高考数学牛人及高考数学抛物线试题汇编

概率，排列组合，函数三角函数，圆锥曲线中的“四心”数列型不等式的放缩技巧1．(2010·瑞安中学)国庆阅兵中，某兵种A、B、C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A、C通过的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)[答案]B[解析]用(A，B，C)表示A第一，B第二，C第三的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)共6种，其中B先于A、C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)两种，故所求概率为P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).2．(文)(2010·陕西宝鸡)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(π,4) D．π[答案]C[解析]由题意可知，当动点P位于扇形ABD内时，动点P到定点A的距离|PA|<1，根据几何概型可知，动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为eq\f(S扇形ABD,S正方形ABCD)＝eq\f(π,4)，故选C.(理)(2010·广州市模拟、江南十校联考)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A.eq\f(π,12) B．1－eq\f(π,12)C.eq\f(π,6) D．1－eq\f(π,6)[答案]B[解析]到点O的距离小于等于1的点，组成一个以O为球心，1为半径的半球，∵V正方体＝23＝8，V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3).故所求概率为P＝eq\f(8－\f(2π,3),8)＝1－eq\f(π,12).3．(文)(2010·浙江金华十校联考)在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是()A.eq\f(1,10) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,4)[答案]C[解析]取两个小球的不同取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共十种，其中标注的数字绝对值之差为2或4的有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)，共四种，故所求的概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(理)(2010·济南市模拟)已知a、b、c为集合A＝{1,2,3,4,5,6}中三个不同的数，如下框图给出的一个算法运行后输出一个整数a，则输出的数a＝5的概率是()A.eq\f(1,30) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(1,2)[答案]C[解析]由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，由于输出的数为5，故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为5的概率，∴P＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).4．(文)有5条长度分别为1、3、5、7、9的线段，从中任意取出3条，则所取3条线段可构成三角形的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5) D.eq\f(7,10)[答案]B[解析]构不成三角形的为(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(3,5,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，能构成三角形的有(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)，∴所求概率为eq\f(3,10).(理)在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)[答案]C[解析]从10个点中任取三个有Ceq\o\al(3,10)种方法，能构成直角三角形时，必须有两点连线为直径，这样的直径有5条，∴能构成直角三角形5×8＝40个，∴概率P＝eq\f(40,C\o\al(3,10))＝eq\f(1,3).5．m∈{－2，－1,0,1,2,3}，n∈{－3，－2，－1,0,1,2}，且方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1有意义，则方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1可表示不同的双曲线的概率为()A.eq\f(36,25) B．1C.eq\f(9,25) D.eq\f(13,25)[答案]D[解析]由题设知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0,n<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0,n>0))，1°eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0,n<0))时有不同取法3×3＝9种．2°eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0,n>0))时有不同取法2×2＝4种，∴所求概率P＝eq\f(9＋4,5×5)＝eq\f(13,25).6．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率是()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)[答案]A[解析]当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8)，故选A.7．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，设向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的概率是()A.eq\f(5,12) B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,12) D.eq\f(5,6)[答案]C[解析]∵cosθ＝eq\f(m－n,\r(2)·\r(m2＋n2))，θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴m≥n，满足条件m＝n的概率为eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，m>n的概率与m<n的概率相等，∴m>n的概率为eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)))＝eq\f(5,12)，∴满足m≥n的概率为P＝eq\f(1,6)＋eq\f(5,12)＝eq\f(7,12).8．(2010·广东广州六中)在区间[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上随机取一个数x，则使cosx的值介于0到eq\f(1,2)之间的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,π)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)[答案]A[解析]∵x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，∴要使0≤cosx≤eq\f(1,2)，应有－eq\f(π,2)≤x≤－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,2)，由几何概型知，所求概率P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3)))＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))))),\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))))＝eq\f(1,3).9．(2010·山东肥城联考)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任取的一个数，则关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,9) D.eq\f(1,2)[答案]B[解析]试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤30,0≤b≤2}，由Δ＝4a2－4b2≥0及a>0，b>0知，构成事件“关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．