2022年安徽省安庆四中中考数学二模试卷（解析版）

2022年安徽省安庆四中中考数学二模试卷

题号一二三总分

得分

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1.在下列四个实数中，最小的数是（）

A.—2B.-C.0D.—V3

2.下列计算正确的是（）

A.a2+a3=a5B.（2a2）3=2a6*B.C.2a3—a2=2aD.—2a+a=-a

3.截至2022年4月21日，全国已接种新冠病毒疫苗332248.8万剂次.332248.8万用科

学记数法可表示为（）

A.33.22488X104B.0.3322488X105

C.3.322488x109D.3.322488X105

4.某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（）

5.已知：如图，4B//CD//EF,N4BC=50°,/.CEF=150°,则4BCE

的值为（）

A.50°

B.30°

C.20°

D.60°

6.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第

三个月投放单车数量比第一个月多440辆.设该公司第二、三两个月投放单车数量

的月平均增长率为X,则所列方程正确的为（）

A.1000（1+x）2=1000+440B.1000（1+%）2=440

C.440（1+x）2=1000D.1000（1+2%）=1000+440

7.已知：如图，4B是。。的直径，弦4。、BC相交于P点，

那蜀的值为（）

A.sin"力PC'K）

B.cos〃PC/

Cta“4PC

8.若一次函数y=ax+b与反比例函数y=9的图象在第二象限内有两个交点，且其中

一个交点的横坐标为一1，则二次函数丫=&/+5%-©的图象可能是（）

9.已知a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则ab可表示为（）

A.c2B.2c2-1C.c2+j

10.如图，已知正方形ABC。的边长为8,点E是正方形内部一

点，连接BE,CE,且N4BE=NBCE,点P是4B边上一动

点，连接PC,PE,则PD+PE长度的最小值为（）

A.8&

B.4710

C.8V5-4

D.4m-4

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11.分解因式：am?—9a=.

12.若二次根式后R有意义，则x的取值范围是

第2页，共20页

13.如图，△4BC内接于。。，8。14(；于点后，连接4D,OF1

4D于点F,4D=45°.若OF=1,则BE的长为.

14.对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a,则称a是这个函数的不动点.己

知二次函数y=x2+3x+m.

(1)若2是此函数的不动点，则m的值为

(2)若此函数有两个相异的不动点a、b,且a<l<b,则ni的取值范围为

三、解答题(本大题共9小题，共90分)

15.先化简、再求值：差4+*+(1一三)，其中a=2.

ufc-1U+lCL—1

16.平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为4(2,-2),8(3,-4),C(6,-3).

(1)画出将△4BC向上平移6个单位后得到的44B1C1；

(2)以点M(l,2)为位似中心，在网格中画出与△&B1C1位似的图形A&B2c2，且使

得△/I282C2与△4$iG的相似比为2：1.

17.观察以下等式：

第1个等式：.盘+；1，

第2个等式：/隰+铝1，

第3个等式:4++21，

第4个等式:»专+合1，

按照以上规律，解决下列问题:

(1)写出第5个等式：；

(2)写出你猜想的第为正整数)个等式：(用含n的等式表示)，并证明.

18.2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢.某供

应商今年2月购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进

价多40元，并且购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同.

(1)向每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？

(2)根据市场实际，供应商计划用20000元购进这两种吉祥物200个，则他本次采购

时最多可以购进多少个冰墩墩？

19.如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无

30方.、翔L

人机在离地面30米的。处，无人机测得操控者4的俯'、、

/\C

角为30。，测得点C处的俯角为45。.又经过人工测量操/晅

」L口

控者4和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度AB

为多少米？(6a1.73)

20.如图，。。是△ABC的外接圆，4。是。。的直径，F是4。延长线上一点，连接CD,

CF,KzOCF=Z.CAD.

(1)求证：CF是。。的切线；

(2)若sin8=,AD=2,求F。的长.

