2023-2024学年四川省达州市达川区达川第四中学九年级上册12月月考数学试题（含解析）

四川省达川第四中学2023年（下）12月教学质量检测九年级数学试题一、单选题（每小题4分，共32分）1．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（

）A．米 B．米 C．21米 D．42米2．如图是由五个完全一样的正方体搭建而成的立体图形，它的主视图是（

）A． B．C． D．3．将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后所得抛物线表达式为（）A． B． C． D．4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根5．山西老陈醋是中国四大名醋之一，已有3000余年的历史，素有“天下第一醋”的盛誉，以色、香、醇、浓、酸五大特征著称于世．某工厂2020年老陈醋的产量为5万吨，随着引进新技术，在2022年的产量预计能达到万吨，设年平均增长率为x，则可列方程为（

）A． B．C． D．6．已知，则的值为（

）A． B． C． D．7．如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在距离路灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM的长为（

）A．1.25米 B．5米 C．6米 D．4米8．如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿所在直线翻折得到，延长交边于点G，连接，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（

）

A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（每小题4分，共28分）9．两个相似三角形的周长之比为，那么它们的相似比为．10．若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=．11．如图，点G是正方边AB上一点，以为边作正方形，延长交于点H，当矩形与正方形面积相等时，则．

12．将号码分别为1，2，…，9的9个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使等式成立的事件发生的概率等于．13．已知点C是线段AB的黄金分割点，且，，则AC长是．14．二次函数的图像的顶点坐标是．15．如图，平行四边形ABCD中，BD=2AD，AC与BD相交于点O，E为OA中点，F为OB中点，M为DC中点；①DE⊥AO；②FM⊥AC；③∠BAC=∠ACF；④四边形EFCM为正方形．其中正确的有（填序号）三、解答题（90分）16．计算：(1)(2)解方程：．(3)先化简，再求值：，其．17．按下列要求在如图格点中作图：（1）作出△ABC关于原点成中心对称的图形△A'B'C'；（2）以点B为位似中心，作出△ABC放大2倍的图形△BA″C″．18．已知二次函数．(1)将化成的形式；(2)在右图中画出二次函数C的图象；(3)当时，利用图象直接写出y的取值范围；(4)当时，利用图象直接写出x的取值范围．19．“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就安全知识的了解程度，采用随机抽样的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如所示两幅不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：(1)接受问卷调查的学生共有_____人；(2)请补全条形统计图；(3)若从对校园安全知识达到了“了解”程度的2个男生和3个女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．20．某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线于地面夹角保持不变（用图（2）解答）①求树与地面成45°角时的影长；②求树的最大影长．21．安阳文峰塔，原名天宁寺塔，迄今已有一千多年．此塔形制特殊，上大下小，呈全状，在我国古塔中极为少见．某数学小组测量文峰塔的高度，如图，他们选取的测量点与塔的底部在同一水平线上．已知塔顶为高10米的塔刹，在处测得塔顶的仰角为，塔尖底部的仰角为，求塔的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，）22．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F.

（1）求证：△CDE∽△CBF；（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长.23．在中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．(1)求证：；(2)点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且．若，，求AН的长．24．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2．(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)点P是x轴上一点，连接PA，PB，若，求点P的坐标；(3)请根据图象直接写出不等式的解集．25．实行垃圾分类和垃圾资源化利用，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现.某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可利用最新技术将干垃圾进行分选破碎制成固化成型燃料棒，干垃圾由此变身新型清洁燃料.某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费万元，购买乙型智能设备花费万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为万元.求甲、乙两种智能设备单价；垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售.已知燃料棒的成本由人力成本和物资成本两部分组成，其中物资成本占总成本的，且生产每吨燃料棒所需人力成本比物资成本的倍还多元.调查发现，若燃料棒售价为每吨元，平均每天可售出吨，而当销售价每降低元，平均每天可多售出吨.垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到元，且保证售价在每吨元基础上降价幅度不超过，求每吨燃料棒售价应为多少元？参考答案与解析1．A【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）.故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．2．A【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，故选：A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．3．B【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，解题的关键是：直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．【详解】解：将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，平移后的抛物线的解析式为：，即．故选：B．4．B【分析】根据数轴可知，，计算一元二次方程根的判别式即可求解．【详解】解：观察数轴可知：，，∵在一元二次方程中，，∴该方程有两个不相等的实数根．故选B【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，数轴，根据数轴判断，是解题的关键．5．B【分析】根据题意列出方程即可．【详解】解：∵2020年老陈醋的产量为5万吨，随着引进新技术，在2022年的产量预计能达到万吨，设年平均增长率为x，∴可列方程为，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键．6．B【分析】根据两内项之积等于两外项之积用x表示出y，然后代入比例式进行计算即可得解．【详解】解：∵，∴y＝，∴＝＝．故选：B．【点睛】本题考查了比例的性质，用x表示出y是解题的关键．7．B【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形对应边成比例可得出小明的影子AM的长．【详解】如图，根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知，即，解得AM=5m．则小明的影子AM的长为5米．故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．8．C【分析】根据沿对折至，得到，可判定；设，则，根据勾股定理，得到，，得到；根据，，得到即，可判定；计算，由折叠和三角形全等，可判定，利用直角三角形的性质计算即可．【详解】∵沿对折至，四边形是正方形，∴，∴，∴①正确；

