第1章 章末小结 高中数学新湘教版必修第一册（2023~2024学年）

第1章章末小结【课后精练】一、单项选择题1.(2022年全国乙卷)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足UM={1,3},则().A.2∈M B.3∈MC.4∉M D.5∉M【答案】A【解析】由题意知M={2,4,5},对比选项知,A正确,BCD错误,故选A.2.命题“∀x>1,x≥2”的否定是().A.∃x>1,x<2 B.∃x≤1,x<2C.∀x≤1,x<2 D.∀x>1,x<2【答案】A【解析】因为命题“∀x>1,x≥2”为全称量词命题,所以其否定为存在量词命题,即“∃x>1,x<2”.3.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=().A.{1} B.{4} C.{1,3} D.{1,4}【答案】D【解析】由题意得,B={1,4,7,10},所以A∩B={1,4}.4.已知集合A={1,x,y},B={1,x2,2y},若A=B,则x-y=().A.2 B.1 C.14 D.【答案】C【解析】若A=B,则x=x2,y=2y或x=2y,y=x由集合中元素的互异性,得x=12,y=14,则x-y=125.以下四个命题中,既是存在量词命题又是真命题的是().A.三角形的内角和均为180°B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和一定是无理数D.存在一个负数x,使1x>【答案】B【解析】选项A,是全称量词命题;选项B,是存在量词命题且是真命题,当x=0时,x2=0;选项C,是全称量词命题且是假命题,比如2,-2都是无理数,但2+(-2)=0为有理数;选项D,是存在量词命题且是假命题,若x<0,必有1x<0.故选B6.(2020年全国Ⅲ卷)已知集合A={(x,y)|x,y∈N+,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为().A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】由题意知A∩B中的元素满足y≥x,x+y=8,且x,y∈N+由x+y=8≥2x,得x≤4,所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),故A∩B中元素的个数为4.故选C.7.设S=αα=kπ+π2,k∈Z,S1=αα=2kπ+π2,k∈Z,S2=αα=2kπ-π2,k∈Z,则下列结论错误的是().A.S1⊆S B.S2⊆SC.S1∪S2=S D.S1∩S2=S【答案】D【解析】因为S=αα=kπ+π2,k∈Z表示终边落在y轴上的角的集合,S1=αα=2kπ+π2,k∈Z表示终边落在y轴正半轴上的角的集合,S2=αα=2kπ-π2,k∈Z表示终边落在y轴负半轴上的角的集合,所以S1⊆S,S2⊆S,S1∪S2=S,S1∩S2=⌀≠S.故选D.8.对任意的实数x,若[x]表示不超过x的最大整数,则“-1<x-y<1”是“[x]=[y]”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】当x=0.9,y=1时,满足-1<x-y<1,但[x]=0,[y]=1,此时[x]≠[y],所以-1<x-y<1推不出[x]=[y].反之,若[x]=[y]=n,则n≤x<n+1,n≤y<n+1⇒-1<x-y<1,所以[x]=[y]⇒-1<x-y<1.综上可知,“-1<x-y<1”是“[x]=[y]”的必要而不充分条件.二、多项选择题9.下列关系中,正确的有().A.⌀⊆{0} B.13C.Q⊆Z D.⌀∈{0}【答案】AB【解析】⌀⊆{0},A正确;13∈Q,B正确;Z⊆Q,C错误;⌀⊆{0},D错误10.已知全集U的两个非空真子集A,B满足(UA)∪B=B,则下列关系一定正确的有().A.A∩B=⌀ B.A∩B=BC.A∪B=U D.(UB)∪A=A【答案】CD【解析】令U={1,2,3,4},A={2,3,4},B={1,2},满足(UA)∪B=B,但A∩B≠⌀,A∩B≠B,故A,B均不正确;由(UA)∪B=B,知UA⊆B,∴U=A∪(UA)⊆(A∪B),∴A∪B=U,由UA⊆B,知UB⊆A,∴(UB)∪A=A,故C,D均正确.11.下列结论正确的有().A.在△ABC中,“A是钝角”是“△ABC是钝角三角形”的充分而不必要条件B.“∃a>0,关于x的方程x2+x+a=0有两个不相等的实数根”是真命题C.“菱形的对角线相等且互相垂直”是真命题D.若p是真命题,则p可能是真命题【答案】AB【解析】由“A是钝角”可以得到“△ABC是钝角三角形”,但是由“△ABC是钝角三角形”不一定得到“A是钝角”,A正确;当Δ=1-4a>0,即a<14时,关于x的方程x2+x+a=0有两个不相等的实数根,B正确菱形的对角线不一定相等,C错误;命题与命题的否定一定是一真一假,D错误.12.给定数集M,若对于任意a,b∈M,有a+b∈M,且a-b∈M,则称集合M为闭集合.则下列说法中不正确的是().A.集合M={-4,-2,0,2,4}为闭集合B.正整数集是闭集合C.集合M={n|n=3k,k∈Z}为闭集合D.若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合【答案】ABD【解析】对于A,当集合M={-4,-2,0,2,4}时,2,4∈M,而2+4∉M,所以集合M不为闭集合.对于B,设a,b是任意的两个正整数,当a<b时,a-b<0不是正整数,所以正整数集不为闭集合.对于C,当M={n|n=3k,k∈Z}时,设a=3k1,b=3k2,k1,k2∈Z,则a+b=3(k1+k2)∈M,a-b=3(k1-k2)∈M,所以集合M是闭集合.对于D,设A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=2k,k∈Z},由C可知,集合A1,A2为闭集合,2,3∈A1∪A2,而2+3∉A1∪A2,此时A1∪A2不为闭集合.故选ABD.三、填空题13.命题“至少有一个正实数x满足方程x2+2(a-1)x+2a+6=0”的否定是.

