2023新高考新教材版数学高考第二轮复习3

2023新高考新教材版数学高考第二轮复习

3.5函数的零点与方程的根

考点函数的零点

2—|x|x<2

1.(2015天津文,8,5分)已知函数1«)='一’函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()

0-2汽x>2,

A.2B.3C.4().5

(\x-2\+1,x>0,

答案A由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)={°2,A函数尸f(x)-g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与产g(x)图象

的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示.

由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2,选A.

2.(2S4北版，6,5分)已知函数f(x)=|-log2x.国咧区间中，包含f(x)零点的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,4)D.(4,+8)

答案C'.-f(l)=6-log2l=6>0,£(2)=3-10蚯=2>0,£(4)=沁824等2<0,:包含£q)零点的区间是(2,4),故选(；.

3.(2011课标,10,5分)在下列区间中,函数f(x)=e"+4x-3的零点所在的区间为()

MT.。)B.M)

C(品)D.(彩)

答案C显然f(x)为定义域R上的连续函数.如图作出y=e,与y=3-4x的图象,由图象知函数f(x)=e'+4x-3的零点一定落在区

间(0,9内，又《》=处-2<0,fQ)=V^-l>0.故选C.

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评析本题考查函数零点的概念及求解方法,考查学生分析问题、解决问题的能力,属中等难度试题.

4.(2016山东文,15,5分)已知函数£仪)=，可‘),,、‘叫其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个

1%—2mx+4m,x>m,

不同的根,则m的取值范围是.

答案(3,+8)

解析f(x)的图象如图所示，

若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,只需解之得m>3或m<0,又m>0,所以m>3.

方法总结分段函数问题、函数零点个数问题或方程根的个数问题通常采用数形结合的思想方法来解决.

评析本题考查基本初等函数及分段函数的图象,考查数形结合的思想方法,属于难题.

5.(2016天津文,14,5分)已知函数f(x)=

(x2+(4a—3)x+3a,x<0,Y

(a>0,且aH1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2力恰有两个不相等的实数解，则a的取

[loga(x+1)+1,x>0

值范围是.

4a—3

13x

0<；<1,解得wWaWl在同一直角坐标系下作出函数y=|f(x)I与y=2§的图象,如

{3a>1,

图所示.

X___x___2

方程If(x)恰有两个不相等的实数解等价于尸If(x)的图象与尸2-§的图象恰有两个交点，则需满足3a<2,得水孑综上可

知,gwa<|.

4a—3八

----->0,

易错警示(l)f(x)在R上单调递减，需满足・0<；<1,缺少条件是失分的一个原因;

3a>1,

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(2)由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问题转化为两个函数图象交点个数的问题是解决这类问题常用的方

法.

评析本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程,利用数形结合思想,将方程解的个数问题转化为两个函数图象交点个

数的问题是求解这类问题的常用方法.

6.(2015湖南理,15,5分)已知函数f(x)=£'X-"若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围

(x,x>a.

是•

答案(-OO,0)U(l,+oo)

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解析当a<0时，若x£(a,+oo),则f(x)=x,当bw(0,a)时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x产-x2=y/b.

当OWaW1时,f(x)的图象如图所示,

易知函数y=f(x)-b最多有一个零点.

当a>l时,f(x)的图象如图所示，

当be(a2,al时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x尸时,x尸孤.

综上,(-00,0)U(1,+oo).

2'—a,x<1,

7.(2015北京理,14,5分)设函数f(x)=

4(%—a)(x—2d),x>1.

①若a=l,则f(x)的最小值为;

②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.

答案①T②E，l)U[2,+8)

2X—1x<1

“；、，其大致图象如图所示:

{4(x-l)(x-2),x>1,

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由图可知f(x)的最小值为r.

②当aWO时,显然函数f(x)无零点；

当O〈a〈l时，易知f(x)在(-8,1)上有一个零点，要使f(x)恰有2个零点，则当x3l时，f(x)有且只有一个零点，结合图象可

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知,2a》l,即a光,贝叼Wa<l;

当a&l时,2a>l,由二次函数的性质可知,当x>l时，f(x)有2个零点，

则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-8,1)上无零点则2-aWO,即42.

综上可知,满足条件的a的取值范围是展,1)U⑵+8).

8.(2015湖北文,13,5分)函数f(x)=2sinxsin(x+的零点个数为.

答案2

解析f(x)=2sinxcosx-x-=sin2xr；函数f(x)的零点个数可转化为函数y】=sin2x与y2=x2图象的交点个数,在同一坐标系

中画出yFsin2x与的图象