人教版八上数学期末复习建议2022.12.16（市教育研究院）

人教版八年级上册期末复习建议福建省福州屏东中学曾志勇2016年12月16日初中数学1.复习目标2复习目标基础知识活动经验数学思想基本技能1.复习目标31.通过引导学生系统化、条理化的复习，梳理各章的基础知识和基本方法，引导学生思考各章知识间的联系，使学生能理清所学，查漏补缺，掌握基础知识；2.引导学生的审题、计算、画图、动手操作等，形成基本技能；3.渗透函数与方程、转化与化归、分类与整合、数形结合等数学思想方法，感悟数学思想；4.引导学生在动手实验操作（如数一数、画一画、拼一拼等）第十一章三角形第十二章全等三角形第十三章轴对称第十四章整式乘法与因式分解第十五章分式42.复习内容几何部分代数部分立足基础，把握全局，适度变式，突破难点三角形三角形的有关性质三角形的定义三角形的周长、面积三条重要线段三角形的中线三角形的高线三角形的角平分线三角形的相关概念按角分类按边分类三角形的五心七点三角形三边的关系三角形边与角的关系三角形的内角和三角形的外角和不等边三角形等腰三角形钝角三角形锐角三角形直角三角形斜三角形只有两边相等的三角形三边都相等的三角形重心1外心1垂心1内心1旁心3三角形的分类2.复习内容第十一章三角形思维导图5全等三角形三角形全等的判定全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等一般三角形直角三角形角边角ASA边角边SAS

角边角AAS全等三角形的性质角平分线的性质与判定应用全等三角形解决实际问题SSS,SAS,ASA,AASHL只适用于直角三角形角平分线的判定边边边SSS互逆定理角平分线的性质2.复习内容第十二章全等三角形思维导图6轴对称轴对称的性质和识别轴对称的定义对应点、对应线段、对应角轴对称图形运用轴对称的性质解决几何最值问题轴对称的识别轴对称的相关概念线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的概念线段垂直平分线的判定定理画已知图形关于某直线的对称图形设计轴对称图案三角形三边垂直平分线的性质轴对称变换轴对称作图线段的垂直平分线2.复习内容第十三章轴对称思维导图7互逆定理2.复习内容第十四章整式乘法与因式分解思维导图8整式的乘法与因式分解同底数幂的乘法幂的乘方幂的运算法则单项式乘以多项式单项式乘以单项式多项式乘以多项式积的乘法同底数幂的除法零指数幂、负整数指数幂(分式)正整数幂比较大小的方法因式分解平方差公式完全平方公式乘法公式平方差公式提公因式法完全平方公式整式的乘法整式的除法单项式除以单项式多项式除以单项式

基本性质有意义B≠0无意义B=0

化整取值范围加减化正符号法则通分约分运算分式方程乘除乘方定义解题步聚（注意检验）实际应用零指数幂负整数指数幂科学计数法思想方法分类与整合化归与转化数形结合2.复习内容第十五章分式思维导图9第十一章三角形第十二章全等三角形第十三章轴对称第十四章整式乘法与因式分解第十五章分式103.具体建议几何部分代数部分立足基础，把握全局，适度变式，突破难点113.具体建议理方法熟悉基本模型掌握图形变换几何部分提高推理能力三种语言互化会作图代数部分明算法熟悉法则定律思想方法渗透掌握运算技巧会运用提高运算能力

本部分属于《课程标准》中的“数与代数”领域，复习的核心知识是：《整式的乘除运算和因式分解》、《分式》.这些知识是在学习了有理数的运算、列代数式、整式加减和解一元一次方程及不等式的基础上引入的,也是进一步学习根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具，因此，本章在初中学段占有重要地位.八年级上册代数部分的整体认识

3.1代数部分3.具体建议12

整式的乘除法的各个运算之间存在内在的联系，是可以相互转化的.多项式与多项式相乘可以通过转化变为单项式与多项式相乘，再通过转化变为单项式与单项式相乘，最后化为同底数幂的乘法进行运算；类似的，多项式除以单项式，最后可化为同底数幂的除法进行运算.因此，如果说本章“整式的乘除法”是重点，则“单项式乘以单项式，单项式除以单项式”就是关键“幂的运算性质”则是基础.133.1代数部分

如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．

1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想143.1代数部分2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题.

