19.1 命题和几何证明（原卷版）

19.1命题和证明1.理解演绎证明的含义及因果关系的表述，体会演绎证明是一种严格的数学证明2.知道定义、命题、真命题、假命题公理定理等概念,体会定义、命题、公理、定理等之间的区别与联系3.了解命题的构成，能初步区分命题的题设和结论,会把命题改写成“如果...,那么...”的形式4.知道证明一个命题的一般过程,知道证明一个命题为假命题只要举一个反例知识点一演绎证明1演绎证明的概念从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则,推导出某结论为正确的过程叫演绎证明演绎证明不用想的太过复杂，它只是一种严格的数学证明,七年级学习额的平行线、三角形全等证明一样，核心是由因为推出所以，每一句推理有理有据，本书中的演绎证明简称证明注意：①证明中的每一步推理都要有依据,不能想当然②具体问题具体分析，并不是所有真理都可以进行演绎证明2.证明几何问题的方法(1)综合法:由题设逐步推导到结论的一种证明方法(2)分析法:由结论逐步追溯到题设的一种方法提示：①几何证明时,一般先用分析法找到思路,然后改用综合法写出证明过程②在几何证明中,有时需要添加辅助线,添加辅助线的过程要在证明过程中写出来，交代清楚，辅助线通常画虑线即可(3)证明过程中,前一段的“果”为后一段提供了“因”,一连串连贯有序的因果关系组成了完整的证明即学即练1（2022秋·上海闵行·八年级上海市实验学校西校校考期中）如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC，求证：BC∥EF．

知识点二定义、命题、真命题及假命题的概念1.定义:能界定某个对象含义的子叫做定义2.命题：判断一件事情的句子叫做命题注意：(1)命题必须是一个完整的句子,通常是一个陈述句或否定句，问句、祈使句、感叹句都不是命题;问句、祈使句、感叹句都不是命题;问句、祈使句、感叹句都不是命题！(2)命题是判断性语句，必须是对某件事情作出肯定或否定的判断3.真命题：判断为正确的命题叫做真命题注意：判断一个命题是真命题,往往需要从命题的题设出发,通过证明步一步推得结论成立.4.假命题:判断为错误的命题叫做假命题5.[补充]反例:符合命题的题设，但不符合命题结论的例子称为反例.判断一个命题是假命题,通常只要举出反例即可如何判断命题真假？判断命题的真假，关键在于题设成立的前提下,看结论是否正确,可先举“特例”验证,特例成立,还不能说明命题为真命题，要将特殊形式转化成一般形式,用推理的方法说明结论正确;若特例不成立,则命题一定是假命题.即学即练1（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）用①；②；③三个不等式中的两个作为题设，另一个作为结论的命题中，真命题是：A．若①②，则③ B．若①③，则②C．若②③，则① D．以上都不是真命题即学即练2（2023秋·上海闵行·八年级统考期中）下列命题中，真命题的是（

）A．两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直B．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C．三角形的一个外角等于两个内角的和D．等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形知识点三命题的结构数学命题通常由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项这样的命题可以写成“如果…,那么…”的形式.用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论注意：存在一些命题的题设和结论不是很分明，我们可以先把命题改写成“如果…,那么…”的形式,这样就更加清楚地找出命题的题设和结论.即学即练（2022秋·上海·八年级专题练习）请写出“两直线平行，同位角相等”的结论：．知识点四公理和定理的概念1.公理:人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理2.定理:从公理或其他真命题出发,用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.定理是需要证明的.即学即练1（2022秋·八年级课前预习）下面关于公理和定理的联系，说法不正确的是（

）A．公理和定理都是真命题B．公理就是定理，定理也是公理C．公理和定理都可以作为推理论证的依据D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明即学即练2（2022秋·八年级课前预习）在证明过程中可以作为推理根据的是（

）A．命题、定义、公理 B．定理、定义、公理C．命题 D．真命题题型1判断是否是命题例1（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）下列语句中哪句话是定义（

）A．联结A、B两点. B．等角的余角相等吗？C．内错角相等，两直线平行. D．整数与分数统称为有理数.举一反三1（2022秋·上海·八年级专题练习）下列语句中，不是命题的是（

）A．如果，那么、互为相反数B．同旁内角互补C．作等腰三角形底边上的高D．在同一平面内，若，则举一反三2（2022秋·上海·八年级专题练习）下列语句不是命题的是（

）A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两点之间线段最短C．延长AB到D，使 D．等角的补角相等题型2判断命题真假例2（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）下列命题是真命题的是（

）A．同旁内角相等，两直线平行 B．钝角没有余角C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．若，则举一反三1（2019秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考阶段练习）下列命题是真命题的是（

）A．顶角相等的两个等腰三角形全等B．底角相等的两个等腰三角形全等C．底角、顶角分别相等的两个等腰三角形全等D．两角一边对应相等的两个等腰三角形全等举一反三2（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）下列命题是真命题的是（

）A．三角形的外角大于它的任何一个内角B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．等腰三角形一边上的中线也是这边上的高D．等边三角形是轴对称图形题型3写出命题的题设与结论例3（2023秋·上海普陀·八年级校考期中）把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是．答题区：___________________________________________________________________举一反三1（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）把命题“同角的补角相等”改写为“如果……，那么……”的形式，如果那么．答题区：___________________________________________________________________举一反三2（2020秋·上海普陀·八年级统考期中）把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果...，那么...”的形式：．答题区：___________________________________________________________________题型4写出一个命题的已知求证及证明过程例4（2023秋·福建厦门·八年级厦门一中校考阶段练习）证明命题“全等三角形的对应角角平分线相等”是真命题．（请补全图形、填空并证明）

已知：如图________和分别是和的平分线．求证：_________．证明：举一反三1（2020秋·福建福州·八年级校考期中）求证：等腰三角形两腰上的高相等．(1)画出适合题意的图形，并结合图形写出已知和求证．(2)给出证明．举一反三2（2023秋·浙江·八年级专题练习）证明：平行于同一条直线的两条直线平行．已知：____________．求证：____________．证明：一、单选题1．（2023春·全国·七年级专题练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程：①因为（已知）；②因为，（已知）；③所以，（等式的性质）；④所以（等量代换）；⑤所以（等量代换）．正确的顺序是(

)A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④2．（2023春·上海·八年级上外附中校考期末）下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．（2023春·上海浦东新·七年级校考期末）下列命题错误的是（

）A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B．一条斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等C．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等D．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等4．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）下列命题中真命题是（

）A．有一个角对应相等的两个等腰三角形是全等三角形B．有三个角对应相等的两个三角形全等C．有一个角和一腰对应相等的两个等腰三角形全等D．顶角和底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等5．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）下列命题中，真命题是（

）A．面积相等的两个三角形全等B．三角形外角大于三角形的内角C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直D．等腰三角形两边上的中线相等二、填空题6．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）把命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是．7．（2022秋·上海普陀·八年级统考期中）命题全等三角形的对应角相等改写成如果…那么…的形式是．8．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…那么…”的形式．9．（2022秋·上海·七年级专题练习）可以作为“两个无理数的和仍为无理数”的反例的是．10．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）命题“同旁内角相等，两直线平行”是（填“真”或“假”）命题﹒三、证明题11．（2023秋·浙江·八年级专题练习）证明：直角三角形的两个锐角互余．（在下列方框内画出图形）

已知：求证：证明：12．（2023春·七年级课时练习）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．证明：∵∠B＝∠CGF（已知），∴ABCD（）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CDEF（）．∴ABEF（）．∴∠B＋∠F＝180°（）．又∵∠BGC＋