所以所求的概率为P＝eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3).10．(文)(2010·广东罗湖区调研)已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,9) D.eq\f(2,9)[答案]D[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0,x＋y＝6))得D(4,2)，区域Ω为△OAB，区域A为△OCD，所求概率P＝eq\f(S△OCD,S△OAB)＝eq\f(\f(1,2)×4×2,\f(1,2)×6×6)＝eq\f(2,9).(理)(2010·胶州三中)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4，记函数f(x)满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(2)≤12,f(－2)≤4))的事件为A，则事件A发生的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(5,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,8)[答案]C[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(2)≤12,f(－2)≤4))得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＋c≤8,－2b＋c≤0))，画出0≤b≤4,0≤c≤4表示的平面区域和事件A所表示的平面区域，由几何概型易知，所求概率P＝eq\f(1,2).二、填空题11．(文)(2010·江苏)盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是________．[答案]eq\f(1,2)[解析]设3只白球为A，B，C,1只黑球为d，则从中随机摸出两只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为eq\f(1,2).(理)(2010·江苏金陵中学)先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.将a，b,5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．[答案]eq\f(7,18)[分析]本题有两点要点：一是构成三角形，须满足较小的两个数的和大于第三个数；二是构成等腰三角形，须有两个数相等．[解析]基本事件的总数为6×6＝36.∵三角形的一边长为5，∴当a＝1时，b＝5符合题意，有1种情况；当a＝2时，b＝5符合题意，有1种情况；当a＝3时，b＝3或5符合题意，即有2种情况；当a＝4时，b＝4或5符合题意，有2种情况；当a＝5时，b∈{1,2,3,4,5,6}符合题意，即有6种情况；当a＝6时，b＝5或6符合题意，即有2种情况．故满足条件的不同情况共有14种，所求概率为P＝eq\f(14,36)＝eq\f(7,18).12．(文)(2010·苏北四市模考)已知函数f(x)＝ax2－bx－1，其中a∈(0,2]，b∈(0,2]，则此函数在区间[1，＋∞)上为增函数的概率为________．[答案]eq\f(3,4)[解析]函数f(x)＝ax2－bx－1在[eq\f(b,2a)，＋∞)上为增函数，据已知条件可知，eq\f(b,2a)≤1，∴b≤2a，如图可知，所求概率P＝eq\f(\f(1,2)(1＋2)×2,2×2)＝eq\f(3,4).(理)(2010·陕西理)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．[答案]eq\f(1,3)[解析]长方形的面积为S1＝3，S阴＝eq\i\in(0,1,)3x2dx＝x3eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝1，则P＝eq\f(S阴,S1)＝eq\f(1,3).13．(2010·广东茂名质检)已知一颗粒子等可能地落入如图所示的四边形ABCD内的任意位置，如果通过大量的试验发现粒子落入△BCD内的频率稳定在eq\f(2,5)附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为________．[答案]eq\f(3,2)[解析]由几何概型知粒子落在△ABD与△CBD中的概率之比等于△ABD与△CBD的面积之比，而△ABD与△CBD的面积之比又等于点A和点C到直线BD的距离之比，所以点A和点C到直线BD的距离之比约为eq\f(\f(3,5),\f(2,5))＝eq\f(3,2)，故填eq\f(3,2).14．在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数，记为m和n，则方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．[答案]eq\f(1,2)[解析]∵方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.由题意知，在矩形ABCD内任取一点P(m，n)，求P点落在阴影部分的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，∴p＝eq\f(1,2).三、解答题15．(文)(2010·山东文)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．[解析](1)从袋中取球编号之和不大于4的基本事件有1和2,1和3两个，而随机取两球其一切可能的基本事件有6个．∴所求概率为P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)由题意其一切结果设为(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，P1＝eq\f(3,16).故满足条件n<m＋2的事件的概率为1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).(理)(2010·福建文)设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}．(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；(2)记“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．[解析](1)有序数组(m，n)的所有可能结果为：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)，(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共16个．(2)由am⊥(am－bn)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P(A)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).16．(文)(2010·山东济南模拟)将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”．设复数z＝a＋bi.(1)若集合A＝{z|z为纯虚数}，用列举法表示集合A；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的概率．[解析](1)A＝{6i,7i,8i,9i}．(2)满足条件的所有基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的事件为B.当a＝0时，b＝6,7,8,9满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝1时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝2时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝3时，b＝6满足a2＋(b－6)2≤9.故事件B中包含的基本事件为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)，共计11个．所以P(B)＝eq\f(11,24).(理)已知某校高三文科班学生的化学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A(优秀)、B(良好)、C(及格)三个等级，设x，y分别表示化学成绩与物理成绩．例如：表中化学成绩为B等级的共有20＋18＋4＝42人，已知x与y均为B等级的概率是0.18.(1)求抽取的学生人数；(2)设在该样本中，化学成绩优秀率是30%，求a，b的值；(3)在物理成绩为C等级的学生中，已知a≥10,12≤b≤17，随机变量ξ＝|a－b|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).ABCA7205B9186Ca4b[解析](1)由题意可知eq\f(18,n)＝0.18，得n＝100.故抽取的学生人数是100.(2)由(1)知n＝100，所以eq\f(7＋9＋a,100)＝0.3，故a＝14，而7＋9＋a＋20＋18＋4＋5＋6＋b＝100，故b＝17.