19.3 命题和逆定理（解析版）

19.3命题和逆定理知道原命题、逆命题、互逆命题、逆定理、互逆定理的含义2.会写一个命题的逆命题，并会证明它的真假3.知道每一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理知识点一互逆命题、原命题、逆命题概念在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题原命题与逆命题是相对的,每个命题都有逆命题.原命题是真命题,逆命题不一定是真命题;原命题是假命题，逆命题不一定是假命题拓展:符号语言表示原命题:如果p,那么q;逆命题:如果q,那么p.2.方法写原命题的逆命题时,首先要分清这个命题的题设和结论，最好先将原命题改写成“如果…,那么…”的形式，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论，再根据改写后的命题写出原命题的逆命题.即学即练1（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）下列命题的逆命题是假命题的是（

）A．直角三角形的两个锐角互余B．两直线平行，内错角相等C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形D．若，则【答案】D【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．【详解】解：A、逆命题为两角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意；B、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；C、逆命题为全等三角形的三条边对应相等，正确，是真命题，不符合题意；D、逆命题为若，则，∵若，则，∴错误，是假命题，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．即学即练2（2022秋·上海·八年级专题练习）命题“对顶角相等”的逆命题是．【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角【分析】交换原命题中的题设和结论的位置即可．【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．【点睛】本题考查了逆命题的定义，熟知交换原命题中的题设和结论的位置即为原命题的逆命题是解本题的关键．知识点二互逆定理、逆定理如果一个定理的逆命题经过证明也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理注意①互逆定理，其题设与结论互换，说明问题时,其推理的方向正好相反②每一个命题都有逆命题，而每一个定理不一定都有逆定理.定理和逆定理都是真命题，而命题和逆命题却不一定都是真命题.即学即练1（2022秋·上海·八年级专题练习）下列定理中，没有逆定理的是（

）．A．两直线平行，同旁内角互补B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等C．等腰三角形两个底角相等D．同角的余角相等【答案】D【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题．【详解】解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故本选项不符合题意；B、逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项不符合题意；C、逆命题是：如果三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项不符合题意；D、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，是假命题，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了互逆定理的知识，如果一个定理的逆命题是假命题，那这个定理就没有逆定理．即学即练2（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）下列定理中，没有逆定理的是（

）A．两直线平行，同旁内角互补； B．两个全等三角形的对应角相等C．直角三角形的两个锐角互余； D．两内角相等的三角形是等腰三角形【答案】B【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答．【详解】A．其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理；B．其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理；C．其逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理；D．其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理．故选B．【点睛】本题考查了命题与定理的区别，正确的命题叫定理．题型1写出一个命题的逆命题例1（2022秋·上海·八年级阶段练习）写出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题：如果，那么．【答案】三角形两边上的高相等这个三角形是等腰三角形【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；【详解】命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题：如果三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．故答案为：三角形两边上的高相等，这个三角形是等腰三角形．【点睛】本题主要考查命题与定理的知识点，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．举一反三1（2022秋·上海·八年级专题练习）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是．【答案】有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形【分析】根据逆命题的定义写出即可．【详解】解：命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形”．故答案是：有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，掌握逆命题的定义是解题的关键．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．举一反三2（2022秋·上海·八年级专题练习）“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是【答案】若一个三角形两条边上的高相等，则三角形是等腰三角形【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.【详解】解：命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题：若三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形．故答案为：若三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形．【点睛】本题主要考查命题与定理的知识点，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．题型2判断一个命题的逆命题的真假例2（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）下列定理中，如果其逆命题是真命题，那么这个定理是（

）A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余C．全等三角形的对应角相等 D．邻补角互补【答案】B【分析】根据题意，分别写出逆命题，再逐项判断即可求解．【详解】解：A.对顶角相等，逆命题为：相等的角是对顶角，原命题的逆命题是假命题，故该选项不正确，不符合题意；B.直角三角形的两个锐角互余，逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形，原命题的逆命题是真命题，故该选项正确，符合题意；C.全等三角形的对应角相等，逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，原命题的逆命题是假命题，故该选项不正确，不符合题意；D.邻补角互补，逆命题为：互补的两个角是邻补角，原命题的逆命题是假命题，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了真假命题的判断，写出原命题的逆命题，掌握相关性质定理是解题的关键．举一反三1（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）下列命题中，其逆命题是假命题的是（

）A．同旁内角互补，两直线平行 B．若，则C．锐角与钝角互为补角 D．相等的角是对顶角【答案】C【分析】先写出各选项的逆命题，再逐个判断即可．【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，为真命题，选项不符合题意；B、若，则的逆命题为若，则，为真命题，选项不符合题意；C、锐角与钝角互为补角的逆命题为若两个角互补，则这两个角分别为锐角、钝角，为假命题，选项符合题意；D、相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，为真命题，选项不符合题意；故选：C【点睛】此题考查了命题的逆命题以及真假命题，解题的关键是正确写出命题的逆命题．举一反三2（2019秋·上海浦东新·八年级上海市建平中学西校校考阶段练习）命题“如果，那么a＝b”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．【答案】真【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，可得答案．【详解】解：∵“如果，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么．”∴“如果，那么a＝b”的逆命题是真命题，故答案为：真．【点睛】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．一、单选题1．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）下列命题的逆命题是假命题的是（