经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．153.1代数部分3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．163.1代数部分单项式乘以单项式单项式除以单项式关键重点重点现实世界、其他学科、数学中的问题情境整式乘除运算因式分解幂：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方整式乘法分配律分配律分配律多项式乘以单项式多项式乘以多项式乘法公式完全平方公式平方差公式幂：同底数幂的除法、零指数……整式除法多项式除以单项式基础因式分解的意义因式分解的方法提公因式法公式法173.1代数部分3.逆向应用型（1）计算：18

逆用积的乘方的运算性质较高要求---知识的灵活应用：能够逆用幂的运算性质进行简化计算.3.1代数部分3.逆向应用型例3.（2）计算（书P164第7题）：若2m=a,2n=b，则23m+10n=

.（用a、b的代数式表示）较高要求---知识的灵活应用：能够逆用幂的运算性质进行简化计算.（3）书：P171第9题：若4y2+my+9是一完全平方式，求m值.会逆用乘法公式解决问题.再如：已知x-y=-10，求

的值.3.1代数部分较高要求---知识的灵活应用能够综合应用本章的知识适当进行等式的恒等变形4.综合应用型

例4.（2）书：P157第7题：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值.再如：已知x+5y=6,求x2+5xy+30y

的值.在(x2+ax+b)(2x2-3x-1)的积中，x3项的系数是-5，x2项的

系数是-6，求a，b的值.3.1代数部分4、综合应用型

例4.已知a、b、c是⊿ABC的三边，

问⊿ABC是什么三角形？说明你的理由.联想到非负数性质

联想到完全平方公式

较高要求---知识的灵活应用3.1代数部分5.实际应用型例5.一种被污染的液体每升含有2．4×1013个有害细菌,为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀菌剂可以杀死4×1010个此种细菌,要将1升液体中的有害细菌全部杀死,需要这种杀菌剂多少毫升?(注:15滴=1毫升)

解：按单项式除法法则进行计算：（2．4×1013）÷（4×1010）

=0．6×103=600（滴）∵15滴=1毫升，∴600÷15=40（毫升）223.1代数部分6.规律探索型例6.在公式中，当a分别取1，2，3，……，n时，可得下列n个等式：23

将这n个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式：1+2+3……+n=__________（用含n的代数式表示）

较高要求---知识的灵活应用3.1代数部分14.2乘法公式（一）平方差公式平方差公式：14.2乘法公式（一）平方差公式常见的变式3.1代数部分（二）完全平方公式1.完全平方公式：3.1代数部分（二）完全平方公式①公式中的a,b可以是常数，也可以是单项式、多项式.②完全平方公式与平方差公式的综合应用.如计算：③幂的运算性质与公式的综合应用.如计算：3.1代数部分（二）完全平方公式几个常用的公式变形：

3.1代数部分（二）完全平方公式易错3.1代数部分例7.阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图1或图2等图表示.30（1）请写出图3中所表示的代数恒等式_________；略高要求---会运用性质解决相关问题3.1代数部分（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：31答案：

解题的关键是结合图形理解代数式的几何意义3.1代数部分（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形.

此问开放性很强，答案不唯一.32

体会代数与几何图形之间的联系，能用几何图形解释代数恒等式，从中体会数学的整体性.3.1代数部分（一）因式分解的意义因式分解是多项式的一种变形，与整式的乘法是正好相反，两者是互逆的关系。以下问题需要注意：（1）因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，

这与整式的乘法正好相反。（2）因式分解要到不能再分解为止。（3）并不是所有的多项式都可以进行因式分解。

不能进行因式分解（4）分解因式是恒等变形。3.1代数部分33（三）运用公式法1．平方差公式：2．完全平方公式：3．用配方法对多项式变形，如：在学习了多种方法之后，应当注意因式分解的步骤：