21.某市某区在今年四月开始了第一剂新冠疫苗接种，为了解疫苗的安全、有效情况,

从全区已接种市民中随机抽取部分市民进行调查.调查结果根据年龄x(岁)分为四

类：4类：18Wx<30；B类：30Wx<40；C类:40<x<50；D类:50<x<59.

现将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

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(2)若本次抽取人数占已接种市民人数的5%,估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市

民有多少人？

(3)区防疫站为了获取更详细的调查资料，从。类市民中选出两男两女，现准备从这

四人中随机抽取两人进行访谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好

是一男一女的概率.

22.关于x的二次函数丫=乂2+加:+，的图象经过点(一1,0),(3,0).

(1)求二次函数的表达式；

(2)求当—4W%式|时，y的最大值与最小值的差；

(3)一次函数y=(2-a)x+2-a的图象与二次函数y=x2+bx+c的图象的交点

坐标是(m,%)，(n,y2)>且m<0<n,求函数W=y1一y2的最大值.

23.如图，在四边形4BCD中，UBC=4DCB,点E为BC上一点,且DE〃/18,过点B作

BF〃/1。交DE的延长线于点F,连接CF,CF=BF.

(1)求证：AADE^FCD；

(2)如图(2),连接DB交4E于点G.

①若AG=OC.求i正：BC平分NO8F；

②若DB"CF,求黑的值.

图I图2

答案和解析

1.【答案】A

解：根据实数大小比较的方法得：

-2<-V3<0<|,

二四个实数中，最小的数是-2.

故选：A.

正数大于0,负数小于0,正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小，据此判断即可.

本题考查了实数的大小比较方法，解答此题的关键是要明确：负数<0(正数，两个负

数绝对值大的反而小.

2.【答案】D

解：力、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；

B、(2a2)3=8a6,故8不符合题意；

C、2a3与-a?不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；

D、—2a+a=-a,故。符合题意；

故选：D.

利用合并同类项的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可.

本题主要考查积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用.

3.【答案】C

解：332248.87?=3322488000=3.322488x109.

故选：C.

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时,

要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原

数绝对值210时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中

|a|<10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4.【答案】A

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解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体

且圆柱的高度和长方体的高度相当.

故选：A.

由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体.

本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度

不大.

5.【答案】C

解：•••AB//CD//EF,

•••AABC=乙BCD=50°,4CEF+乙ECD=180°；

乙ECD=180°-4CEF=30°,

乙BCE=乙BCD-Z.ECD=20°.

故选C.

本题考查的是平行线的性质.由4B〃C0〃E尸可得乙4BC=/BCD,ACEF+^ECD=

180°,即可求解.

此类题解答的关键是熟练应用平行线的性质.

6.【答案】A

解：由题意可得，

1000(1+x)2=1000+440,

故选：A.

根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题.

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方

程，这是一道典型的增长率问题.

7.【答案】B

解：连接AC.

乙D=LB,Z.CPD=Z.APB,

.,•ACPD-4APB.

_CD_CP

"AB-'AP'

•••AB是。。的直径,

4ACB=90°.

S=COS^^.

黑=cos"PC

故选:B.

连接4C,证明ACPiAPB,从而可证明泊条由直径所对的圆周角是9。。可知

乙4cp=90。，故此爷=cos〃PC，即可得解.

本题主要考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，由直

角所对的圆周角是90。构造直角三角形4CP是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=a/+bx+c（a力0）,二

次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口，当a<0

时，抛物线向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同

号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴

在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点.

依据直线y=ax+b与反比例函数y=f的图象在第二象限内有一个交点的横坐标

为一1,即可得a-b-c=0,a>0,进而得出结论.

【解答】

解：V直线y=ax+b与反比例函数y=7的图象在第二象限内有一个交点的横坐

标为—1,

・•・一C=-Q+5，

a—b—c=0,

・：一次函数y=ax+b与反比例函数y=;的图象在第二象限内有两个交点，

a>0,c<0,

第8页，共20页

・•・二次函数y=ax2+bx-c的图象开口向上，

当%=—1时，y=a-b-c=0,

・•・抛物线y=ax24-bx-c过(-1,0)点，

故选：A.