∵，，∴，设，则，根据勾股定理，得到，，得到，∴②正确；∵，，∴即，∴；∴③正确；∵，∴，∵FG：EF=6：4=3：2，∴∴④正确；由折叠和三角形全等，∴，∴∴⑤错误．故选C．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等判定和性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的判定，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键．9．##【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．【详解】解：∵两个相似三角形的周长之比为，∴它们的相似比为．故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．10．-2【详解】把x=1代入+3mx+n=0得：1+3m+n=0，∴3m+n=﹣1，∴6m+2n=2（3m+n）=2×（-1）=﹣2，故答案为：-2【点睛】考点：整体思想求代数式的值.11．【分析】，，根据矩形与正方形面积相等列出方程，然后解一元二次方程即可．【详解】设，，∵矩形与正方形面积相等，∴，∴∴，∴解得（负值舍去），∴．故答案为：．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正方形和矩形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．12．【分析】试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有种结果，满足条件的事件是使等式成立的，列举出当，2，3，4，5，6，7，8，9时的所有的结果，得到概率．【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有种结果，满足条件的事件是使等式成立的，当时，，（舍去）当时，，（舍去）当时，，（舍去）当时，，（舍去）当时，，（舍去）当时，，当时，，当时，，当时，，∴共有4种结果∴所求的概率是，故答案为．【点睛】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．注意a、b的取值范围．13．##【分析】根据黄金比值是计算即可．【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，∴BC=AB=×2=-1，则AC=2-(-1)=3-，故答案为：．【点睛】本题主要考查黄金分割，黄金分割的定义是：“把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是，近似值为0.618”．14．【详解】可以利用二次函数的顶点坐标公式代入求出顶点坐标．也可以用配方法求出顶点坐标：，∴抛物线的顶点坐标是．故答案为．【易错点分析】用二次函数一般式中各项系数表示的顶点坐标公式记忆容易混淆，尤其是顶点纵坐标的分子与一元二次方程根的判别式混淆，而导致错误．将二次函数一般式用配方法写成顶点式时，其顶点坐标为，而不是，或是对配方法应用不熟练而出现的计算失误导致出错．15．①②③【分析】利用等腰三角形的三线合一，可判断①正确；利用平行四边形的判定和性质，可判断四边形EFMD，四边形EFCM都平行四边形，得到EDFM，得证FM⊥AC，可以判断②正确，从而判定四边形EFCM是菱形，得证EF=FC，利用三角形中位线定理，得证∠BAC=∠FEC=∠ACF，从而判定③正确，④错误．【详解】因为平行四边形ABCD中，BD=2AD，AC与BD相交于点O，E为OA中点，F为OB中点，M为DC中点，所以AE=EO，AD=OD=OB=BC，OF=FB，DM=CM，AB=CD，AB∥CD，所以DE⊥AO，EFABCD，EF=，所以四边形EFMD，四边形EFCM都平行四边形，∠BAC=∠FEC；所以DEFM，所以FM⊥AC，所以四边形EFCM是菱形，所以EF=FC，所以∠ACF=∠FEC；所以∠BAC=∠ACF；所以正确的有①②③，错误的是④．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握菱形的判定，三角形中位线定理是解题的关键．16．(1)1(2)，(3)，【分析】本题考查解一元二次方程，二次根式的混合运算，分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则，二次根式混合运算的法则及一元二次方程的求解方法是解题关键．（1）根据绝对值的性质、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数次幂的意义进行计算即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）根据分式的混合运算法则把原式化简，，得，代入计算得到答案．