2023电大经济数学基础(例题大全)

2023经济数学基础例题大全(考试必备)

一单项选择题

x

1.函数y=的定义域是(D).

lg(x+l)

A.x>—lB.xW0C.x>0D.x>—l且x#D

2.若函数于(4的定义域是(0,〃，则函数于3)的定义域是(C).

A.(0,1]B.(—00,1)C.(-co,0]D(-oo,0)

3.及/(x)='+l,刈/(/(x))=(

A

X

X,X1,1

A.------+1B.------C.------+1D.------

1+X1+X1+x1+x

4.下列函数中为奇函数的是(C).

x-1

A.y=x2-xB.y=QX+e~xC.y=InD.y-xsinx

x+T

5.下列结论中,(C)是正确的.

A.基本初等函数都是单调函数B.偶函数的图形关于坐标原点对称

C.奇函数的图形关于坐标原点对称D.周期函数都是有界函数

6.已知f(x)=-—--1,当(A)时,f(x)为无穷小量.

tanx

A.x—>0B.x-1C.x—>-00D.X—>+00

sinx八

,X工U

7.函数f(4=.X在X=0处连续,则k=(C).

k,x=0

A.-2B.-1C.1D,2

8.曲线y=sinx在点(0,0)处的切线方程为(A).

1

A.y=xB.y=2xC.y=yxD.y=-x

若函数于「~)

9.=x,则于KQ二(B).

X

1111

A.&~~C,-D.—一

x~x2XX

10.若/(X)=XCOSX，则f"(4=CD).

A.cosx+xsinxB.cosx-xsinx

C.2sinx+xcosxD.一2sinx-xcosx

11下列函数在指定区间+哈上单调增加的是(B).

sinxB.exC.x2D.3-x

12.设需求量q对价格p的函数为小6)=3—2),则需求弹性为Ep=(B).

3-277

3-277/P

。填空题

x+2,-5<x<0

1.函数于（4=\的定义域是答案:「5,2）

0<x<2

2.若函数/（X+1）=/+2X_5,则以4=答案:九2-6

10"+K)T

3.设f(x)=，，则函数的图形关于一.对称.答案:

x+sinx

4.____________.答案：1

X"x

einV

5.已知于(x)=\—二当_____________时,于(心为无穷小量.答案:%—>0

x

6.函数于(玲=△-的间断点是___________.答案:x=0

1-e

7.曲线y=&在点(1,1)处的切线斜率是_______________________.:y（i）=o.5

8.3知/(x)=In2x,划"(2)]'=.答案:0

_p_

9.需求量q对价格p的函数为q(p)=100xe2,则需求弹性为E0=

——

2

rs;计算题

—3x+2

7.lim

2

A->2x-4

..x2—3x+2=lim（%二2）g1）=lim--1-=1

hm---；------

2

XT2X-412（九-2）（九+2）I2（X+2）4

sin2x

2.lim—；=——

y/x+1-1

sin2xTim（J%+1+1）sin2x

lim—7=——

。Vx+1-1~^°（Vx+i-i）（Vx+i+i）

=lim（7x+l+1）limS^-^-=2x2=4

.ITOzx

V3—x-A/1+X

3.lim

XTlx1-1

..A/3—X-Jl+X（,y3—X-y/'l+x）（j3-X+Jl+x）

斛lim---------------=lim--------------T=——-----

XTIx2-i“I（%2-1）（73^%+71+%）

（3-x-（l+x））-2U-1）

lrim---------,---.=lim--------------,

—（九2-l）（V3-x+V1+X）7（，-l）（V3-x+Vl+x）

r—21

lim--------,---/=----7=

（冗+1）（V3--X+VT+x）2V2

[.tan(x-l)

4.hm------------；

x+x-2

「tan(x-1)「tan(x-1)

解lim-----------=lim--------------------

7厂+x—2e(%+2)(%-1)

..1..tan(x-1)1t1

=lim---------lim---------------=—x1=-

alx+2Ix-\33

sin2xe

5.--------十一)

Xx+1

sin2xexsin%....ev八，

解lim(--------十——)=lim-------limsinx+lim-------=0+I=

.r-»0xx+1工70X10•sOX+1

…COSXq，/、

6.己知y-2-----------，求y(x).

1-x

cosx—(l-x)sinx-(-l)cosx

yay—)f=2'ln2-

1—x(If

cosx-(l-x)sinx

=2Xln2-

(IT)?

