机械控制工程基础 课件 第二章 控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型第一节概述第二节控制系统的微分方程第三节拉氏变换与反变换第四节利用拉氏变换解微分方程第五节传递函数第六节

系统方框图及其简化核心要点：了机电系统的微分方程的建立和求解；掌闭环传递函数的推导和计算；

掌系统方框图的变换与化简；

第一节概述

数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。数学模型的主要形式：数学模型微分方程传递函数频率特性结构框图信号流图复域时域LL-1频域S=jwUi(S)U0(S)1/RR1CSR2I1(S)I2(S)I(S)+-U0(S)+

建立数学模型的方法：解析法：根据机电系统所依据的物理定律建立运动方程，例如：电路中的基尔霍夫电路定律，力学中的牛顿定律，热力学中的热力学定律等。实验法：给系统施加典型输入信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。

（一）机械系统

机械系统分为平动系统和旋转系统，其数学模型的建立主要应用牛顿定律来建立。一、机械系统的微分方程第二节

系统的微分方程

1、机械平动系统平动即直线运动，其主要元件为质量、弹簧、阻尼器。mf(t)x(t)质量Kf(t)x1(t)x2(t)f(t)弹簧Cf(t)x1(t)x2(t)f(t)阻尼主要元件的力学特性例2.1求弹簧-阻尼-质量机械平移系统的微分方程，输入量为外力f(t)，输出量为位移x(t)。mCmf(t)根据牛顿定律：二阶常系数线性微分方程，它描述了输入外力f（t）与输出位移x(t)之间的动态关系。f(t)2、机械旋转系统

旋转机械系统用途极其广泛，其建模方法与平移系统非常相似。只是将平移的质量、弹簧、阻尼器分别变成了转动惯量、扭转弹簧和旋转阻尼。例2.2扭矩T作用下的机械转动系统，试写出其微分方程。其中扭矩为T，转动惯量为J，转角为θ，回转粘性阻尼系数为BJ，扭转弹簧刚度为KJ。BJKJJ

机械系统和电气系统具有相同的数学模型，所以这些物理系统称为相似系统。（即电系统为机械系统的等效网络）物理结构和工作原理不同的系统可有相似的数学模型，同一数学模型可以描述不同的系统。我们可以利用简单易实现的系统（如电的系统）去模拟其它难于实现的系统（机械系统）......总结规律：三、建立微分方程的步骤

分析系统的工作原理，确定输入量和输出量；将系统分解为若干环节，建立各环节输入量、输出量之间的动态联系。消去中间变量，求出系统的微分方程。标准化微分方程。输入量—右端，输出—左端；降幂排列。四、非线性微分方程的线性化

线性系统x1(t)x2(t)y2(t)y1(t)

线性系统ax1(t)++bx2(t)ay1(t)+by2(t)线性化方法：

小偏差法或切线法。只要变量的非线性函数在工作点处有导数或偏导数存在，就可以将非线性函数展开成泰勒级数，分解成这些变量在工作点附近的小增量的表达式，然后略去高于一次的小增量项，就可获得近似的线性函数。略去高次项，线性化方程：写成增量式方程：

1、具有单一输入的非线性函数y=f(x)在工作点A（x0，y0）附近的泰勒级数：2、具有两个输入的非线性函数y=f(x1，x2)在工作点（x10，x20）的线性化方程：写成增量式：

式中：y0=f(x10，x20)为系统静态方程；第三节

拉氏变换与反变换1、定义若f(t)为变量t的单值函数，且t<0时，f(t)=0，t≥0时，f(t)在任一有限区间上连续或分段连续，则函数f(t)的拉氏变换定义为：拉氏反变换为：2、典型函数的拉氏变换（1）单位阶跃函数（2）单位脉冲函数因为（3）单位斜坡函数（4）指数函数（5）单位加速度函数（6）正弦函数由欧拉公式（7）余弦函数由欧拉公式3、典型函数拉氏变换表序号典型函数拉氏变换123456784、拉氏变换主要定理（1）线性定理L[K1f1(t)+K2f2(t)]=K1F1(s)+K2F2(s)（2）平移定理L[e-atf(t)]=F(s+a)（3）延时定理（4）终值定理（5）初值定理（6）卷积定理（7）微分定理：求函数f(t)的各阶导数的拉氏变换若函数f(t)及各阶导数在t=0时刻的值，即在零初始条件下，则函数f(t)的各阶导数的拉氏变换为：……（8）积分定理：求函数f(t)积分的拉氏变换