（1）先看是否可以用提取公因式法分解因式；（2）观察是否可以使用公式；*（3）尝试十字相乘法；*（4）尝试分组分解法；（5）观察是否可以继续分解。3.1代数部分34（二）提取公因式法注意的问题：（1）提公因式式时要提“全”提“净”。（2）注意避免分解因式的漏项问题。如（3）在把含有字母的式子作为公因式提出来时要注意统一字母的排列顺序。如：（4）如果多项式的首项系数是负数时，一般应先提出“－”，使括号内的第一项系数是正数，然后再对括号内的多项式提取公因数。如：

3.1代数部分35例2.若y2+ay+36是完全平方式，求a的值.36运用完全平方公式时易漏解例3.分解因式

x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)必须进行到每一个因式都不能再分解为止3.1代数部分例4.分解因式：x2-4x+4

变式1：x2+4-4x

变式2：2x2y-8xy+8y

变式3：x(x-4)+4

变式4：(a+b)2-4(a+b)+4

变式5：x4-8x2+16

变式6：x2-4x+3注重变式复习3.1代数部分37373.1代数部分38速度×时间=路程；密度×体积=质量；单价×总数=总价；效率×工时=工作量;线段之比

分式方程的应用:3.1代数部分393.2几何部分403.具体建议

八年级上册几何部分的整体认识初中几何包括几何图形和几何变换两大部分，几何图形我们已经学过：“图形认识初步”中的直线、射线、线段、角，还有相交线与平行线、三角形、全等三角形，还将要学习四边形、相似形、圆等，几何变换已经学过平移、轴对称，初三还要学旋转.

引导学生画图、识图、观图,进而培养空间想象能力和思维能力.41七年级上册以实验几何为主逻辑推理证明的渗透和准备阶段七年级下册八年级实验几何过渡到论证几何的关键阶段发展学生的画图、识图能力八年级上册几何部分的整体认识三角形是推理证明的起始内容，四边形是推理证明的巩固和提高内容，是论证几何的精华，本学期要让学生掌握综合法的格式并学会描述.3.2几何部分3.2几何部分3.2.1基本图形及变换3.2.2画图与尺规作图3.2.3三种语言的互化423.具体建议3.2几何部分3.具体建议3.2.1基本图形及变换

角平分线模型433.2几何部分3.具体建议

角平分线模型44抓住特征：对称性（1）过一点向角两边作垂线；（2）沿角平分线将角对折；3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议

角平分线模型453.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议

角平分线模型【模型一】夹角模型例1.P17第9题例2.P29第11题463.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议

角平分线模型47【模型一】夹角模型3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议48

角平分线模型3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议49

角平分线模型3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议50

角平分线模型3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议51

角平分线模型3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议52

角平分线模型【模型二】角平分线+垂线3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议53

角平分线模型【模型三】角平分线+平行线3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议54

角平分线模型【模型三】角平分线+平行线3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议55

角平分线模型变式1：求证：BD:CD=AB:AC.三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与该角的两邻边对应成比例.（早期人教版内容）面积法相似

过点D作DE∥AC交AB于E3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议56

角平分线模型【模型四】对称性方法一：图中有角平分线，可向两边作垂线．方法二：图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议57

角平分线模型【模型四】对称性3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议58

角平分线模型【模型四】对称性3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议59

角平分线模型【模型四】对称性3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议60

角平分线模型【模型四】对称性方法：过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可求解.3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议61

角平分线模型【模型四】对称性方法一：过点E作EF⊥BC于F.（模型四：对称性）方法二：延长DE交线段AB延长线于点M.（模型三：角平分线+平行线）方法三：过点E作EN∥AB交AD于点N.

（模型三：角平分线+平行线）3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议62

角平分线模型【模型四】对称性3.2.1基本图形及变换怎么讲？SSS,SAS,ASA全等三角形的判定画图、测量、实验、

分析、归纳、应用AAS证明、应用HL画图、证明、应用综合应用3.2几何部分3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议64

全等三角形1.基本变换(1)平移变换(2)对称变换(3)旋转变换(4)复合变换图形变式3.2.1基本图形及变换

全等三角形中的基本图形，也是四边形中非常重要的基本图形，若对此图实施基本变换（平移、翻折、旋转），便得到一串基本图形和常见问题。图形变式3.2几何部分3.具体建议653.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议66

