专题14.2 因式分解（压轴题专项讲练）（人教版）（解析版）

专题14.2因式分解【典例1】【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+c进行因式分解呢？我们已经知道，a1xc1a2xc2a1a2x2a1c2xa2c1xc1c2a1ax2a1c2a2c1xc1反过来，就得到：a1我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为a1xc1像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子x2-x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2=－1，恰好等于一次项的系数－1，于是x2-x-6就可以分解为(x2)(请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2-x-6=【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：（1）2x2+5x-7（2）6x2-7xy+2【探究与拓展】对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=mxpyjnx（1）分解因式3x2+5xy-2（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y（3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y=-1【思路点拨】【阅读与思考】利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；【理解与应用】（1）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；（2）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；【探究与拓展】（1）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可得到答案；（2）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可求解；（3）根据二元二次多项式的十字相乘法，对方程进行分解因式，化为二元一次方程，进而即可求解．【解题过程】解：【阅读与思考】画十字交叉图：∴x2-x-6=x-3x2故答案是：x-3x2；【理解与应用】（1）画十字交叉图：∴2x25x7=x12x7，故答案是：x12x7；（2）画十字交叉图：∴6x27xy2y2=2xy3x2y，故答案是：2xy3x2y；【探究与拓展】（1）画十字交叉图：∴3x25xy2y2x9y4x2y13xy4，故答案是：x2y13xy4；（2）如图，∵关于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成两个一次因式的积，∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3=－24，7=1×(－2)+1×9，－5=1×(－8)+1×3，∴m=9×3+(－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3=－78．∴m的值为：43或－78；（3）∵x2∴x2画十字交叉图：∴(x+2y+1)(x+y+1)=0，∴x+2y+1=0或x+y+1=0，∵x，y为整数，∴x=－1，y=0是一组符合题意的值．1．（2023春·江苏·七年级专题练习）因式分解：15x2+13xy﹣44y2＝_____．【思路点拨】利用十字相乘法，分别对二次项系数，常数项进行因数分解，交叉乘加，检验是否得中项的系数，从而确定适当的“十字”进行因式分解．【解题过程】解：利用十字相乘法，如图，将二次项系数、常数项分别分解，交叉乘加验中项，得出答案，15x2+13xy﹣44y2＝（3x﹣4y）（5x+11y）．故答案为：（3x﹣4y）（5x+11y）．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：x6-28【思路点拨】利用整体思想及十字相乘法与立方差公式求解．【解题过程】解：原式=x=x=x-1故答案为：x-1x3．（2023春·七年级课时练习）分解因式：a4-4【思路点拨】本题有a的四次项、a的三次项，a的二次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组，前三项提取公因式后可以利用完全平方公式分解因式，然后还可以与第四项继续利用平方差公式分解因式．【解题过程】解：a=(=a=(=(a-3)(a+1)(故答案为：(a-3)(a+1)(a4．（2023春·七年级课时练习）因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝_____．【思路点拨】首先将11x拆项，进而利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案．【解题过程】解：x3﹣6x2+11x﹣6＝x3﹣6x2+9x+2x﹣6＝x（x2﹣6x+9）+2（x﹣3）＝x（x﹣3）2+2（x﹣3）＝（x﹣3）[x（x﹣3）+2]＝（x﹣3）（x2﹣3x+2）＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．故答案为：（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．5．（2023春·七年级课时练习）因式分解：6x2【思路点拨】将原式进行拆解变形为6x2【解题过程】解：6=6=2x-y3x-y+4=2x-y=2x-y+33x-y+4所以答案为2x-y+33x-y+46．（2023春·七年级课时练习）分解因式：x+y-2xyx+y-2+【思路点拨】先利用乘法公式展开、合并得到原式=x+y2-2【解题过程】解：原式=x+y=x+y=x+y=x+y==(x-1)(y-1)=x-1故答案为：x-127．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：（1）x（2）x（3）x（4）x（5）x（6）x（7）x（8）x（9）x（10）x（11）x（12）x【思路点拨】（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）利用十字相乘法分解因式即可；（3）利用十字相乘法分解因式即可；（4）利用十字相乘法分解因式即可；（5）利用十字相乘法分解因式即可；（6）利用十字相乘法分解因式即可；（7）利用十字相乘法分解因式即可；（8）利用十字相乘法分解因式即可；（9）利用分组分解法分解因式即可；（10）利用分组分解法分解因式即可；（11）利用分组分解法分解因式即可；（12）利用分组分解法分解因式即可．【解题过程】（1）解：x∴x2（2）解：x∴x（3）解：x∴x2（4）解：x∴x2（5）解：3∴3x（6）解：3∴3x（7）解：-12∴原式=-3x-4（8）解：-3∴原式=-x+2（9）解：x==x+y（10）解：x==x（11）解：a===a+2+3b（12）解：a===a+2b-28．（2022秋·全国·八年级专题练习）因式分解：（1）x2（2）x2（3）x2（4）x2（5）x2【思路点拨】（1）先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解．