当初始条件为0时，即函数f(t)的多重积分的拉氏变换：4、拉氏变换主要定理表序号定理原函数拉氏变换1线性叠加2平移3延时4终值5初值6微分7积分8卷积第四节利用拉氏变换解微分方程

采用部分分式展开法将复变函数展开成有理分式函数之和，再由拉氏变换表分别查出对应的反变换函数，即得所求的原函数f(t)。1.F(s)的极点为各不相同的实数象函数F(s)是s的有理代数式，可表示为：把分母因式分解，并展开成部分分式Ai是待定系数，它是s=pi处的留数，其求法为：

根据拉氏变换的线性定理，可求得原函数为：例1求原函数（1）展开成部分分式（2）求待定系数Ai（3）反拉氏变换2、F(s)含有共轭复数极点F(s)有一对共轭复数极点p1，p2，其余极点均为各不相同的实数，则F(s)展开成部分分式为待定系数A1，A2按照如下方法求解令等号两边的实部和虚部分别相等，即可求得A1，A2例2求原函数（1）展开成部分分式（2）求待定系数Ai求A1，A2，令带入待定系数，解出像函数F（s）（3）反拉氏变换3、F(s)含有重极点F(s)有r个重极点，A(s)=0有r个重根p0A01，A02……，A0r的求法如下例3求原函数（1）展开成部分分式（2）求待定系数Ai带入待定系数，解出像函数F（s）（3）反拉氏变换例4已知微分方程解：（1）分别对方程的两边进行拉氏变换（2）展开成部分分式（3）求待定系数Ai，并带入方程（4）反拉氏变换例5已知微分方程解：（1）带入初值，分别对方程的两边进行拉氏变换（2）展开成部分分式（3）求待定系数Ai，并带入方程（4）反拉氏变换4、初始值不为零小结：利用拉氏变换求解微分方程分4种类型：初值不为0F(s)的极点为各不相同的实数F(s)含有共轭复数极点F(s)含有重极点第五节传递函数传递函数的功能：

传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一，利用传递函数可以：不必求解微分方程就可以研究零初始条件下，系统在输入作用下的动态响应过程；了解系统参数或结构变化时对系统动态过程的影响；可以把对系统性能的要求转化为对传递函数的要求；4.1传递函数的概念1、定义：线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。线性定常连续系统的微分方程为令系统的初始状态为零，对微分方程做拉氏变换用方框图表示：传递函数的一般形式G(s)Xi(s)Xo(s)2.传递函数的零点与极点通常将系统传递函数的一般形式写成：D(s)=0为系统的特征方程，其根称为系统的特征根；M(s)=0的根，即s=zi（i=1,2,…,m），称为传递函数的零点；D(s)=0的根，即s=pj（j=1,2,…,n），称为传递函数的极点；说明：（1）传递函数只适用于零初始条件下，单输入单输出的线性定常系统；传递函数与系统的初始条件无关，与输入无关，仅与系统的结构和参数有关，。故传递函数完全取决于系统的结构参数，反映系统本身的固有特性；（2）传递函数不能反映系统或元件的物理性质。物理性质不同的系统可能具有完全相同的传递函数。即传递函数可以描述具有不同物理性质的多个系统。例1：求电枢控制式直流电动机的传递函数。[解]已知电动机的微分方程为：方程两边求拉氏变换为：令，得到转速w对电枢电压Ua的传递函数：令，得到转速w对负载力矩mc的传递函数：最后利用叠加原理得到电机的转速表示为：4.2典型环节及其传递函数

具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节，经常遇到的环节称为典型环节；任何复杂系统都可看做由一些典型环节组成，利用典型环节给建立数学模型、研究系统特性非常方便，使问题简化。控制系统中常见的典型环节有：比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、延迟环节。以下分别介绍典型环节的时域特性和传递函数。KXo(s)Xi(s)z1noz2ni

()tui()tuo

2R

1R

1、比例环节：输出量以一定的比例复现输入量，不失真不滞后的环节。微分方程：传递函数：方框图：无间隙无变形齿轮传动副运算放大器Xo(s)Xi(s)2、积分环节：输出量与输入量的积分成比例的环节。微分方程：传递函数：传递函数有一个极点为0。T称为时间常数。特点：输出量取决于输入量对时间的积累过程，输入量作用一段时间后，输出达到期望值，有储能特性和滞后作用。