三角形全等2.几种典型形式典型图13.2.1基本图形及变换典型图23.2几何部分67

三角形全等2.几种典型形式3.2.1基本图形及变换3.2几何部分68

三角形全等2.几种典型形式3.具体建议典型图33.2.1基本图形及变换P52第7题图活动：请同学们用手中的彩色直角三角形纸片，摆图形，并把摆好的图形贴在白纸上，标上图形序号，写上制作者的姓名。要求：（1）每个图形中必须用且只用一对全等的直角三角形（不等边）(最好色彩不同）；（2）摆出的图形中，两个直角三角形必须有一条公共边。学生：按研究小组合作探究（六人一组，分工合作）69摆放图形探究问题3.2几何部分3.2.1基本图形及变换703.2几何部分3.2.1基本图形及变换摆画图形：制作一对全等的直角三角形纸片，用这对全等的直角三角形按下列位置摆一摆，并画出图形。713.2几何部分3.2.1基本图形及变换3.2几何部分723.2.1基本图形及变换中线高角平分线733.2几何部分3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议74

全等三角形3.三角形全等常见模型【模型一】“手拉手”模型——旋转变换△ABC和△AEF都是等腰三角形，且∠EAF=∠BAC，则△AEB≌△AFC.例14.（八上P55第3题）如图，CA=CD，∠1=∠2，BC=EC.求证：AB=DE.3.2.1基本图形及变换3.2几何部分3.具体建议75

全等三角形3.三角形全等常见模型【模型一】“手拉手”模型——旋转变换△ABC和△AEF都是等腰三角形，且∠EAF=∠BAC，则△AEB≌△AFC.△ABC是等边三角形，D是AB中点，E是CD上一动点，以AE为边作等边三角形AEF，求DF的最小值.3.2.1基本图形及变换

全等三角形3.三角形全等常见模型【模型一】“手拉手”模型——旋转变换3.2几何部分例15.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD3.2.1基本图形及变换76例15.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD

变式1：以上条件不变，将△ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论还成立吗？

全等三角形3.三角形全等常见模型【模型一】“手拉手”模型——旋转变换3.2几何部分从运动的角度看问题，由静态提升到动态3.2.1基本图形及变换773.具体建议783.具体建议79多题归一3.2几何部分3.2.1基本图形及变换图形变式等边变等腰等边变正方形两个变三个等边变正方形课本P33,第5题3.2几何部分3.具体建议803.2.1基本图形及变换若把基本图形变成平行四边形3.2几何部分3.具体建议813.2.1基本图形及变换图形变式3.具体建议823.具体建议83

全等三角形3.三角形全等常见模型【模型一】“手拉手”模型——旋转变换(2)如图（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—7），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(a≠b，k>

0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图6为例简要说明理由图4图5图63.2几何部分3.2.1基本模型3.具体建议84

全等三角形3.2几何部分3.2.1基本模型例18.（2016•龙岩24）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB=EC.(填“＞”，“＜”或“=”）（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0˚＜α＜180˚）到图2位置，则(1)中的结论还成立吗？若成立,请给予证明;若不成立，请说明理由．（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．(PE2+AE2=AP2，∠BPC=∠CEA=135°)3.三角形全等常见模型【模型一】“手拉手”模型——旋转变换3.具体建议85

全等三角形3.2几何部分3.2.1基本模型3.三角形全等常见模型【模型一】“手拉手”模型——旋转变换例18.（2106•龙岩24）3.具体建议863.2几何部分3.2.1基本模型

全等三角形3.三角形全等常见模型【模型一】“手拉手”模型——旋转变换3.具体建议873.2几何部分3.2.1基本模型

全等三角形3.三角形全等常见模型【模型一】“手拉手”模型——旋转变换例19.（2106•南平25）3.具体建议883.2几何部分3.2.1基本模型例20.（2016•泉州20）如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB．

全等三角形3.三角形全等常见模型【模型一】“手拉手”模型——旋转变换3.具体建议893.2几何部分3.2.1基本模型例21.（2016•三明25）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点.（1）求证：BD=CE；（4分）

(△ADB≌△AEC)（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，①当∠EAC=90°时，求PB的长；