7.=Incosx2,求y＜后);

解因为，」

V=(lncosx2)=y(-sinx2)2x=-2xtanx2

cosx

，端）后（后7t）2

所以=-2tan=—x1=—y[71

2

8.已知y-Vl+lnx，求dy.

1,2

解因为yz=-(l+ln2x)3(l+ln2x)r

1八i22Inx2.2i

=—(1+lnx)3------------=—(l+lnx)3Inx

3x3x

29~

所以dy=—(1+In2x)3Inxdx

3x

x2

9.i&y=cos—+e_2x求dy.

222

解:因为y=-sin—(—)r-2e_2x=-xsin---2e-2x

222

无2

所以dy=(-xsin--2e-2t)dx

10.由方程s.vny+xey=0确定y是x的隐函数,求y'（x）.

解对方程两边同时求导,得

y'cosy+e'+xe'y'=0

(cosy+xev)y，=-ey

一e)’

y'(x)=--------------•

cosy+尤e，

11.设函数y=由方程y=\+xe、确定,求-

解:方程两边对X求导,得y'=e，+xeW

y=--------

1-xev

当x=0时,y=\

所以,寸=—^―-=e

小户01-Oxe1

12.由方程cas(x+y)+ev=x确定y是x的隐函数,求dy.

解在方程等号两边对x求导,得

[cos(x+y)]'+(e))'=(x)'

-sin(x+y)[l+y']+e'y'=1

[ev-sin(x+y)]y'=l+sin(x+y)

,l+sin(x+y)

y-

ev-sin(x+y)

,,.l+sin(x+y),

故dy=--------------dx

e?-sin(x+y)

(四)应用题

I.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为

q=1000-10/7(q为需求量,p为价格).试求:

(1)成本函数,收入函数;(2)产量为多少吨时利润最大?

解(1)成本函数C@=60q+2000.

因为^^1000-10/2,即“=100—市，

所以收入函数R(q)=pxq—=100<7-.

1.

(2)因为利润函数L(q)=R(q)-C{q)=100q-—-(60q+2000)

12

=40q~—q2-2000

1,

JELL'(c/)=(40q--q2-2000Y=40-0.2q

令L，(q)=0,即40-0.2q=0,^q=200,它是L(G在其定义域内的唯一驻点.

所以,q=200是利润函数L(q)的最大值点,即当产量为200吨时利润最大.

2.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)=20+4q+0.0lq2(元),单位销售价格为p=14-0.01q(元/件),

问产量为多少时可使利润达到最大?最大利润是多少.

解由已知H=qp=4(14—0.01q)=]4q_0.01/

破函教乙=7?_0=144—0.0坷2_20_44_0.0坷2=]04_20_0.0242

圾，=10—0.04“，令L'=10—0.04q=0,解出唯一驻点q=25金

因为利润函数存在着最大值,所以当产量为250件时可使利润达到最大,

且最大利润为

A(250)=10x250-20-0.02x2502=2500-20-1250=1230(元)

3.已知某厂生产q件产品的成本为C(q)=250+24q+3(万元).问:要使平均成本最少,应生产多少件产

品?

解(1)因为亍(4)=^@=空+20+2

qq10

250“q,2501

c⑷=(z——+20+^---+—

q10q10

令C'(q)=0,EP-^-+—={),得q[=50,q2=-50(舍去),

q-10

%=50题(q)在其定义域内的唯一驻点.

所以,、=50欣:(q)的最小值点,即要使平均成本最少,应生产50件产品.

1.函数y)(答案:B)

A.[-2,4-00)B.[—2,2)LJ(2,4-oo)C.(―oo,—2)D(―2,+8)D.(—oo,2)kJ(2,+oo)

2、若函数f(x)=cos三,"lim/。+泡=/⑴=()。(答案:A)

4-。Ax

V2.7C.71

A.0B.----C.-sin—D.sin—

244

3.下列函数中,()是*$抽t的原函数。(答案:D)

A.—cosx2B.2cosx2C.—2cosx2D.--cosx2

22

4.设A为mxn矩阵,B为sxt矩阵且ACB有意义,则C是()矩阵。(答案:D)