【详解】（1）解：原式；（2），，，，，；（3），由，得，原式．17．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）直接利用关于原点对称图形的性质即可画出对应图形；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而画出对应图形．【详解】解：（1）如图所示：△A'B'C'，即为所求；（2）如图所示：△BA″C″，即为所求．【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．18．(1)(2)见解析(3)(4)【分析】本题主要考查了把抛物线解析式化为顶点式，画抛物线函数图象，抛物线与不等式之间的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键．（1）利用配方法把抛物线解析式化为顶点式即可；（2）先列表，然后描点，最后连线画出函数图象即可；（3）（4）利用图象法求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：如图所示，即为所求；列表如下：…01234……3003…（3）解：由函数图象可知，当，；（4）解：由函数图象可知，当时，．19．(1)60(2)见解析(3)【分析】（1）用组的频数除以它的频率得到调查的总人数；（2）先计算出组的频数，然后补全条形统计图；（3）画树状图展示所有20种等可能的结果，找出选出的2人恰好一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）解：，所以接受问卷调查的学生共有60人；故答案为60；（2）“”组的人数为：（人，补全条形图如图所示：（3）画树状图为：由树状图可知，共有20种等可能的结果，而选出的2人恰好一男一女的结果有12种，（选中一男一女）．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．20．（1）树高约为6.8米；（2）①树与地面成45°角时的影长约为13.5米；②树的最大影长约为14米.【分析】（1）在直角△ABC中，已知∠ACB＝30°，AC＝12米．利用三角函数即可求得AB的长；（2）①在△AB1C1中，已知AB1的长，即AB的长，∠B1AC1＝45°，∠B1C1A＝30°．过B1作AC1的垂线，在直角△AB1N中根据三角函数求得AN，BN；再在直角△B1NC1中，根据三角函数求得NC1的长．即可求解；②当树与地面成60°角时影长最大，根据三角函数即可求解．【详解】（1）AB＝ACtan30°＝（米）．答：树高约为6.8米．（2）作B1N⊥AC1于N．①如图（2），B1N＝AN＝AB1sin45°＝4（米）．NC1＝NB1tan60°＝2米）．AC1＝AN+NC1＝5+8.5＝13.5（米）．答：树与地面成45°角时的影长约为13.5米．②如图（2），当树与地面成60°角时影长最大AC2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大）AC2＝2AB2≈14．答：树的最大影长约为14米．【点睛】一般三角形的计算可以通过作高线转化为直角三角形的问题．21．塔的高度约为38.8米【分析】在中，表示出，在中，表示出，设，则，得到，解方程即可得到的长度，最后由进行计算即可得到答案．【详解】解：在中，，∴，在中，，∴，∴设，则，，即，解得：，∴，答：塔的高度约为38.8米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，根据题意得到是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）CD=【分析】（1）如图，通过证明∠D=∠1，∠2=∠4即可得；（2）由△CDE∽△CBF，可得CD：CB=DE：BF，根据B为AF中点，可得CD=BF，再根据CB=3，DE=1即可求得.【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°，∵CF⊥CE，∴∠4+∠3=90°，∴∠2=∠4，∴△CDE∽△CBF；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∵B为AF的中点，∴BF=AB，∴设CD=BF=x，∵△CDE∽△CBF，∴，∴，∵x>0，∴x=，即：CD=.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．也考查了矩形的性质23．(1)见解析(2)【分析】（1）根据中点和平行证明，结合平行四边形的性质可证；（2）根据角平分线和平行得出，再根据，列比例式求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴，，∴，∵E为DC中点，∴在和中∴，∴，∴（2）解：∵，∴∵，∴∴，∵，∴，∵，∴，