(△PEB∽△AEC)②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值.（4分）

全等三角形3.三角形全等常见模型【模型一】“手拉手”模型——旋转变换3.具体建议903.2几何部分图形与例5类似3.2.1基本模型

全等三角形3.三角形全等常见模型【模型一】“手拉手”模型——旋转变换3.具体建议913.2几何部分3.2.1基本模型

全等三角形3.三角形全等常见模型【模型一】“手拉手”模型——旋转变换3.2几何部分3.具体建议3.2.1基本模型92

全等三角形3.三角形全等常见模型【模型一】“手拉手”模型——旋转变换例23.（2014•宁德25）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90

，AB=AC，在BC的同侧作任意Rt△DBC，∠BDC=90

．（1）若CD=2BD，M是CD中点（如图1），求证：△ADB≌△AMC；（2）若CD＜BD（如图2），在BD上是否存在一点N，使得△ADN是以ＤN为斜边的等腰直角三角形？若存在，请在图2中确定点N的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由；（3）当CD≠BD时，线段AD，BD与CD满足怎样的数量关系？请直接写出．3.2几何部分3.具体建议3.2.1基本模型93

全等三角形3.三角形全等常见模型【模型一】“手拉手”模型——旋转变换例23.（2014•宁德25）图1ABCDMO

图2ABCDON

3.2几何部分3.具体建议3.2.1基本模型94

全等三角形3.三角形全等常见模型【模型一】“手拉手”模型——旋转变换例24.（2014•龙岩）如图，△ABC中，∠B=70°，则∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE=

50°．例25.（2016•北京海淀九上）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．

3.2几何部分3.具体建议95例27.（2011•山东临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G.（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a,BC=b，求

的值.3.2.1基本模型

全等三角形3.三角形全等常见模型【模型一】“手拉手”模型——旋转变换3.具体建议96例27.（2011•山东临沂）3.2几何部分3.2.1基本模型

全等三角形3.三角形全等常见模型【模型一】“手拉手”模型——旋转变换97图1

图2

98图1

图2

3.2几何部分3.具体建议3.2.1基本模型99

全等三角形3.全等模型【模型三】“一线三等角”模型——复合变换例29.（2016•漳州25）现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC,CD交于点M,N.（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是

；（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？（4）如图4是点O在正方形外部的一种情况.当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论.（不必说理）3.2几何部分3.具体建议3.2.1基本模型100

全等三角形3.全等模型【模型三】“一线三等角”模型——复合变换3.1几何部分3.具体建议3.1.1基本模型101

全等三角形3.全等模型【模型二】“半角”模型——旋转变换

3.1几何部分3.具体建议3.1.1基本模型102

全等三角形3.全等模型【模型二】“半角”模型——旋转变换

3.2几何部分3.具体建议3.2.1基本模型103

全等三角形3.全等模型【模型三】“一线三等角”模型——复合变换3.2几何部分3.具体建议3.2.1基本模型104

全等三角形3.全等模型【模型三】“一线三等角”模型——复合变换例31.（2014•龙岩期中）如图1，在△ABC中，∠ACB=90˚，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF=AE+BF．

（2）如图2，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下三种可能的位置时，EF、AE、BF三者之间的数量关系．（直接填空）

①当AD＞BD时，关系是：______．

②当AD=BD时，关系是：______．

③当AD＜BD时，关系是：______．

3.2几何部分3.具体建议3.2.1基本模型105

全等三角形3.全等模型【模型三】“一线三等角”模型——复合变换3.2几何部分3.具体建议3.2.1基本模型106

全等三角形3.全等模型【模型三】“一线三等角”模型——复合变换例32.如图所示，点E，D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以点C为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点.

（1）求图①中，∠APD的度数；

（2）图②中，∠APD的度数为_______;

图③中，

∠APD的度数为_______；

（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。3.2几何部分3.具体建议3.2.1基本模型107

全等三角形3.全等模型【模型三】“一线三等角”模型——复合变换例33.如图所示，点E，D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以点C为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE=CD，DB的延长线交AE于P点.