）A．同位角相等，两直线平行 B．在一个三角形中，等边对等角C．全等三角形三条对应边相等 D．全等三角形三个对应角相等【答案】D【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可解答．【详解】解：A、逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，为真命题；B、逆命题为：在一个三角形中等角对等边，正确，是真命题；C、逆命题为：三条边对应相等的三角形全等，正确，是真命题；D、逆命题为：三个角对应相等的三角形全等，错误，为假命题，故选：D．【点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，能够正确的写出原命题的逆命题是解题的关键．2．（2022秋·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）下列命题中，逆命题是假命题的是（）A．等边三角形的三个内角都等于60°B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等D．相等的两个角是对顶角【答案】B【分析】先分别确定各命题的逆命题，再判断真假即可．【详解】A选项的逆命题是“三个内角都等于的是等边三角形”，是真命题，所以不符合题意；B选项的逆命题是“如果两个三角形的对应角都相等，那么这两个三角形全等”，可知这两个三角形不一定全等，是假命题，所以符合题意；C选项的逆命题是“如果两个三角形的对应边都相等，那么这两个三角形全等”，根据“”可知两个三角形全等，是真命题，所以符合题意；D选项的逆命题是“对顶角相等”，是真命题，所以不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了逆命题，真假命题的判断，掌握性质定理及逆定理是解题的关键．3．（2021秋·上海普陀·八年级统考期末）如果下列命题中，有一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题是（

）A．邻补角互补 B．直角三角形的两个锐角互余C．全等三角形的对应角相等 D．等腰三角形是轴对称图形【答案】B【分析】分别写出原命题的逆命题后判断正误即可．【详解】解：、逆命题为：互补的角是邻补角，错误，是假命题，不符合题意；、逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，符合题意；、逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意；、逆命题为轴对称图形是等腰三角形，错误，是假命题，不符合题意．故选：B．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．4．（2022秋·上海·八年级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（

）A．若，则 B．同位角相等，两直线平行C．对顶角相等 D．若，，则【答案】B【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．【详解】解：A、若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题，不符合题意；B、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题是真命题，符合题意；C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；D、若，，则的逆命题是若，则，，逆命题是假命题，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．5．（2022秋·上海·八年级专题练习）下列命题中,其逆命题是真命题的命题个数（

)(1)全等三角形的对应角相等;(2)对顶角相等;(3)等角对等边;(4)两直线平行,同位角相等;(5)全等三角形的面积相等;A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．【详解】（1）逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，错误；（2）逆命题是：相等的角是对顶角，错误；（3）逆命题是等边对等角，正确；（4）逆命题是同位角相等，两条直线平行，正确；（5）逆命题是面积相等，两三角形全等，错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了逆命题的定义及真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真，难度适中．二、填空题6．（2022秋·上海闵行·八年级校考期中）命题“对顶角相等”的逆命题是一个命题（填“真”或“假”）．【答案】假【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．故答案为：假．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．7．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是命题．(填“真”或“假”)【答案】假【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，把题设与结论互换即可得到逆命题，然后判断正误即可．【详解】解：“全等三角形的对应角相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，因而逆命题是：对应角相等的三角形全等．是一个假命题．故答案为：假．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）定理“等腰三角形的两腰相等”的逆命题.【答案】有两边相等的三角形是等腰三角形【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【详解】解：命题“等腰三角形的两腰相等”的逆命题是：两边相等的三角形是等腰三角形.故答案为两边相等的三角形是等腰三角形．【点睛】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．9．（2022秋·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是．【答案】内错角相等，两直线平行【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等．将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，可简说成“内错角相等，两直线平行”．故答案为：内错角相等，两直线平行．10．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是命题．（填入“真”或“假”）【答案】假【详解】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题．故答案为：假．【点睛】本题考查了命题的真假性，解决此题的关键是会写出原命题的逆命题．11．（2022秋·上海松江·八年级校考阶段练习）“同位角相等”的逆命题是．【答案】相等的两个角是同位角．【详解】因为“同位角相等”的题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”，所以命题“同位角相等”的逆命题是“相等的两个角是同位角”．故答案为：相等的两个角是同位角三、解答题12．（2019秋·八年级课时练习）写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假：（1）若，则；（2）如果一个三角形有一个内角是钝角，那么它的另外两个内角是锐角．【答案】见解析.【详解】试题分析：分别写出各个命题的逆命题，然后判断真假即可．试题解析：（1）逆命题是：若，则．原命题是真命题，逆命题是假命题；（2）逆命题：如果一个三角形有两个内角是锐角，那么这个三角形的另一个内角是钝角．原命题是真命题，逆命题是假命题13．（2020·八年级校考课时练习）已知：P是线段AB的中点，∠1＝∠2，PD＝PC，求证：∠C=∠D

【答案】见解析【分析】由角的和差关系可得∠CPB=∠DPA