(3)由(1)易知a＋b＝31，且a≥10,12≤b≤17，满足条件的(a，b)有(14,17)，(15,16)，(16,15)，(17,14)，(18,13)，(19,12)，共有6组，因为ξ＝|a－b|，故ξ的可能取值为1,3,5,7，P(ξ＝1)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝3)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝5)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝7)＝eq\f(1,6).ξ的分布列为：ξ1357Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)∴E(ξ)＝1×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,3)＋5×eq\f(1,6)＋7×eq\f(1,6)＝eq\f(10,3).[点评]本题属于概率与统计的综合解答题，这类试题一般以随机抽样知识或者统计图表引入，根据抽样要求和统计图表进行计算，重点考查统计中的抽样计算、频率计算等，然后根据这些计算结果设计考查概率的问题，一般是利用列举法就可以找到基本事件的古典概型的计算问题．17．(文)(2010·厦门市质检)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①设事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率；②在区间[0,2]内任取两个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．[解析](1)由题意可知：eq\f(n,1＋1＋n)＝eq\f(1,2)，解得n＝2.(2)将标号为2的小球记作a1，a2①两次不放回抽取小球的所有基本事件为：(0,1)，(0，a1)，(0，a2)，(1,0)，(1，a1)，(1，a2)，(a1,0)，(a1,1)，(a1，a2)，(a2,0)，(a2,1)，(a2，a1)，共12个，事件A包含的基本事件为：(0，a1)，(0，a2)，(a1,0)，(a2,0)，共4个．∴P(A)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2>4”，(x，y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B所构成的区域B＝{(x，y)|x2＋y2>4，x，y∈Ω}，∴P(B)＝eq\f(SB,SΩ)＝eq\f(2×2－π,2×2)＝1－eq\f(π,4).(理)(2010·福建龙岩市质检)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，游戏规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y.(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线x＋y＝7上的概率；(2)规定：若x＋y≥10则小王赢，若x＋y≤4则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．[解析](1)因为x、y可取1、2、3、4、5、6，故以(x，y)为坐标的点共有36个．记“点(x，y)落在直线x＋y＝7上”为事件A，则事件A包含的点有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6个，所以事件A的概率P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)记“x＋y≥10”为事件A1，“x＋y≤4”为事件A2.用数对(a，b)表示x、y的取值，则事件A1包含(4,6)、(5,5)、(5,6)、(6,4)、(6,5)、(6,6)共6个数对；事件A2包含(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)共6个数对．由(1)知基本事件总数为36，所以事件A1的概率P(A1)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，事件A2的概率P(A2)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).即小王和小李两位同学赢的可能性是均等的．所以这个游戏规则是公平的．摘要：通过对三角形四心与圆锥曲线的有机结合，达到训练学生的思维，提升学生的解题能力。同时起到培养学生的说思路、练本领、强素质的作用．关键词：思维流程内心外心重心垂心解题能力正文：圆锥曲线是每年高考的重点内容之一，从近几年的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征，又体现传统内容的横向联系和新增内容的纵向交汇，而三角形在圆锥曲线中更是如鱼得水，面积、弦长、最值等成为研究的常规问题。“四心”走进圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此，在高考数学第二轮复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，从而战胜高考．例1、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当Δ内切圆的面积最大时，求Δ内心的坐标；由椭圆经过A由椭圆经过A、B、C三点设方程为得到的方程组解出（Ⅰ）由由内切圆面积最大转化为面积最大转化为点的纵坐标的绝对值最大最大为椭圆短轴端点面积最大值为得出得出点坐标为解题过程：（Ⅰ）设椭圆方程为将、、代入椭圆E的方程，得解得.∴椭圆的方程． （Ⅱ），设Δ边上的高为当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．设Δ的内切圆的半径为，因为Δ的周长为定值6．所以，所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为.点石成金： 例2、椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由。思维流程：写出椭圆方程由，写出椭圆方程由，，由由F为的重心（Ⅱ） 两根之和，两根之积得出关于两根之和，两根之积得出关于m的方程解出m解题过程：（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为,则又∵即∴故椭圆方程为（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则设，∵，故，于是设直线为，由得∵又得即由韦达定理得解得或（舍）经检验符合条件．点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．例3、在椭圆C：中，分别为椭圆C的左右两个焦点，P为椭圆C上的且在第一象限内的一点，的重心为G，内心为I．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）已知为椭圆C上的左顶点，直线过右焦点与椭圆C交于两点，若的斜率满足，求直线的方程．思维流程：由已知得由已知得，设重心I的纵坐标为∥由由，可知的斜率一定存在且不为0，设为k的方程为消去y得利用得的方程解出解题过程：（Ⅰ）设，重心，由已知可知，则，由又内心I的纵坐标为∥即．（Ⅱ）若直线斜率不存在，显然不合题意；则直线l的斜率存在．设直线为，直线l和椭交于，。将依题意：由韦达定理可知：又而从而求得符合故所求直线MN的方程为：点石成金：重心的特点为坐标．例4、已知双曲线C以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的左右顶点为焦点．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若为双曲线C的左右焦点，为双曲线C上任意一点，为的外心，且,求点的坐标．思维流程：由已知易得双曲线中由已知易得双曲线中写出双曲线的方程是是的外心在y轴上，且在中，解题过程：（Ⅰ）由已知可知，双曲线的，则双曲线的方程为（Ⅱ）因为为外心，所以，则点在线段的垂直平分线上即在轴上又同弧上的圆心角是圆周角的2倍，则在中，则即．点石成金：外心的特点为到三个顶点的距离相等或说是三边的垂直平分线的交点．能力提升：1、椭圆：求椭圆的焦点三角形内心的轨迹方程．解：如图（1），设点P，内心为，焦点，，，则．过内心I作垂直于点．∵点I是△的内心，点是内切圆的切点，图（1）∴由切线长定理，得方程组：，结合，解得：．而，∴，既．……①又∵△面积，，∴，既=．…………………②将①②代入，得．可知，椭圆焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆，它的离心率是．2、椭圆：求椭圆的焦点三角形垂心的轨迹方程；解：如图（2），设点P，垂心为，焦点，则，．∵⊥，∴=0．图（2）又∵，∴．……..①而，∴……….②将②式代入①式，整理得：．由方程可以看出，椭圆焦点三角形垂心的轨迹不是两条抛物线，它与哪些初等函数图象有关？请大家思考．3、已知动圆过定点，且与定直线相切．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；（Ⅱ）设过点的直线与轨迹相交于、两点，若在直线存在点，使为正三角形，求直线方程.