（1）求图①中，∠APD的度数；

（2）图②中，∠APD的度数为_______;

图③中，

∠APD的度数为_______；

（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。动态几何问题：以运动的观点探究几何图形的变化规律问题,研究几何图形的位置、数量关系的“变”与“不变”.1.动态几何问题的解题关键是：在运动过程中找出变化的量与不变的量

；2.动态问题的基本解题方法：

(1)动中觅静：在图形的运动变化中探求问题中的不变量；(2)动静互化：有些问题是求最值或者形成的特殊几何图形，其实就是在运动变化的过程中，从在某些特殊位置形成的特殊图形或特殊的数量关系入手，进而探索出一般的结论.动静互化就是抓住静的瞬间，把一般问题转成为特殊情况，从而找到“动”(变）和“静”（不变）的辩证关系.1083.具体建议109动态几何特殊化拓展探究一般化类比联系从特殊到一般从形内到形外从线段到直线从条件到结论3.2几何部分1.能用尺规完成以下基本作图：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作已知角的平分线；(4)作一条线段的垂直平分线；(5)过一点作已知直线的垂线.2.会利用基本作图作三角形：(1)已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；(2)已知底边及底边上的高线作等腰三角形；(3)已知一直角边和斜边作直角三角形.1103.几何专题3.具体建议3.2.2画图与作图尺规作图1.第36页已知三边作三角形2.第36页作一个角等于已知角3.第37页已知两边及其夹角作三角形4.第39页已知两角及其夹边作三角形5.第42页已知一条直角边和斜边作直角三角形6.第48页作已知角的平分线7.第62页过已知点作已知直线的垂线8.第63页作一条线段的垂直平分线9.第78页已知底边和底边上的高作等腰三角形按序说理作图结果作图语言呈现问题作图方法尺规作图呈现位置1113.2几何部分3.2.2画图与作图112例1.画三角形的高3.2几何部分画图，仅用无刻度的直尺过点O画△BCO的高.3.2.2画图与作图113例2.（2016•江西九年级）如图，等边△ABC和等边△ECD的边长相等，BC与CD两边在同一直线上，请根据如下要求，使用无刻度的直尺，通过连线的方式画图．（1）在图1中画出一个直角三角形．（2）在图2中过点C画BD的垂线．3.2.2画图与作图3.2几何部分利用对称性114例2.（2016•广西贵港）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中线．（1）用无刻度的直尺画出△ABC的高CH（保留画图痕迹）；（2）求△ACE的面积．3.2.2画图与作图3.2几何部分

利用对称性115三角形的高交于一点3.2几何部分3.2.2画图与作图1163.2.2画图与作图3.2几何部分例3.（2013•江西）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．117三角形的高例4.（2016•漳州8）

下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是ABCD3.2.2画图与作图3.2几何部分118三角形的角平分线3.2几何部分3.2.2画图与作图1193.具体建议1.人教版八上P51第1题三角形的角平分线3.2.2画图与作图3.2几何部分120三角形的角平分线例5.设计用刻度尺作角平分线的方法（画出图形，写出画图步骤，不予证明）．3.2几何部分3.2.2画图与作图121例6.

（2012•北京昌平八年级）作图题（要求：画出图形，保留作图痕迹，并简要说明画法，不要求证明）．已知∠AOB及其内部一点P.（1）如图1，若点P在∠AOB的角平分线上，请你在图1中过点P作直线，分别交OA、OB于点C、D，使△OCD为等腰三角形，且CD是底边；（2）若点P不在∠AOB的角平分线上（如图2），请你在图2中过点P作直线，分别交OA、OB于点C、D，使△OCD为等腰三角形，且CD是底边.33.2.2画图与作图3.2几何部分1223.具体建议例6.

（2012•北京昌平八年级）3.2.2画图与作图3.2几何部分1233.具体建议例7.

（2015•福州市8）如图，C、D分别是线段AB、AC的中点，分别以点C、D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A.80°B.90°C.100°D.105°3.2.2画图与作图3.2几何部分1243.具体建议例8.

（2016•泉州26）3.2.2画图与作图3.2几何部分3.2几何部分1251253.具体建议P76性质13.2几何部分1261263.具体建议1.等腰三角形两底角相等2.等角对等边；3.等腰三角形两腰上的高相等；4.等腰三角形两腰上的中线相等；5.等腰三角形两底角平分线