A.mxtB.t^mC.D,sx〃

%1+2X2—4犬3=1

5.用消元法解线性方程组、x2+x3=O得到的解为（（答案:C）

X

、~3~2

M=1王二—7

A.<x2=0冗2=2

、冗3=-2当=-2

X1=—11

x]=-11

V

C.<X2=2D.x2=-2

x3=-2=-2

二、填空题:(3x5分)

6.已知生产某种产品的成本函数为C（q）=80+2q,则当产量q=50单位时,该产品的平均成本为。（答案:

3.6）

7.函数于（4=[^~-----的间断点________________。（答案:xi=l,X2-2）

x—3x+2

i

8.J（xcosx+l）t/x=。2）

-i

-1-11一

9.矩阵20-1的秩为。（答案:2）

1-34

10.若线性方程组、“一：2=°有非。解,则入=______________。1答索=.1）

x{+Zx2=0

三微积分计算题（10X2分）

三(j)+[l+Inf]g)

11.设yJh'LR，求y'(0)。解:y(1-x)2-(1-x)2

1-X

y'(0)=0

In2

72.J(1+cx\dxo

o

In2ln2iiQ

解:J，(l+e*)2公=J(1+/)2或1+/)=一(1+")3=——

003n3

四、代数计算题（15X2分）

-113

13.设矩阵A=1-15，求(1+A)L

1-2-1

013

解:I+A=105

1-20

0I3105010

(I+AI)105013100

I-2000-50-11

1050106-5

0131003-3

0012-11002-11

-106-5

；.(/+A)T-53-3

2-11

%-3%+2X3-0

14.设齐次线性方程组乂

-5X2+3*3=0问取何值时方程组有非0解,并求一般解。

—8%2+几占0

210-I

解:-101-1

2-600%—5

故当入=5时方程组有非0解,一般解为卜阳=&(其中当是自由未知量)

五、应用题(8分)

75.已知某产品的边际成本为CKG=21元/件),固定成本为0,边际收益R(q)=12—G.02q,求:

(1);产量为多少时利润最大?

(2)在最大利润产量的基础上再生产50件,利润将会发生什么变更?

解:(1)边际利润E(q)=R'(q)—C'(g)=10-O.02q

今L'(q)=0,得唯一驻点q=500(件)，故当产量为500件时利润最大。

(2)当产量由500件增加至550件时，利润变更量为

550

.550,

△L=L0G(1o-0.02q)dg=(10g—0.0)=—25

500

即利润将削减25元。

线性代数综合练习及参考答案

一、单项选择题

1.设A为3x2矩阵,B为2x3矩阵,则下列运算中(\)可以进行.

A.ABB.ABTC.A+BD.BAT

2.设A,B为同阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(B)

A.(A5)T=AT5TB.(AB)T=5TAT

C.(AB7)-'=A-'(BTY'D.(ABTyl

3.设A,B为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是(D).

A.若AB=1,则必有A=I或B=/B.(AB)T=A'Br

C.秩(A+B)=株(A)+秩(B)D.(ABY'=B'A''

4.设A,B均为n阶方阵,在下列状况下能推出A是单位矩阵的是(D).

A.AB^BB.AB=BAC.AA—ID.A-1

5.设A是可逆矩阵,^A+AB^I,则A-'=(C).

A.BB.\+BC.I+BD.(/—y45)1

6.设A=(12),6=(—13),I是单位矩阵,则NB-I=(D).

--131P-l-21[-2-21r-22

A.B.C.D.

-26jL36JL35J]_2f

7.设下面矩阵A,B,C能进行乘法运算,那么(B)成立.

A.AB=AC,AHO,则B=CB.AB=AC,4可逆,则B=C

C.A可逆,则AB=BAD.AB=0,则有A=0,或B=0

8.设A是n阶可逆矩阵,k是不为。的常数,圾(以)-=(C).

A.kA-'B.—A''C.-kA~'D.-A-1

knk

'120-3'

9.该A=00-13,则KA)=(D).

24-1-3

A.4B.3C.2D.1

-13126-

0-1314

JO.设线性方程组AX=b的增)'.矩阵通过初等行变换化为，则此线性方程组的一般

0002-1

00000

解中自由未知量的个数为(A).

A.1B.2C.3D.4

M+x,=1

11.线性方程组412解的状况是(A).

%+%2=0

A.无解B.只有。解C.有唯一解D.有无穷多解

-1A2

12.若线性方程组的增广矩阵为A=，则当入=<A；时线性方程组无解.

