第5章 习题课8 诱导公式的应用 练习 高中数学新湘教版必修第一册（2023~2024学年）

习题课8诱导公式的应用【课后精练】基础训练1.sin210°cos120°=().A.14 B.-34 C.-32【答案】A【解析】sin210°cos120°=sin(180°+30°)cos(180°-60°)=-sin30°×(-cos60°)=-12×-12=14.故选A.2.(多选题)下列三角函数值与sinπ3的值相同的是()A.sinnπ+4π3 B.cos2nπ+π6C.sin2nπ+π3 D.cos(2n+1)π-π6【答案】BC【解析】sinπ3=32.A不同,当n是偶数时,sinnπ+4π3=sin4π3=sinπ+π3=-32,当n是奇数时,sinnπ+4π3=sinnπ+π+π3=sinπ3=32;B相同,cos2nπ+π6=cosπ6=32;同理可知C化简的结果为32;D化简的结果为-33.已知α∈π2,π,若cosπ6-α=-34,则sinα+5π6的值为().A.-34 B.3C.-134 D.【答案】C【解析】∵α∈π2,π,∴-5π6<π6-α<-π则sinπ6-α=-1-cos2(π∴sinα+5π6=sinπ-π6-α=sinπ6-α=-134.故选C.4.已知α,β∈0,π2,且α,β的终边关于直线y=x对称,若sinα=35,则sinβ=().A.35 B.C.7210 D【答案】B【解析】由α,β∈0,π2,且α,β的终边关于直线y=x对称知,α+β=π2,因此β=π2-α,所以sinβ=sinπ2-α=cosα=1-sin2α=455.已知3sinθ+π2+sin(θ+π)=0,θ∈(-π,0),则sinθ=().A.-31010 B.-C.31010 D【答案】A【解析】因为3sinθ+π2+sin(θ+π)=0,所以3cosθ-sinθ=0,所以cosθ=13sinθ因为θ∈(-π,0),sin2θ+cos2θ=1,所以sinθ=-31010.故选6.已知a=tan-7π6,b=cos23π4,c=sin-33π4,则b+c=;a,b,c的大小关系是.

【答案】0b>a>c【解析】∵a=-tan7π6=-tanπ6=-33,b=cos6π-π4=cosπ4=22,c=-sin33π4=-sinπ47.已知α是第四象限角,且tanα=-2,计算下列各式的值:(1)3sin(π(2)sin(π-α)cos(π+α)+3cos2α.【解析】(1)3sin(=3cosα5cosα+sinα=35+tanα=35+(-2)(2)由tanα=sinαcosα=-2,得sinα=-2cosα则sin2α+cos2α=(-2cosα)2+cos2α=5cos2α=1,因为α是第四象限角,所以cosα=55,sinα=-2所以sin(π-α)cos(π+α)+3cos2α=-sinαcosα+3cos2α=255×55+3×552=25+3能力拔高8.(多选题)下列等式成立的有().A.tanπ6-α=tan5π6+αB.sinπ3+α=cosα-π6C.tan2αsin2α=tan2α-sin2αD.sin4α-cos4α=2sin2α-1【答案】BCD【解析】对于A,tanπ6-α=tanπ-5π6+α=-tan5π6+α,故A错误;对于B,sinπ3+α=sinπ2+α-π6=cosα-π6,故B正确;对于C,tan2αsin2α=sin2αcos2α·sin2α=1-cos2αcos2α·sin2α=1cos2α-1·sin2α=对于D,sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1,故D正确.故选BCD.9.已知tanα=2,则sin(π2-α)+3cos(π+【答案】-1【解析】原式=cosα-3cosαsinα+sinα=-1tanα=-10.由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如图所示,若直角三角形中较小的内角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是125,则sin2θ-cos2θ=【答案】-7【解析】由题意可知,拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ,短直角边为sinθ,小正方形的边长为cosθ-sinθ.∵小正方形的面积是125,∴(cosθ-sinθ)2=1∵θ为直角三角形中较小的锐角,∴cosθ>sinθ,∴cosθ-sinθ=15又∵(cosθ-sinθ)2=1-2sinθcosθ=125∴2sinθcosθ=2425,∴1+2sinθcosθ=49即(cosθ+sinθ)2=4925,∴cosθ+sinθ=7∴sin2θ-cos2θ=(cosθ+sinθ)(sinθ-cosθ)=-72511.在平面直角坐标系中,以坐标原点为顶点,以x轴的非负半轴为角的始边,已知角α的终边与单位圆交于点A-35,45,角β的终边落在射线y=x(x>0)上.(1)求sinαtanβ的值;(2)求sinπ2-α)sin(3π+【解析】(1)依题意,点A到原点O的距离为(45由三角函数的定义知sinα=45设射线y=x(x>0)上任意一点为B(m,m),m>0,则tanβ=mm=1,所以sinαtanβ=4(2)(法一)由三角函数的定义知,tanα=-43,tanβ=故sin(π2=-cosαsinα+=-1tanα+1tan2β+3tanβ=(法二)由三角函数的定义知,sinα=45,cosα=-35,sinβ=22,cos故sin(π2=-cosαsinα+cos2βsin2思维拓展12.是否存在α∈-π2,π2,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=2cosπ2-β,3cos(-α)=-2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.【解析】假设存在角α,β满足条件,则由已知条件可得sinα=由①2+②2,得sin2α+3cos2α=2,∴sin2α=12,∴sinα=±2∵α∈-π2,π2,∴α=±π4当α=π4时,由②式知cosβ=3又β∈(0,π),∴β=π6,此时①式成立当α=-π4时,由②式知cosβ=3又β∈(0,π),∴β=π6,此时①式不成立,故舍去∴存在α=π4,β=π613.在①4sin(2021π-α)=3cos(2021π+α),②sinα+cosα=15,③α,β的终边关于x轴对称,并且4sinβ=3cosβ这三个条件中任选一个,补充在下面问题中已知第四象限角α满足,求下列各式的值.

(1)3sinα(2)sin2α+3sinαcosα.【解析】选①,∵4sin(2021π-α)=3cos(2021π+α),∴4sinα=-3cosα,∴tanα=-34选②,∵α是第四象限角,∴sinα<0,cosα>0,又∵sinα+cosα=15,∴15-cosα2+cos2α=1,∴cosα=45,sinα=-3∴tanα=-34选③,∵α是第四象限角,∴sinα<0,cos