（Ⅲ）当直线得斜率大于零时，求外心的坐标．解：（Ⅰ）设动圆圆心为，根据题意，得化简得故动圆圆心的轨迹的方程为.（Ⅱ）设直线的方程为，，弦中点为（ⅰ）当时，由得此时，有图形的对称性可知，上的点只可能是而故，不合题意.（ⅱ）当时，由得则即若在直线上存在点，使为正三角形则设直线，与联立，解得，即由，得即化简得即故直线的方程为（Ⅲ）由(Ⅱ）知，，直线的方程为，点得则，则的外心坐标为，即4、椭圆：求椭圆的焦点三角形重心的轨迹方程；提示：椭圆焦点三角形重心的轨迹仍是一个椭圆，如图（5），它的离心率与的离心率相同，方程为．证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种：一利用重要不等式放缩均值不等式法例1设求证解析此数列的通项为，，即注：=1\*GB3①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！=2\*GB3②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里其中，等的各式及其变式公式均可供选用。例2已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：（02年全国联赛山东预赛题）简析例3求证.简析不等式左边=，故原结论成立.2．利用有用结论例4求证简析本题可以利用的有用结论主要有：法1利用假分数的一个性质可得即法2利用贝努利不等式的一个特例(此处)得注：例4是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：证明(可考虑用贝努利不等式的特例)例5已知函数求证：对任意且恒成立。（90年全国卷压轴题）简析本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（）不等式的简捷证法：而由不等式得(时取等号)（），得证！例6已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）（05年辽宁卷第22题）解析结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：。于是，即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：，即例7已知不等式表示不超过的最大整数。设正数数列满足：求证（05年湖北卷第（22）题）简析当时，即于是当时有注：=1\*GB3①本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩；=2\*GB3②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。例8设，求证：数列单调递增且解析引入一个结论：若则（证略）整理上式得（），以代入（）式得即单调递增。以代入（）式得此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。注：=1\*GB3①上述不等式可加强为简证如下：利用二项展开式进行部分放缩：只取前两项有对通项作如下放缩：故有=2\*GB3②上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：已知是正整数，且（1）证明；（2）证明（01年全国卷理科第20题）简析对第（2）问：用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列递减，且故即。当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例4所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。二部分放缩例10设数列满足，当时证明对所有有；（02年全国高考题）解析用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论。三添减项放缩上述例4之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。例11设，求证.简析观察的结构，注意到，展开得，即，得证.例12设数列满足（Ⅰ）证明对一切正整数成立；（Ⅱ）令，判定与的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22）题）简析本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有法1用数学归纳法（只考虑第二步）；法2则四利用单调性放缩构造数列如对上述例1，令则，递减，有，故再如例4，令则，即递增，有，得证！注：由此可得例4的加强命题并可改造成为探索性问题：求对任意使恒成立的正整数的最大值；同理可得理科姊妹题的加强命题及其探索性结论，读者不妨一试！2．构造函数例13已知函数的最大值不大于，又当时（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明（04年辽宁卷第21题）解析（Ⅰ）=1；（Ⅱ）由得且用数学归纳法（只看第二步）：在是增函数，则得例14数列由下列条件确定：，．（I）证明：对总有；(II)证明：对总有（02年北京卷第（19）题）解析构造函数易知在是增函数。当时在递增，故对(II)有，构造函数它在上是增函数，故有，得证。注：=1\*GB3①本题有着深厚的科学背景：是计算机开平方设计迭代程序的根据；同时有着高等数学背景—数列单调递减有下界因而有极限：=2\*GB3②是递推数列的母函数，研究其单调性对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。类题有06年湖南卷理科第19题：已知函数,数列{}满足:证明:(ⅰ);(ⅱ).（证略）五换元放缩例15求证简析令，这里则有，从而有注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。例16设，，求证.简析令，则，，应用二项式定理进行部分放缩有，注意到，则（证明从略），因此六递推放缩递推放缩的典型例子，可参考上述例10中利用部分放缩所得结论进行递推放缩来证明，同理例6中所得和、例7中、例12（Ⅰ）之法2所得都是进行递推放缩的关键式。七转化为加强命题放缩如上述例10第问所证不等式右边为常数，难以直接使用数学归纳法，我们可以通过从特值入手进行归纳探索、或运用逆向思维探索转化为证明其加强命题：再用数学归纳法证明此加强命题，就容易多了（略）。例17设，定义，求证：对一切正整数有解析用数学归纳法推时的结论，仅用归纳假设及递推式是难以证出的，因为出现在分母上！可以逆向考虑：故将原问题转化为证明其加强命题：对一切正整数有（证明从略）例18数列满足证明（01年中国西部数学奥林匹克试题）简析将问题一般化：先证明其加强命题用数学归纳法，只考虑第二步：因此对一切有例19已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n有a1a2……an2n！（06年江西卷理科第22题）解析：（1）将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n1）……1（2）证：据1得，a1a2…an＝，为证a1a2……an2只要证nN时有……2显然，左端每个因式都是正数，先证明一个加强不等式：对每个nN，有1－（）……3（用数学归纳法，证略）利用3得，1－（）＝1－＝1－。故2式成立，从而结论成立。八分项讨论例20已知数列的前项和满足（Ⅰ）写出数列的前3项；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数，有（04年全国卷Ⅲ）简析（Ⅰ）略，（Ⅱ）；（Ⅲ）由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时（减项放缩），于是=1\*GB3①当且为偶数时=2\*GB3②当且为奇数时（添项放缩）由=1\*GB3①知由=1\*GB3①=2\*GB3②得证。九数学归纳法例21（Ⅰ）设函数，求的最小值；（Ⅱ）设正数满足，证明（05年全国卷Ⅰ第22题）解析这道高考题内蕴丰富，有着深厚的科学背景：直接与高等数学的凸函数有关！更为深层的是信息科学中有关熵的问题。（Ⅰ）略，只证（Ⅱ）：法1由为下凸函数得又，所以考虑试题的编拟初衷，是为了考查数学归纳法，于是借鉴詹森（jensen）不等式（若为上的下凸函数，则对任意，有特别地，若则有若为上凸函数则改“”为“”）的证明思路与方法有：法2（用数学归纳法证明）（i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立.（ii）假定当时命题成立，即若正数，则当时，若正数（*）为利用归纳假设，将（*）式左边均分成前后两段：令则为正数，且由归纳假定知（1）同理，由得（2）综合（1）（2）两式即当时命题也成立.根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立.法3构造函数利用（Ⅰ）知，当对任意.=2\*GB3②（=2\*GB3②式是比①式更强的结果）下面用数学归纳法证明结论.（i）当n=1时，由（I）知命题成立.（ii）设当n=k时命题成立，即若正数对（*）式的连续两项进行两两结合变成项后使用归纳假设，并充分利用=2\*GB3②式有由归纳法假设得即当时命题也成立.所以对一切正整数n命题成立.注：式=2\*GB3②也可以直接使用函数下凸用（Ⅰ）中结论得到；为利用归纳假设，也可对（*）式进行对应结合：而变成项；本题可作推广：若正数满足，则（简证：构造函数，易得故）第三节抛物线高考试题考点一抛物线的定义和标准方程