_210

A.-B.0C.ID.2

2

13.线性方程组AX=0只有零解,则AX=6(bw0)(B).

A.有唯一解B.可能无解C.有无穷多解D.无解

14.设线性方程组AX=b中,若r(A,b)=4,r(A)=3,则该线性方程组(B).

A.有唯一解B.无解C.有非零解D.有无穷多解

15.设线性方程组AX=b有唯一解,则相应的齐次方程组AX=O(C

A.无解B.有非零解C.只有零解D.解不能确定

二、填空题

1.两个矩阵A,B既可相加又可相乘的充分必要条件是A与B是同阶矩阵.

rr2

r-300

2.计算矩阵乘砒20:[4]

I」-1

-23-1

3.若矩阵A=[-12],B=[2—31],则NB=

4-62

4.设A为mxn矩阵,B为sxt矩阵，若AB与BA都可进行运算，则m,n,s,t有关系式答：m=t,n=s

-102-

5.纥A二a03,当a=0时，A是对称矩阵.

23-1

3

6.当a。—3时,矩阵A可逆.

a

7.设A、B为两个已知矩阵,且I—B可逆,则方程A+BX=X的解X=—(I-By'A

8.设A为n阶可逆矩阵,U!ijr(A)=n

-2-12

9.若矩阵A=402，则r(A)=2

0-33

10.^r(A,b)=4,r(A)=3,则线性方程组AX=b无解

%-x,=0

11.若线性方程组\'J有非零解,则入=-1.

X]+AX2=0

12.设齐次线性方程组AmxnX“*i=0,且株⑷<n,则其一般解中的自由未知量的个数等于

1-123

13.齐次线性方程组AX=D的系数矩阵为A=010-2则此方程组的一般解为.

0000

答“X,=一2七一%(其中X3是自由未知量)

=2匕

14.线性方程组AX=b的增广矩阵K化成阶梯形矩阵后为

-12010

A.一042-11

0000C1+1

则当d-/时,方程组AX=b有无穷多解.

15.若线性方程组AX=b(b^0)有唯一解,则AX=0_只有。解

三，计算题

-102-2r

1.设矩阵A=-124,B=—13，，求Q1-AT)B

_311[03_

r「212—6r

「10：

2.设矩阵A=",8=010,C=22f计算BN+c.

1-2(

」L°°2-42

--13-6-3一

3.设矩阵A=-4-2-1,求A，

211

-012

4.设矩阵A=114，求逆矩阵K'

_2-10

1-63-

fl0-2

5.设矩阵A=,8=12十算(AB)1

1-2C

」|_41

-11

17-3

6.设矩阵A=0-2B=，计算(BA)L

0-12

20

-2-3-1

7.解矩阵方程X=

_34__2_

「12-1-1-

8.解矩阵方程X

_35一'_20

X]十%=2

9.设线性方程组\x\+2X2—X3=0探讨当。，b为何值时,方程组无解,有唯一解,有无穷多解.

2%]+%2-ax3=b

X]+2%3=-1

10.设线性方程组一事+%—3七=2,求其系数矩阵和增广矩阵的秩,并推断其解的状况.

2xt-x2+5^3=0

II.求下列线性方程组的一般解:

$+2X3-x4=0

<-X|+—+2*40

2x(-x2+5X3-3X4=0

12.求下列线性方程组的一般解:

2,x^~5%2+2xj—3

<x,+2X2-x3=3

2%1+14X7—6Xj=12

xt-3x2+2七=0

13.设齐次线性方程组<2』-5X2+3X3=0

3X]-8X2+AX3=0

问入取何值时方程组有非零解,并求一般解.

玉+々+七=1

14.当入取何值时,线性方程组VX”—Ax：=入有解？并求一般解.

-xy+5X3-1

15.已知线性方程组AX=b的增广矩阵经初等行变换化为

-1-16-31

A->•••-»01-330

0000Z-3_

问大取何值时,方程组AX=b有解？当方程组有解时,求方程组AX=b的一般解.

四、证明题

1.试证:设A,B,AB均为ri阶对称矩阵,则AB=BA.

2.试证:设A是n阶矩阵,若43=0,=I+A+A2.

1,,

3.已知矩阵A=-(B+I),且R=A,试证B是可逆矩阵,并求B-：

2

4.设n阶矩阵A满意U=I,A4T=/,证明A是对称矩阵.

5.设A,B均为n阶对称矩阵,则AB+BA也是对称矩阵.