9.【答案】A

解：•・•a+b+c=0,

・•・一c=a+b,

222

两边同时平方得：c=a+b-h2abf

移项得：2ab=c2-(a2+h2),

又丫a24-62+c2=1,

・•・a2+b2=1—c2,

:.2ab—2c2—1,

:.ab=c2-I，

故选:A.

把第一个式子中的c移项到等号的右侧，等式两边同时平方，经过变形为2ab=c2-a2-

〃，再结合第二个式子即可.

本题主要考查了完全平方公式的应用，在解题过程中的整体性代入思想也很重要.

10.【答案】D

解：•・•四边形/BCD是正方形，

•••Z.ABC=90°,

・・・4/BE+4CBE=90。,

vZ-ABE=乙BCE,

・・・乙BCE+乙CBE=90°,

・・・(BEC=90°,

・•・点E在以BC为直径的半圆上移动，

如图，设BC的中点为。，作正方形/BCD关于直线48对称的正方形ZFGB,则点。的对

称点是F,

连接尸0交4B于尸，交半圆。于E,则线段EF的长即为PO+PE的长度最小值，。£=4,

vZ.G=90°,FG=BG=AB=8,

・•・OG=12,

OF=y/FG2+OG2=4713，

EF=4V13-4,

PD+PE的长度最小值为4旧-4.

故选：D.

根据正方形的性质得到“BC=90。，推出4BEC=90。，得到点E在以BC为直径的半圆

上移动，如图，设BC的中点为0,作正方形4BCD关于直线4B对称的正方形4FGB,则

点。的对应点是尸，连接F。交4B于P,交。。于E,则线段EF的长即为PD+PE的长度

最小值，根据勾股定理即可得到结论.

本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用.凡是涉及最

短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点

关于某直线的对称点.

11.【答案】a(m4-3)(m—3)

解：am?—9a

=a(m2—9)

=a(m+3)(m—3).

故答案为：a(m+3)(m—3).

先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式,

然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

12.【答案】xN—4

【解析】

【分析】

本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关

键.

根据被开数x+4>0即可求解.

【解答】

解：若二次根式VFF4有意义，

则x+4>0,

:.x>-4.

故答案为x>—4.

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13.【答案】V2

解：连接。。并延长交。。于点N,连接4V,

则DN为O。的直径，

:.乙NAD=90°,

-OFLAD,ON=OD,

・・・AF=DF,

・・・OF=^AN,

・••OF=1,

:,AN=2,

•・•AC1BD,

・•・Z,AEB=90°,

・・・4BAE+4ABE=90。，

又,••△4ND+4/DN=90。，/.AND=Z.ABD,

・••Z.ADN=Z.BAE,

••.AN=我，

：,AN=BC=2,

・・•^ADB=乙BCA=45°,

・・・乙EBC=45°,

：・BE=%C=6

2

故答案为：V2.

连接。。并延长交。。于点N,连接AN,由中位线定理求出AN=2OF=2,证得NADN=

Z.BAE,则4N=BC,求出NBCE=45°,则可求出答案.

此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质、中位线定理等知识;

能够将己知和所求的条件构建到同一个直角三角形中，是解答此题的关键.

14.【答案】—8m<—3

解：(1)若2是此函数的不动点，则抛物线经过(2,2),

将(2,2)代入y=/+3久+m得2=4+6+

解得？n=—8,

故答案为：-8.

(2)v(a,d),(b,b)在直线y=%上，

令/4-3%4-m=%,整理得/+2%+m=0,

,•・函数有2个不动点，

21=22—4m>0,

解得m<1,

设y=x24-2%4-m,

va<1<&,

・,・%=!.时，y=3+m<0,

解得m<-3,

故答案为：m<—3.

