第一课二次根式例题

2023/12/28第一课二次根式例题解题技巧一读关键词：二次根式，分式，取值范围二联重要结论：分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.重要方法：逻辑分析三解解：四悟掌握分式和二次根式有意义的条件是解决此类问题的关键.(1)由题意得例1.求下列二次根式中字母x的取值范围：(2)由题意得(3)由题意得(4)由题意得举一反三思路分析:

（1）根据二次根式有意义的条件可得5x+4≥0，再解即可；（2）根据二次根式和分式有意义的条件可得2x﹣1＞0，再解即可；（3）根据二次根式有意义的条件可得2x﹣1≥0，再解即可；（4）根据二次根式有意义的条件可得2x﹣1≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．求下列各式中字母的取值范围：失误防范二次根式：二次根式中的被开方数必须是非负数，分式分母不能为0例2.解下列各题：(1)若成立，则x的取值范围为______.(2)若，则a的取值范围为______.重点中学与你有约解题技巧一读关键词：二次根式，二次根式的性质二联重要结论：根据二次根式性质的适用范围列出不等式求解.重要方法：逻辑分析三解解：四悟掌握分式和二次根式的性质的适用范围是解决此类问题的关键.例2.解下列各题：(1)若成立，则x的取值范围为______.(2)若，则a的取值范围为______.(1)由题意得(2)举一反三思路分析:

此题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a的取值范围；再根据a的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．已知

，则a﹣20072的值是多少．失误防范二次根式的性质：例3.已知是整数，求自然数n的值.重点中学与你有约解题技巧一读关键词：二次根式，整数，自然数二联重要结论：判断被开方数为完全平方数时，先确定取值范围，再探究二次根式的取值.重要方法：逻辑分析三解解：四悟灵活应用二次根式的性质是解决此类问题的关键.又因为n是自然数，例3.已知是整数，求自然数n的值.解得n=17或16或13或8或1故自然数n的值为1或8或13或16或17举一反三已知是整数，求自然数n的值.思路分析:

因为

为整数，所以被开方数（24﹣3n）是完全平方数，据此来求自然数n的值．失误防范二次根式的应用：当被开方数为完全平方数时，应先确定去取值范围，再探究二次根式为整数时字母的取值，一般通过列方程求解.例4.化简下列各式：(1)______.(2)若a,b,c为三角形的三边,则____.重点中学与你有约解题技巧例4.化简下列各式：(1)______.(2)若a,b,c为三角形的三边,则____.一读关键词：二次根式，三角形边角关系，化简二联重要结论：利用二次根式的性质把根号去掉再利用绝对值的性质求解.重要方法：逻辑分析三解解：四悟注意二次根式性质的适应条件和题目中的隐含条件.(1)由题意得(2)因为a,b,c为三角形的三边，举一反三化简：

，并任选一组你认为合适的x、y的值代入求值．思路分析:利用二次根式的性质即可求出答案.失误防范二次根式性质的应用：在运用二次根式的性质对根式进行化简时，一定要注意性质的适用条件，不能混淆；在解题时同时到注意到隐含条件.例5.已知x,y为实数，且满足重点中学与你有约解题技巧一读关键词：x,y为实数，x,y的关系，求值.二联重要结论：二次根式，绝对值.重要方法：分析计算三解解：由题意得四悟掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键.5.已知x,y为实数，且满足已知x、y为实数，且举一反三思路分析:

根据二次根式有意义的条件可得

解不等式组可得x的值，进而可算出y的值，然后代入x、y的值，可得

的值．答案：由题意得：解得：x=2，则y=1，失误防范二次根式有意义的条件：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

例6.若实数a,b,c满足等式

则c可能取的最大值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3重点中学与你有约解题技巧一读关键词：实数a,b,c，满足等式，求最大值.二联重要结论：二次根式，绝对值.重要方法：分析计算三解解：∴c的最大值为2.故选C.四悟利用二次根式和绝对值的非负性是解题的关键.6.若实数a,b,c满足等式

则c可能取的最大值为（

）A．0B．1C．2D．3已知实数a满足|2005﹣a|+=a，求a﹣20052的值．举一反三思路分析:

根据二次根式有意义的条件求出a的范围，计算即可．答案：由题意得，a﹣2006≥0，解得，a≥2006，则a﹣2005|+=a，解得，a=20052+2006，则a﹣20052=2006．失误防范非负数：在实数范围内，非负数是指零和正数：绝对值、算术根、一个实数的偶次幂（底数不为零）都是非负数.例7.重点中学与你有约解题技巧一读关键词：x,y,z为未知数，满足等式，求值.二联重要结论：二次根式性质.重要方法：分析计算三解解：原式可化为四悟用配方法将式子变成几个非负数的和等于零的形式是解题的关键.由题意可知x≥0，y+1≥0,z-1≥0,故有7.若x、y为实数，且举一反三思路分析:

先根据二次根式及分式有意义的条件求出x的值，进而可得出y的值，代入代数式进行计算即可．答案：∵x、y为实数，且∴x2﹣4≥0且4﹣x2≥0，∴x2﹣4=0，解得x=±2．∵x是分母不能为0，∴x=﹣2不合题意，∴x=2，∴y=失误防范1.非负数的性质：若有限个非负数的和为零，则每个非负数