参赛队员：郭屹峰

参赛队员 郭屹学校 广东实验中省份 广东指导教师 郭卫论文题目： 多变量半参数有限混合模softistics20062007年先后发表了两篇关于单变量半参数有限混合模型的高质量文章。然R软件包OldFaithful数据集。此数据集记录了美国黄石国家公园(YellowstoneNationalPark)OldFaithful间歇泉每次喷发所持续的时间以及两次喷发之间OldFaithfulJeanPiaget用于评价儿童对物质世界理解力的实验数据。此实验首先发给每个儿童一11，4，2，7，10，5，1，88个带有盖子mf(x)= j=其中，mOldFaithfulm=2mm=2m=3.混合比例λjjj，λ>0并且∑m𝜆=1.fj j=1 1OldFaithfulJeanPiaget心理8个不同指向的矩形器皿的示意图。在有限混合分布(1)中，如果混合元fj(𝑥)≡𝑓(𝑥;𝜙𝑗)j限混合模型称为参数有限混合模型。例如，若f(x;𝛟jf(x;(μj,σ2))jjN(μj,σ2)的密度函数，则有限混合模型(1)j参数θ（Basak199321983a,b3BayesWest19954 f(x)= j= 𝑙=其中，X(X1,…,Xk)𝖳为k变量的随机向量。fjl为第j个混合元的第l个边缘密度函和λ=(λ1,…,λm)（2而当k≤2时，模型是不可识别的。Hall等人（2005）KasaharaShimotsu（2008）m>2的一般性结果，却发现一般性结果是相当难以找到的。后来，Allman等人（2009）Kruskal（1977）的一个定理给出了对于任何变量个数k3m为多少，非参数有限混合模型（2）的可识别性条件：只要边缘密度函数f1l,…,fmlLebesgue0（2k=1或者k=2OldFaithfulk=1的问题。为了使得单变量情况下能Bordes等人（2006）Hunter等人（2007）独立的研究了下面的单变量位置变G(x)=λF(x‒μ1)+(1‒λ)F(x‒μ2),x∈ 其中，λ∈(0,1)为混合比例，μ1,𝜇2为两个位置参数，F(⋅)对称的分布函数。因为模型（3）不仅涉及到未知参数(λ,μ1,μ2)FF关于零对称的假设下，Bordes等k2的情况，尽管可以转化为模型（3）一维一维来处理，但是这样做忽略了多G(x)=λF(x‒μ1)+(1‒λ)F(x‒μ2),x∈ 其中，λ∈(0,1)为混合比例，μ1,𝜇2为两个k维的位置参数，F(⋅)（4‒问题经常称为“标签转换(labelswitching)”问题。在模型（4）中，此问题可以通过限制λ∈(0,1/2)容易得到解决。下面为了表达方便，我们首先约定一些符号。记ℵ函数的集合。对于两个k维向量α=（α1,…,αk）和β=(β1,…,βk)，α=β于所有的1≤i≤k，均有αi=𝛽𝑖；而α≠β则意味着至少存在一个1≤i≤kαi≠𝛽𝑖。记Δ为R2k空间上所有满足α=β12212Ω(λ,μ,μ):λ(0,1)(μ,μ(𝑅2𝑘\Δ)}。则半参数有限混合模型（4）12212空间为Ω×ℵ（41t∈Rk1λF(x‒μ1)+(1‒λ)F(x‒μ2)=λ'F'(x‒μ')+(1‒λ')F'(x‒ 1成立。那么如果模型（4）λ=λ',μ1=𝜇𝜇=𝜇F=F' 下面我们给出模型（4）定理2.1.若存在Ω上的两组参数向量（λ,μ1,μ2,F）和(λ',μ,μ,F')（4，1=1 =𝐸(𝑒𝑖𝑡𝖳𝑋)=∫𝑒𝑖𝑡𝖳𝑥𝑑(𝑥)=𝜆∫𝑒𝑖𝑡𝖳𝑥𝑑(𝑥‒𝜇)+(1‒𝜆)∫𝑒𝑖𝑡𝖳𝑥𝑑(𝑥‒𝜇

=𝜆𝑒𝑖𝑡𝖳𝜇1∫𝑒𝑖𝑡𝖳𝑥𝑑(𝑥)+(1‒={𝜆𝑒𝑖𝑡𝖳𝜇1+(1‒𝜆)𝑒𝑖𝑡𝖳𝜇2}𝜙

=[{𝜆cos(𝑡𝖳𝜇1)+(1‒𝜆)cos(𝑡𝖳𝜇2)}+i{𝜆sin(𝑡𝖳𝜇1)+(1‒𝜆)s 其中：𝜙(𝑡)∫𝑒𝑖𝑡𝖳𝑥𝑑𝐹(𝑥)表示关于原点对称的随机向量Z~F(的特征函数。A=λcos(t𝖳μ1)+(1‒λ)cos(t𝖳μ2)，B=λsin(t𝖳μ1)+(1‒λ)sin(t𝖳μ 由（5）(𝐴+𝑖𝐵)𝜙𝑍(𝑡)=(𝐴'+ 其中：A'=λ'cos(t𝖳μ+(1‒λ')cos(t𝖳μ，B'=λ'sin(t𝖳μ+(1‒λ)sin(t𝖳μ Z'~F'(⋅)∈ℵ（6）式两边同时乘以𝐴'+𝑖𝐵'(𝐴+𝑖𝐵)(𝐴'-𝑖𝐵')𝜙𝑍(𝑡)=(𝐴'2+𝐵'2)𝜙𝑍'(𝑡) 因为ZZ均是关于原点对称的随机向量，则相应的特征函数𝜙𝑍(𝑡)和𝜙'(𝑡)均为𝛟Z(𝑡)≠0t(𝐴+𝑖)(𝐴'-𝑖𝐵t=的一个领域内有𝛟Z(𝑡0(𝐴+𝑖)(𝐴'-𝑖𝐵1虚部在t=00111

‒μ')}+(1‒λ)λ'sin

‒μ'22+(1‒λ)(1‒λ')sin{t𝖳(μ2‒μ')}= 22由正弦函数的解析性知其在整个Rk0假设Y是关于μY可以表示为Yμϵ，其中ϵ为关于原点对称的随机向量。对于Rk上的每个单位向量u，u𝖳Yu𝖳μu𝖳ϵ。记Wu𝖳ϵ，则W0Bordes等人(2006)2.1知，单u𝖳μ=u𝖳μ'，可知μ=μ'。将μ=μ'带回（8）式，则对所有的t∈Rk，有λ(1‒λ')sin{t𝖳(μ2‒μ1)}=(1‒λ)λ'sin{t𝖳(μ2‒ 成立。因为sin{t𝖳(μ2μ1)}0，因此有λλ'12由