(1)将(2,2)代入解析式求解.

(2)(a,a),(“b)在直线y=%上，令/-|-3x+m=%可得4>0,设y=%2+2%+m,

由aV1<b可得x=1时y<0,进而求解.

本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系,

掌握函数与方程的转化.

15.【答案】解：竽彳+胃+(1—三)

a2-la+1'a-lz

2(a-l)a+1a-l-a

=--------------1------

(a+l)(a-l)a-1a-1

2,-1

=----1----

a-la-1

1

=F'

当a=2时，原式=3=1.

【解析】先将括号内的式子通分，同时将除法转化为乘法，然后约分，再算加法即可,

最后将a的值代入化简后的式子计算.

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则.

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16.【答案】解:(1)如图,△4/16为所作:

(2)如图,A&B2c2为所作.

【解析】(1)利用点平移的坐标变换规律写出&、Bl、G的坐标，然后描点即可；

(2)延长到出使=2MAi，延长MB1到外使MB?=2MB0延长到C2使=

2MG，从而得到2c2.

本题考查了作图-位似变换：掌握画位似图形的一般步骤为(先确定位似中心；再分别连

接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图

形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形).也考查了平移变换.

17.【答案】解：(1)第5个等式为：+1;

5oXoo

(2)新个等式为：:就+看=1；

n4-11n2

证明‘左边n(n+1)n(n+1)十n(n+1)

n24-n

n(n+1)

n(n+1)

=丽而=1=右边

.・•等式成立；

【解析】(1)根据提供的算式写出第5个算式即可：

(2)根据规律写出通项公式然后证明即可.

本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是仔细观察各个等式并从中找到规律.

18.【答案】解：(1)设每个雪容融的进价是x元，则每个冰墩墩的进价是(％+40)元,

依题意得：20(%+40)=30%,

解得：x=80,

・•・x+40=80+40=120.

答：每个冰墩墩的进价是120元，每个雪容融的进价是80元.

(2)设购进?n个冰墩墩，则购进(200-7n)个雪容融，

依题意得：1207n+80(200-m)W20000,

解得：m<100.

答：他本次采购时最多可以购进100个冰墩墩.

【解析】(1)设每个雪容融的进价是x元，则每个冰墩墩的进价是(x+40)元，利用总价

=单价x数量，结合购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同，即可得出关于工的一元

一次方程，解之即可得出每个雪容融的进价，再将其代入(x+40)中即可求出每个冰墩

墩的进价；

(2)设购进ni个冰墩墩，则购进(200-m)个雪容融，利用总价=单价x数量，结合总价

不超过20000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结

论.

本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准

等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不

等式.

19.【答案】解：过点。作DE14B于点E,过点C作CF_LOE于点F,

则四边形BCFE是矩形，

由题意得：48=57米，DE=30米，^DAE=30°,Z.DCF=45°.

在Rt△%/）£1中，Z.AED=90°,

^DAE=—tan30°=―，

tanAE3

•••AE=V3DE=30同米），

BE=AB-AE=（57-30两（米），

•••四边形BCFE是矩形，

•••CF=BE=（57-30通）米，

在RMDCF中，Z.DFC=90°,/.DCF=45°,

DC尸是等腰直角三角形，

第14页，共20页

•••DF=CF=(57-30遍)米,

BC=EF=DE-DF=30-(57-30V3)=(30>/3-27)(米),

答：教学楼BC的高度为（30百-27）米.

【解析】过点。作DE1AB于点E,过点C作CF1DE于点F,由题意得4B=57米，DE=

30米，Z.DAE=30°,/.DCF=45°,再由矩形的性质CF=BE=(57-30g)米，然后

证△DCF是等腰直角三角形，得CF=。/=（57-30遍）米，即可解决问题.

本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形

是解题的关键.

