcosC,

将角A的三角函数转化为角B、C的三角函数,通过恒等变形解决问题.

于是sinBcosC-cosBsinC=0,即sin（B-C）=0,所以B=C,故此三角形一定是等腰

三角形.故选C.

7.答案f

解析因为cosQ=”£(o,9,所以sina=手.因为a,B£(0,1),所以

a+3e(0,m),又cos(a+B,所以sin(a+B)=—.

1414

将所求角B的正弦转化为已知角的差的正弦.

所以sinB=sin(a