【答案】所有正实数x都不满足方程x2+2(a-1)x+2a+6=0【解析】把量词“至少有一个”改为“所有”,“满足”改为“都不满足”得到命题的否定.14.设集合M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R},若M∪N=M,则实数t的取值范围为.

【答案】(-∞,2]【解析】由M∪N=M,得N⊆M,当N=⌀时,2t+1≤2-t,即t≤13,此时M∪N=M成立当N≠⌀时,由下图可得2-t<2t+1,2t+1≤5,2-t≥-2,解得13综上,实数t的取值范围是(-∞,2].15.立德中学有35人参加“学党史知识竞赛”,若答对第一题的有20人,答对第二题的有16人,两题都答对的有6人,则第一、二题都没答对的有人.

【答案】5【解析】设第一、二题都没答对的有x人,则(20-6)+(16-6)+6+x=35,所以x=5.16.已知A={x|-1<x<3},B={x|m<x<m+1},若x∈B成立的一个必要而不充分条件是x∈A,则实数m的取值范围是.

【答案】{m|-1≤m≤2}【解析】因为x∈B成立的一个必要而不充分条件是x∈A,所以集合B是集合A的真子集.所以m≥-1,m+1<3或m>-1,m+1≤3,解得-1≤故实数m的取值范围是{m|-1≤m≤2}.四、解答题17.已知集合A={x|-2<x<4},B={x|-1<x≤5}.(1)求A∩B,A∪B;(2)求(RA)∩B.【解析】(1)因为集合A={x|-2<x<4},B={x|-1<x≤5},所以A∩B={x|-1<x<4},A∪B={x|-2<x≤5}.(2)由题意可得,RA={x|x≤-2或x≥4},所以(RA)∩B={x|4≤x≤5}.18.判断下列命题的真假,并写出其否定.(1)对任意的x∈R,x2-x-1≤0;(2)所有能被5整除的整数都是奇数;(3)对任意的x∈Q,13x2+12x+1(4)有些实数的绝对值是正数;(5)∃x0,y0∈Z,2x0+y0=3.【解析】(1)命题“对任意的x∈R,x2-x-1≤0”是全称量词命题,因为当x=2时,22-2-1=1>0,所以原命题是假命题.原命题的否定:存在x∈R,x2-x-1>0.(2)命题“所有能被5整除的整数都是奇数”是全称量词命题,因为10能被5整除,10是偶数,所以原命题是假命题.原命题的否定:存在一个能被5整除的整数不是奇数.(3)命题“对任意的x∈Q,13x2+12x+1是有理数”是全称量词命题,因为有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数,原命题的否定:存在x∈Q,13x2+12x+1(4)命题“有些实数的绝对值是正数”是存在量词命题,因为实数-2的绝对值2是正数,所以原命题是真命题.原命题的否定:所有实数的绝对值不是正数.(5)命题“∃x0,y0∈Z,2x0+y0=3”是存在量词命题,因为当x0=0,y0=3时,2x0+y0=3,所以原命题是真命题.原命题的否定:∀x,y∈Z,2x+y≠3.19.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.(1)若命题p:∀x∈B,x∈A是真命题,求实数m的取值范围;(2)若命题q:∃x∈B,x∈A是真命题,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为命题p:∀x∈B,x∈A是真命题,所以B⊆A,当B=⌀时,m+1>2m-1,解得m<2;当B≠⌀时,m+1≤2m-1,m+1≥-2,2m-1≤5,解得2≤m综上,实数m的取值范围为(-∞,3].(2)因为q:∃x∈B,x∈A是真命题,所以A∩B≠⌀,所以B≠⌀,即m≥2,所以m+1≥3,所以使A∩B≠⌀只需满足m+1≤5即可,即m≤4.故实数m的取值范围为[2,4].20.已知全集U=R,集合A={x|1<x≤3},集合B={x|2m<x<1-m}.(1)若A∩B≠B,求实数m的取值范围;(2)若∀x1∈A,∃x2∈B,使得x1=x2,求实数m的取值范围.【解析】(1)若A∩B=B,则B⊆A,当B=⌀时,则2m≥1-m,解得m≥13当B≠⌀时,则2m<1-m,2m≥1,1-m≤3,m综上,若A∩B≠B,则实数m的取值范围为-∞,13.(2)∵∀x1∈A,∃x2∈B,使得x1=x2,∴A⊆B,且A≠⌀,则2m≤1,1-m>3,∴m<-∴实数m的取值范围为(-∞,-2).21.设A={x|x≤1或x≥4},B={x|a-2<x<2a,a>0}.(1)若A∪B=R,求实数a的取值范围;(2)设p:x∈A,q:x∈B,且p是q的必要而不充分条件,求实数a的取值范围.【解析】(1)∵A∪B=R,∴a-2≤1,2a≥4,解得2≤a≤3,故实数a的取值范围是[2,3](2)依题意知,B⫋A,又B≠⌀.∴a>0,2a≤1或a>0,a-2≥4,解得0<a≤12或故实数a的取值范围是a0<a≤12或a≥6.22.在①A∩B=A;②A∩(RB)=A;③A∩B=⌀这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,求解下列问题:已知集合A={x|a-1<x<2a+3},B={x|-2≤x≤4}.(1)当a=2时,求A∪B;(2)若,求实数a的取值范围.

【解析】(1)当a=2时,集合A={x|1<x<7},B={x|-2≤x≤4},则A∪B={x|-2≤x<7}.(2)若选择①A∩B=A,则A⊆B,当a-1≥2a+3,即a