1.(2010年陕西卷,理8)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为()(A)QUOTE12 (B)1(C)2 (D)4解析:圆x2+y2-6x-7=0化为标准方程为(x-3)2+y2=16,∴圆心为(3,0),半径是4,抛物线y2=2px(p>0)的准线是x=-QUOTEp2,∴3+QUOTEp2=4,又p>0,解得p=2.故选C.答案:C2.(2011年辽宁卷,理3)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()(A)QUOTE34 (B)1 (C) (D)QUOTE74解析:∵|AF|+|BF|=xA+xB+QUOTE12=3,∴xA+xB=QUOTE52.∴线段AB的中点到y轴的距离为QUOTExA+xB2=QUOTE54.故选C.故选C.答案:C3.(2012年四川卷,理8)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于()(A)2QUOTE2 (B)2QUOTE3 (C)4 (D)2QUOTE5解析:由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则M到焦点的距离为xM+QUOTEp2=2+QUOTEp2=3,∴p=2,∴y2=4x.∴QUOTEy02=4×2,∴|OM|=QUOTE4+y02=QUOTE4+8=2QUOTE3.故选B.答案:B4.(2010年上海卷,理3)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程是.

解析:由抛物线的定义知,点P的轨迹是以F为焦点,定直线x+2=0为准线的抛物线,故其标准方程为y2=8x.答案:y2=8x5.(2012年陕西卷,理13)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m.水位下降1m后,水面宽m.

解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则A(2,-2),将其坐标代入x2=-2py,得p=1.∴x2=-2y.当水面下降1m,得D(x0,-3)(x0>0),将其坐标代入x2=-2y得QUOTEx02=6,∴x0=QUOTE6,∴水面宽|CD|=2QUOTE6m.答案:2QUOTE66.(2010年浙江卷,理13)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段FA的中点B在抛物线上,则B到抛物线准线的距离为.