三，计算题

T

-10o--102

1.解因为27-AT=2010—-124

001311

-20O--I-13-11-3'

=020—C21=0J-1

002_241-2-41

11-31Pr■]—5-

所以(2/-A/=00-1-13=0-3

-2-41J3_0-11

一212-1「--6r

2.解;BA'+C=0100-2+22

.002_-20_-42

-60'--6r-0「

0-2+22=20

40-4202

-13-6-3100114107

3.解因为(A1)=-4-2-1010001012

211001211001

1141071T1101-4

-001012-001012

0-1-7-20-130-10-271

100-130100-130

30-10-271-0102-7-1

00102J1001012

-130

所以箱=2-7-1

012

012100114010

4.解因为（A114010f02100

200010-3-80-21

102-1101002-11

T0121000104-21

00-23-2100-23-21

1002-11

0104-21

00I-3/2I-1/2

21

所以A'=4-21

_-3/21-1/2

63

0-2-21

5.解因为AB二12

1-204

41

10-21()

(ABI)=

4-1002

11

o-o--

-O222

2o21

一1

-

历以2

2

一

11

2-3-5-3-

6.解因为BA=0-2

0-1242

20

-5-310-1-111

(BA1)=—>

4204201

所以

-2-310111

7.解因为

34013401

11043

01-3-201-3-2

-2-343

即

34-3-2

43-12

所以,X

-3-22-1

2102100-52

8.解:因为

35010-1013-1

12-52

BP

353-1

1-1121-1-52-83

所以,X=

2035203-I-104

10121012

9.解因为12-1002-2-2

21b01—47-2-4

1012

01-1-I

00h-3

所以当a=—\且b手3时,

当a手一一时,方程组有唯一解;

当。=一\且b=3时,方程组有无穷多解.

10.解因为

102-1102-1102-1

A-1I-320I101-11

2-1500-1I20003

所以r(A)=2,r(A)=3.

又因为KA-MX),所以方程组无解.

11.解因为系数矩阵

02-1102-1102-1

A-11-3201-11—>01-11

2-15-30-11-10000

xt--2X+x

所以一般解为《34（其中％,是自由未知量）

x4

［无2=七一Z

12.解因为增广矩阵

2-52-1

A12-14

-214-6-8

1

/+1

所以一般解为（其中％是自由未知量）

4,

X2=~X3+1

13.

-3210-1

1-101-I

I2-600A—5

所以当入=5时,方程组有非零解.且一般解为

（其中％是自由未知量）

、“2

14.解因为增广矩阵

II11111-1

2I-4A0-1-622

-1050162

所以当入=0时,线性方程组有无穷多解,且一般解为:

'/1X、是自由未知量)

x2=-6X3+2

15.解:当入=3时,r(A)=r(A)=2,方程组有解.

1-16-311F10301

当入=3时，h金1-330-01-330

0000oj[00000

X[=1-3*3

一般解为、其中X*XA为自由未知量.

x2-3X3—3X4

四、证明题

1.证因为N=A,BT=B,(AB)T=AB

所以AB=(AB)T=BTAT=BA

2.证因为(7-A)(/+A+A2)

=1+A+A2-A-A2-Ai=1-A3=I

所以(/一A)T=/+A+A2

3.ijE=-(B+I)2=-(B2+2B+I),且6=A,SP

44

11

—(B?7+2B+I)=—(B+I),

42

得B,=1,所以B是可逆矩阵,且Bi=B.

4.证因为

A=AI=AAA'=IAr=Ar

所以A是对称矩阵.

5.证因为X1"=ABT=B，且

(AB+BA)T=(AB)T+(SA)T=BTAT+ATBT

=BA+AB—AB+BA

所以A8+&4是对称矩阵.

积分学部分综合练习及参考答案

—■,、单项选择题

7.在切线斜率为2x的积分曲线族中,通过点(1,4)的曲线为(A).

A.y=x2+3B.y=x2+4c.y=2x+2D.y-4x

2.^Jo(2x+Qdx=2,则k=(A).

1

A.IB.-1C.0D.-

2

3.下列等式不成立的是(D).

1

A.erdx=d(ev)B.-sinxdx=d(cosc)C.-7=dr=dVxD.Inxdr==d(-)

2vxX

X

4.若J/(x)dr=-e5+c,则f\x)=(D).

X[X