20.【答案】（1）证明：连接OC,如图,

•••4。是。。的直径,

・•・Z.ACD=90°,

/.ADC+^CAD=90°,

VOC=OD,

・•・Z-ADC=Z-OCD,

•••Z.OCD+A.CAD=90°.

•・•乙DCF=Z.CAD,

・•・乙DCF+WCD=90°,

：・4OCF=90°,

即OC1.FC,

・・•OC是O。的半径,

・・・”是。。的切线;

(2)解：・・"Z.ADC,

4

:.sinZ-ADC=sinB=

cos"。。=I，

在RtZk/CD中,

3_CD

cos，'。。5~AD

.：CD=AD-co^ADC=2x-=l，

AC=y/AD2-CD2=J22-

vZ.FCD=Z-FAC,Z-F=Z.F,

FCD~>FAC,

6

cDFD5-

--=--=

AcFc8

5-

._3

---=―.

FC4

设FD=3x,则FC=4x,OF=3x+l,

•••FC2+OC2=OF2,

（4x）2+12=（3x+1）2,

解得：X=,或x=0（取正值），

1只

FD=3x=—.

7

【解析】⑴根据切线的判定，连接OC,证明出OC1FC即可，利用直径所得的圆周角

为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；

（2）由sinB=|,根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD=3：4：5,再

根据相似三角形的性质可求出答案.

本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，

直角三角形的边角关系定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半

径是解决此类问题常添加的辅助线.

21.【答案】30

解：（1）根据题意可得，其他三类的百分比为1-25%=75%,

其他三类的人数和为20+20+50=90（人），

抽取的总数为90+75%=120（人），

抽取的C类市民有120x25%=30（人），

补全条形统计图如下：

第16页，共20页

故答案为：30；

(2)120+5%=2400(人)，

答：估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有2400人;

(3)画树状图得:

开始

男男女女

/1\/N/N/T\

男女女男女女男男女男男女

•••共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果,

二抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为2=|.

(1)根据抽取的C类的百分比求出其他三类的百分比，由其他三类的人数和除以其他三类

的百分比可得抽取的总数，乘以抽取的C类的百分比即可得抽取的C类人数，从而补全

条形统计图；

(2)根据本次抽取人数占已接种市民人数的5%即可求解；

(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男生

和一女生的情况，再利用概率公式即可求得答案.

此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图，扇形统计图.用到的知识点为：

概率=所求情况数与总情况数之比.

22.【答案】解：(1);关于乂的二次函数丫=/+匕乂+(；的图象经过点(_1,0),(3,0),

.(1—b+c=0

'(9+3b+c=0'

解得《二二泰

•••二次函数的表达式为y=X2-2X-3.

(2)Vy=x2—2x-3=(x—l)2—4,

二当x<1时y随％增大而减小，当x>1时y随x增大而增大，

-4<x<|,

二当x=l时，y取最小值-4,当x=-4时，y取最大值21,

y的最大值与最小值的差为21-(-4)=25.

(3)当x=-1时y=(2-a')x+2—a=0,

二直线y=(2-a)x+2-a经过定点(-1,0)，

,■m<0<n,

•••m=-1,yr=0,

•••抛物线顶点坐标为(L-4),

•，•yiN-4,

•，•yi-y?w0-(-4)=4,

•1•w=yx-丫2的最大值为4.

【解析】(1)将(―1,0)(3,0)代入y=x2+bx+c求解.

(2)根据抛物线开口方向及顶点坐标可得当x=1时y取最小值，%=-3时y取最大值，然

后作差求解.

(3)由一次函数解析式可得直线过定点(-1,0),可得乃=0,因为抛物线顶点坐标为

(1,-4),则的最小值为一4,然后作差求解.

本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握抛物线图象的性质，掌握求函数经过定

点的方法.

23.【答案】(1)证明：TCE〃/18,

••・乙DEC=/-ABC,

•••Z-ABC=乙DCB,

:.乙DEC=zJDCB,