解析:由已知得B点的纵坐标为1,横坐标为QUOTEp4,即BQUOTEp4,1QUOTEp4,将其代入y2=2px得1=2p×QUOTEp4,解得p=QUOTE2,则B点到准线的距离为QUOTEp2+QUOTEp4=QUOTE34p=QUOTE342.答案:QUOTE342考点二抛物线的几何性质及其应用

1.(2011年四川卷,理10)在抛物线y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为x1=-4,x2=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切,则抛物线顶点的坐标为()(A)(-2,-9) (B)(0,-5)(C)(2,-9) (D)(1,-6)解析:当x1=-4时,y1=11-4a;当x2=2时,y2=2a-1,所以割线的斜率k=QUOTE11-4a-2a+1-4-2=a-2.设直线与抛物线的切点横坐标为x0,由y′=2x+a得切线斜率为2x0+a,∴2x0+a=a-2,∴x0∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1),即(a-2)x-y-6=0.圆5x2+5y2=36的圆心到切线的距离d=QUOTE6(a-2)2+1.由题意得QUOTE6(a-2)2+1=QUOTE65,即(a-2)2又a≠0,∴a=4,此时y=x2+4x-5=(x+2)2-9,顶点坐标为(-2,-9).故选A.答案:A2.(2009年四川卷,理9)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()(A)2 (B)3 (C)QUOTE115 (D)QUOTE3716解析:如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为点P到点F的距离.由图可知,距离和的最小值即F到直线l1的距离d=QUOTE|4+6|32+42=2.故选答案:A3.(2009年福建卷,理13)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则p=.

解析:∵FQUOTEp2,0,∴设AB:y=x-QUOTEp2,与y2=2px联立,得x2-3px+QUOTEp24=0.∴xA+xB=3p.∴|AB|=xA+xB+p=4p=8,得p=2.答案:24.(2010年大纲全国卷Ⅱ,理15)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为QUOTE3的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若QUOTEAM→=QUOTEMB→,则p=.

解析:如图所示,由AB的斜率为QUOTE3,知∠α=60°,又QUOTEAM→=QUOTEMB→,∴M为AB的中点.过点B作BP垂直准线l于点P,则∠ABP=60°,∴∠BAP=30°.∴|BP|=QUOTE12|AB|=|BM|,∴M为焦点,即QUOTEp2=1,∴p=2.答案:2考点三直线与抛物线位置关系

1.(2013年大纲全国卷,理11)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若QUOTEMA→·QUOTEMB→=0,则k等于()(A)QUOTE12 (B)QUOTE22 (C)QUOTE2 (D)2解析:法一设直线方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),由QUOTEy=k(x-2),得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,∴x1+x2=QUOTE4(k2+2)k2x1x2=4,由QUOTEMA→·QUOTEMB→=0,得(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+[k(x1-2)-2][k(x2-2)-2]=0,代入整理得k2-4k+4=0,解得k=2.故选D.法二如图所示,设F为焦点,取AB中点P,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H,连接MF,MP,由QUOTEMA→·QUOTEMB→=0,知MA⊥MB,则|MP|=QUOTE12|AB|=QUOTE12(|AG|+|BH|),所以MP为直角梯形BHGA的中位线,所以MP∥AG∥BH,所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,又|AG|=|AF|,|AM|=|AM|,所以△AMG≌△AMF,所以∠AFM=∠AGM=90°,则MF⊥AB,所以k=-QUOTE1kMF=2.答案:D2.(2010年辽宁卷,理7)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-QUOTE3,那么|PF|等于()(A)4QUOTE3 (B)8 (C)8QUOTE3 (D)16解析:如图所示,直线AF的方程为y=-QUOTE3(x-2),与准线方程x=-2联立得A(-2,4QUOTE3).设P(x0,4QUOTE3),代入抛物线y2=8x,得8x0=48,∴x0=6,∴|PF|=x0+2=8,选B.答案:B3.(2012年安徽卷,理9)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为()(A)QUOTE22 (B)QUOTE2(C)QUOTE322 (D)2QUOTE2解析:如图所示,由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知:点A到准线x=-1的距离为3,∴点A的横坐标为2.将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点A的纵坐标y=2QUOTE2,∴A(2,2QUOTE2),∴直线AF的方程为y=2QUOTE2(x-1).联立直线与抛物线的方程QUOTEy=22(x-1),解之得QUOTEx=12,y=-2或QUOTEx=2,y由图知BQUOTE12,-2,∴S△AOB=|OF|·|yA-yB|=QUOTE12×1×|2QUOTE2+QUOTE2|=QUOTE322.故选C.答案:C4.(2009年天津卷,理9)设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(QUOTE3,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比QUOTES△BCFS△ACF等于()(A)QUOTE45 (B)QUOTE23 (C)QUOTE47 (D)QUOTE12解析:如图所示,设过点M(QUOTE3,0)的直线方程为y=k(x-QUOTE3),代入y2=2x并整理,得k2x2-(2QUOTE3k2+2)x+3k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=QUOTE23k2+2k2,x1x因为|BF|=2,所以|BB′|=2,∴x2=2-QUOTE12=QUOTE32,从而x1=QUOTE3x2=2.设点F到直线AC的距离为d,则QUOTES△BCFS△ACF=QUOTE12|BC|·d12|AC|·d==QUOTE22+故选A.答案:A5.(2009年大纲全国卷Ⅱ,理9)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于()(A)QUOTE13 (B)QUOTE23 (C)QUOTE23 (D)QUOTE223解析:将y=k(x+2)代入y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.设交点的横坐标分别为xA,xB,则xA+xB=QUOTE8k2-4,①xA·xB=4.又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,|FA|=2|FB|,∴2xB+4=xA+2.∴xA=2xB+2.②∴将②代入①得xB=QUOTE83k2-2,xA=QUOTE163k2-4+2=QUOTE163k2-2.故xA·xB=QUOTE83k2-2163解之得k2=QUOTE89.而k>0,∴k=QUOTE223,满足Δ>0.故选D.答案:D6.(2013年安徽卷,理13)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为.