（2）运用公式法进行因式分解．（3）先化简，再运用十字相乘法进行因式分解．（4）先化简，再运用提公因式法进行因式分解．（5）先分组，再提公因式进行因式分解．【解题过程】（1）解：（1）-2＝-2x＝-2x(x-2)(x-6)．（2）(＝a＝a+b＝a+b+c(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)（3）(＝x＝x＝x＝x+1（4）x+y＝x+y＝x＝x＝3＝3xyx+y（5）x＝x＝x＝x＝(x-1)(x9．（2023春·七年级课时练习）因式分解：（1）x2（2）x2（3）x2【思路点拨】（1）利用分组法变形为a2（2）利用十字相乘法xx（3）变形为x2【解题过程】（1）解：原式===(a+2b-3c)(a-2b+3c)；（2）解：原式=(x-5)(x+3)；（3）解：原式===(x+y-5)(x-y+1)．10．（2022秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期末）分解因式：（1）3a(（2）2b（3）计算：24（4）4x【思路点拨】（1）综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可得；（2）利用分组分解法进行因式分解即可得；（3）先利用公式法分解x4+14和（4）先利用十字相乘法分解4x【解题过程】解：（1）原式=3a=3a(=3a(b+3)（2）原式===2b-1（3）∵xx+1==x∴x+1∴===85；（4）原式====4x-2y+111．（2022秋·全国·八年级专题练习）把下列多项式分解因式：（1）a（2）a（3）a（4）1+y【思路点拨】（1）（2）（3）利用分组分解法分解即可；（4）利用完全平方公式分解即可．【解题过程】解：（1）a=a+2b=a+2b-ca+2b（2）a=a=a+b+c=xx+1（3）a=a=a-y=a-y=-x-a-b+y（4）1+y=1+y=1+y=x212．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：（1）2a（2）x（3）4（4）y【思路点拨】（1）利用提公因式法分解因式求解即可；（2）利用换元法设x2（3）首先提公因式，然后利用平方差公式分解因式，最后再利用提公因式法分解因式即可求解；（4）首先去括号，然后利用完全平方公式分解因式，最后利用平方差公式分解因式求解即可．【解题过程】（1）2a=2a=2a=2aa-1（2）设x2∴原式=∴x==x+1（3）4=x=x=x=x2x+3y（4）y====y-2+m13．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：x【思路点拨】前三项利用十字相乘法分解，再设多项式分解因式为(x-y+a)(x+2y+b)，展开后利用等式的性质求得a=-5z，b=2z，即可分解．【解题过程】解：x=(x-y)(x+2y)-3xz-12yz-10z设多项式分解因式为(x-y+a)(x+2y+b)，则(x-y+a)(x+2y+b)=x2+xy-2y2+(a+b)x+(2a-b)y+ab，∴a+b=-3z，2a-b=-12z，ab=-10z2，解得：a=-5z，b=2z，∴x=(x-y-5z)(x+2y+2z)．14．（2022秋·全国·八年级专题练习）因式分解：（1）2（2）x【思路点拨】（1）先将x2+6x+1和（2）原式是关于x、y、z的轮换式，若将原式视为关于x的多项式，则当x=y时，原式=0，故原式含有因子x-y，又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子y-z，z-x，又因为原式为x，y，z的五次式，因此可以设x2y-z3【解题过程】（1）解：2==9x=9（2）解：当x=y时，原式等于0，故原式含有因子x-y，又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子y-z，z-x，又因为原式为x，y，z的五次式，故可设x2y-z令x=-1，y=0，z=1得2A-B=-1，令x=0，y=1，z=2得5A+2B=2，解得A=0，B=1，所以x215．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）当m为何值时，多项式6x2+mxy-5y2【思路点拨】先将x项和常数项进行十字分解，设出两个因式，两式相乘与原式比较，列出方程求解即可．【解题过程】解：利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式6x2+mxy-5y2现在要考虑y，只须先改写作2x-7+ay3x+3+by然后根据-5y2，38y这两项，即可断定是：解得：a=1，b=-5或a=353，又∵m=2b+3a，∴当a=1，b=-5时，m=-7，当a=353，b=-316．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3【思路点拨】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．【解题过程】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3=（B-3）（B+1）=（m2-2m-3）（m2-2m+1）=（m-3）（m+1）（m-1）2，所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．17．（2022秋·全国·八年级专题练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x（2）分解因式：9m（3）分解因式：4a【思路点拨】（1）先运用平方差公式，再提取公因式即可；（2）先移项，再提取公因式，再逆用完全平方公式，最后提取公因式即可；（3）先移项，再提取公因式，再逆用完全平方公式，平方差公式即可．【解题过程】（1）解：x==x+y（2）解：9=9=9=3m+2x-y（3）解：4==4===2a+118．（2022秋·全国·八年级期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解：首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝．（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值：．（3）请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解．【思路点拨】（1）用十字相乘法分解．（2）根据因式分解的结果进行计算，比较系数即可求解；（3）先分组，再用待定系数法分解．【解题过程】（1）解：x2﹣15x﹣34＝x2+（﹣17+2）x+（﹣17×2）＝（x﹣17）（x+2）．故答案为：（x﹣17）（x+2）．（2）∵（x+a）（x2+bx+c）＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．∴x3﹣3x2+4＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．∴a+b＝﹣3，ab+c＝0，ac＝4．解得：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2或a＝1，b＝﹣4，c＝4．故选填一组即可．故答案