积分环节实例：积分器①RC图中，为转角，为角速度。

为比例环节

为积分环节②电动机（忽略惯性和摩擦）齿轮组T=RC，为时间常数例：微分电路TDsXi(s)Xo(s)3、微分环节：输出量与输入量的微分成比例的环节。RuiCiuo微分方程：传递函数：当RC<<1时Xi(s)Xo(s)4、惯性环节：输出量与输入量之间能用一阶线性微分方程描述的环节。微分方程：传递函数：

K为放大系数，T为时间常数特点：当输入量突然变化时，输出量不能立即跟随，而是按照指数规

律逐渐变化，所以响应具有较大的惯性，滞后作用较大。k=1，输入为单位阶跃函数通过原点的切线斜率为1/T，S平面只有一个极点s=-1/T。1yt00.632T1/TjRe0S平面时间响应曲线与零极点分布：惯性环节实例RCT=RC，为时间常数R2C-+R1①②Xi(s)Xo(s)5、振荡环节：输出量与输入量之间能用二阶线性微分方程描述的环节。特点：振荡环节含有两个储能元件，且所储存的能量能够互相转换，

从而导致输出带有振荡的性质。微分方程：传递函数：K为比例系数T为时间常数ξ为阻尼比常用的标准形式：有阻尼固有频率y(t)t0单位阶跃响应曲线极点分布图（1）当0<ξ<1时，其单位阶跃响应曲线是衰减振荡的；传递函数具有一对实部为负的共轭复数极点,此时的二阶系统称为振荡系统。（2）当ξ≥1时，二阶系统由两个惯性环节串联而成，传递函数具有2个实数极点，其单位阶跃响应曲线是单调上升的；时间响应曲线与零极点分布：振荡环节实例①②6、一阶微分环节：TDs+1Xi(s)Xo(s)7、二阶微分环节：Xi(s)Xo(s)微分方程：传递函数：微分方程：传递函数：txo(t)0xi(t)※延迟环节与惯性环节的区别：

惯性环节从输入开始时就有输出，由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所期望的输出值；延迟环节从输入开始时，在0～τ时间内没有输出，在t=τ之后，输出完全等于输入。Xi(s)Xo(s)8、延迟环节：输入量作用时，输出量经过延时τ后，才能不失真的复现输入。微分方程：传递函数：传递函数的标准形式：1．首1标准型（零、极点形式）2．尾1标准型（典型环节形式）典型环节传递函数列表第六节系统方框图及其简化5.1系统方框图的组成方框图也是描述系统的一种数学模型，是系统动态特性的图解形式。X(S)信号线相加点X2(S)X3(S)X1(s)_+方框G(s)X2(S)Xi(S)

分支点X3(S)X2(S)X1(S)1、系统方框图的结构要素5.2方框图的连接形式⑴

串联连接⑵

并联连接⑶

反馈连接1/R1R1CsR2+-例题1：利用系统方框图化简求闭环传递函数Step1:串联环节等效变换.1/R1R1CsR2+-Step2:并联环节等效变换.1/R11+R1CsR2-Step3:串联环节等效变换.（1+R1Cs）R2/R1-Step4:反馈环节等效变换.Step5:写出传递函数表达式5.3方框图的等效变换

思路：通过变换比较点和引出点的位置来消除方框之间的交叉连接，变换中主要掌握如下两点：①前向通道中各传递函数的乘积不变；②反馈回路中传递函数的乘积不变；

通过等效变换将方框图变换成具有串联，并联和局部反馈连接的结构图，最终通过化简变换为输入量对输出量的一个方框。3、相加点前移—除4、相加点后移—乘5、2个相加点移动规则-服从交换与结合规律6、2个分支点移动规则-服从交换与结合规律注意：不同类型的点不服从交换与结合规律例题2：利用系统方框图化简求闭环传递函数Step1:分支点①前移①②①Step2:并联化简，相加点②前移②Step3:化简反馈，化简串联Step4:化简反馈Step5:化简反馈写出传递函数表达式方框图化简步骤小结：

确定输入量和输出量；若结构图中有交叉连接，应运用等效变换规则，首先将交叉连接消除，化为无交叉的多回路结构；对多回路结构，可由内向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。※注意事项：有效输入信号所对应的相加点尽量不要移动；避免相加点和分支点之间的移动。5.4系统方框图的建立

对