解析:设直线y=a与y轴交于点M,抛物线y=x2上要存在C点,使得∠ACB为直角,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x2有交点即可,也就是使|AM|≤|MO|,即QUOTEa≤a(a>0),所以a≥1.答案:[1,+∞)7.(2012年重庆卷,理14)过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=QUOTE2512,|AF|<|BF|,则|AF|=.

解析:由于y2=2x的焦点坐标为QUOTE12,0,设AB所在直线的方程为y=kQUOTEx-12,A(x1,y1),B(x2,y2),x1<x2,将y=kQUOTEx-12代入y2=2x,得k2QUOTEx-122=2x,∴k2x2-(k2+2)x+QUOTEk24=0.∴x1x2=.而x1+x2+p=x1+x2+1=QUOTE2512,∴x1+x2=QUOTE1312.∴x1=QUOTE13,x2=.∴|AF|=x1+QUOTEp2=QUOTE13+QUOTE12=QUOTE56.答案:QUOTE568.(2010年重庆卷,理14)已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足QUOTEAF→=3QUOTEFB→,则弦AB的中点到准线的距离为.

解析:F的坐标为(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),∵=3QUOTEFB→,∴(1-x1,-y1)=3(x2-1,y2),∴1-x1=3x2-3,且-y1=3y2,即x1+3x2=4,y1=-3y2.设直线AB的方程为y=k(x-1),AB中点为P(x0,y0).由QUOTEy2=4x,y=k(x∴y1y2=-4.∴QUOTEy12=12,QUOTEy22=QUOTE43.∴x1=3,x2=QUOTE13.∴x0=QUOTEx1+x22=QUOTE53.∴中点P到准线x=-1的距离d=QUOTE53-(-1)=QUOTE83.答案:QUOTE839.(2012年辽宁卷,理15)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为.

解析:y=QUOTE12x2,y′=x,由题意P(4,8),k1=y′|x=4=4,切线为y=4x-8,Q(-2,2),k2=y′|x=-2=-2,切线为y=-2x-2.由QUOTEy=4x-8,y=-2x-2答案:-410.(2012年北京卷,理12)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方,若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为.

解析:∵抛物线y2=4x,∴焦点F的坐标为(1,0).又∵直线l倾斜角为60°,∴直线斜率为QUOTE3,∴直线方程为y=QUOTE3(x-1).联立方程QUOTEy=3(x-1),解得QUOTEx1=13,y1=-233或由已知得A的坐标为(3,2QUOTE3),∴S△OAF=QUOTE12|OF|·|yA|=QUOTE12×1×2QUOTE3=QUOTE3.答案:QUOTE311.(2012年新课标全国卷,理20)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4QUOTE2,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解:(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=QUOTE2p,又点A到l的距离d=|FA|=QUOTE2p,而S△ABD=4QUOTE2.∴QUOTE12|BD|·d=4QUOTE2.即QUOTE12×2p×QUOTE2p=4QUOTE2,∴p=-2(舍去)或p=2,∴圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)∵A、B、F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.又由抛物线定义知|AD|=|FA|=QUOTE12|AB|,∴∠ABD=30°,m的斜率为-QUOTE33或QUOTE33,当m的斜率为QUOTE33时,可设n方程为y=QUOTE33x+b.代入x2=2py得x2-QUOTE233px-2pb=0,由于n与C只有一个公共点,故Δ=QUOTE43p2+8pb=0∴b=-,又∵m的截距b1=QUOTEp2,QUOTE|b1||b|=3,∴坐标原点到m、n距离的比值为3.当m的斜率为-QUOTE33时,由图形对称性知,坐标原点到m、n的距离之比仍为3.12.(2013年广东卷,理20)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为QUOTE322,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.解:(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,则QUOTE|0-c-2|2=QUOTE322,结合c>0,解得c=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=QUOTE14x2,求导得y′=QUOTE12x.设A(x1,y1),B(x2,y2)（其中y1=QUOTEx124,y2=QUOTEx224）,则切线PA,PB的斜率分别为QUOTE12x1,QUOTE12x2.所以切线PA的方程为y-y1=QUOTEx12(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.同理,可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0.所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y0-2y=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.联立方程QUOTEx0x-2y-2消去x整理得y2+(2y0-)y+=0,由根与系数的关系可得y1+y2=QUOTEx02-2y0,y1y2=QUOTEy02,所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=QUOTEy02+QUOTEx02-2y0+1.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2.所以+QUOTEx02-2y0+1=2QUOTEy02+2y0+5=2（y0+QUOTE12）2+QUOTE92.所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为QUOTE92.13.(2013年湖南卷,理21)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1>0,k2>0,证明:QUOTEFM→·QUOTEFN→<2p2;(2)若点M到直线l的距离的最小值为QUOTE755,求抛物线E的方程.解:(1)由题意知,抛物线E的焦点为F,直线l1的方程为y=k1x+QUOTEp2.由QUOTEy=k1x+得x2-2pk1x-p2=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实数根,从而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pQUOTEk12+p.所以点M的坐标为（pk1,pQUOTEk12+QUOTEp2）,QUOTEFM→=(pk1,pQUOTEk12).同理可得点N的坐标为(pk2,pQUOTEk22+QUOTEp2),QUOTEFN→=(pk2,pQUOTEk22),于是QUOTEFM→·QUOTEFN→=p2(k1k2+QUOTEk12k22).因为k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,所以0<k1k2<2=1.故QUOTEFM→·QUOTEFN→<p2(1+12)=2p2.(2)由抛物线的定义得|FA|=y1+QUOTEp2,|FB|=y2+QUOTEp2,所以|AB|=y1+y2+p=2pQUOTEk12+2p,从而圆M的半径r1=pQUOTEk12+p.故圆M的方程为(x-pk1)2+(y-p-QUOTEp2)2=(pQUOTEk12+p)2,化简得x2+y2-2pk1x-p(2+1)y-QUOTE34p2=0.同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2QUOTEk22+1)y-QUOTE34p2=0.于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1)x+(QUOTEk22-QUOTEk12)y=0.又k2-k1≠0,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0.因为p>0,所以点M到直线l的距离为d=QUOTE|2pk12+=QUOTEp|2k12+=QUOTEp[2(k1+14故当k1=-QUOTE14时,d取最小值QUOTE7p85.由题设,QUOTE7p85=QUOTE755,解得p=8.故所求的抛物线E的方程为x2=16y.14.(2013年陕西卷,理20)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.(1)解:如图所示,设动圆圆心O1(x,y),由题意,|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点,∴|O1M|=QUOTEx2+42,又|O1A|=QUOTE(x-4)2+y∴QUOTE(x-4)2+y2=QUOTEx2+4化简得y2=8x(x≠0).又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.(2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,其中Δ=-32kb+64>0.由根与系数的关系得,x1+x2=QUOTE8-2bkk2,①x1x2=QUOTEb2k2,②因为x轴是∠PBQ的角平分线,所以QUOTEy1x1+1=-,即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③将①②代入③,得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,∴k=-b,此时Δ>0,∴直线l的方程为y=k(x-1),∴直线l过定点(1,0).15.(2013年辽宁卷,理20)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-QUOTE2时,切线MA的斜率为-QUOTE12.(1)求p的值;(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).解:(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=QUOTEx2,且切线MA的斜率为-QUOTE12,所以A点坐标为(-1,QUOTE14),故切线MA的方程为y=-QUOTE12(x+1)+QUOTE14.因为点M(1-QUOTE2,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是y0=-QUOTE12(2-QUOTE2)+QUOTE14=-QUOTE3-224,①y0=-QUOTE(1-2)22p=-QUOTE3-222p.②由①②得p=2.(2)设N(x,y),A(x1,QUOTEx124),B(x2,QUOTEx224),x1≠x2,由N为线段AB中点知x=QUOTEx1+x22,③y=QUOTEx12+x228切线MA,MB的方程为y=QUOTEx12(x-x1)+.⑤y=QUOTEx22(x-x2)+QUOTEx224.⑥由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0=QUOTEx1+x22,y0=QUOTEx1x24因为点M(x0,y0)在C2上,即QUOTEx02=-4y0,所以x1x2=-QUOTEx12+x226由③④⑦得x2=QUOTE43y,x≠0.当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=QUOTE43y.因此线段AB中点N的轨迹方程为x2=QUOTE43y.模拟试题考点一抛物线的定义和标准方程及其应用

1.(2013福建厦门高三上质检)已知F是抛物线y2=4x的焦点,P是圆x2+y2-8x-8y+31=0上的动点,则|FP|的最小值是()(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:圆x2+y2-8x-8y+31=0的圆心C坐标为(4,4),半径为1,∵|PF|≥|CF|-1,∴当P、C、F三点共线时,|PF|取到最小值,由y2=4x知F(1,0),∴|PF|min=QUOTE(4-1)2+42-1=4.故选答案:B2.(2013山东潍坊一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线QUOTEx24-QUOTEy25=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AK|=QUOTE2|AF|,则A点的横坐标为()(A)2QUOTE2 (B)3 (C)2QUOTE3 (D)4解析:由QUOTEx24-QUOTEy25=1得c2=4+5=9.∴双曲线右焦点为(3,0),∴抛物线焦点坐标为(3,0),抛物线方程为y2=12x.设d为点A(x0,y0)到准线的距离,由抛物线定义知d=|AF|=x0+3,由题意得|y0|=x0+3,代入抛物线