3.1.2 椭圆的几何性质（十大题型）

3．1．2椭圆的几何性质课程标准学习目标能说出椭圆的简单几何性质，并能证明性质，进一步体会数形结合思想．1、根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．2、根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．知识点一：椭圆的简单几何性质我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，．椭圆的对称性对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心．椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，．③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．椭圆的离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作．②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为．知识点诠释：椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：（1），，；（2），，；（3），，；【即学即练1】（多选题）（2023·高二课时练习）已知椭圆的左，右焦点为F1，F2，点P为椭圆C上的动点（P不在x轴上），则（

）A．椭圆C的焦点在x轴上 B．△的周长为C．的取值范围为 D．椭圆的离心率为【答案】ABD【解析】A：由椭圆方程知：，故椭圆C的焦点在x轴上，正确；B：由，且△的周长为，正确；C：由P为椭圆C上的动点且不在x轴上，则，错误；D：椭圆的离心率为，正确.故选：ABD知识点二：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．可借助下图帮助记忆：a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边．和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系．【即学即练2】（多选题）（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）已知，为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，下列说法正确的是（

）A． B．离心率范围C．当点为短轴端点时，为等腰直角三角形 D．若，则【答案】ABD【解析】∵，∴，又，∴，∴，故A正确；∵，，∴，即，∴，故B正确；当点为短轴端点时，∵，，∴为等边三角形，故C错误；若，又∴，∴，不妨设为锐角，则为钝角，∴，∴，∴，同理可得，∴，∴，故D正确.故选：ABD知识点三：椭圆两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，，轴长轴长=，短轴长=离心率知识点诠释：椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．【即学即练3】（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是.①曲线关于坐标原点对称；②的取值范围是；③曲线是一个椭圆；④曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.【答案】①【解析】对于①，若点满足曲线的方程，则点也一定满足曲线的方程，所以曲线关于坐标原点对称，故①正确；对于②，，所以，故②错误；对于③，当时，，此时，当时，，此时，所以曲线由两个抛物线的部分组成的，不是椭圆，故③错误；对于④，因为椭圆的面积与椭圆的面积相等，作出曲线与椭圆，由图可知，曲线围成区域的面积大于椭圆围成区域的面积，所以曲线围成区域的面积大于椭圆围成区域的面积，故④错误.故答案为：①.知识点四：直线与椭圆的位置关系平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点，若点在椭圆上，则有；若点在椭圆内，则有；若点在椭圆外，则有．直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为．①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．直线与椭圆的相交弦设直线交椭圆于点，两点，则同理可得这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：【即学即练4】（2023·全国·高二课堂例题）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且，则直线方程为．【答案】或【解析】椭圆，即，则，，，左焦点为，设直线为，，由，得，整理得，因为，所以，所以，，解得，所以直线为，即或．故答案为：或知识点五：解决椭圆中点弦问题的两种方法：1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线（不平行于轴）过椭圆（）上两点、，其中中点为，则有．【即学即练5】（2023·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为【答案】【解析】设点、，由中点坐标公式可得，所以，因为，两式作差得，即，即，所以，，因此，直线的方程为，即.故答案为：.题型一：椭圆的几何性质例1．（多选题）（2023·辽宁大连·高二大连市第二十三中学校联考期中）设椭圆C：的左､右焦点分别为､，上､下顶点分别为､，点P是C上异于､的一点，则下列结论正确的是（

）A．若C的离心率为，则直线与的斜率之积为B．若，则的面积为C．若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是D．若恒成立，则C的离心率的范围是【答案】BD【解析】A.设，所以，因为，所以.所以，所以该选项错误；B.若，则所以则的面积为所以该选项正确；C.若C上存在四个点P使得，即C上存在四个点P使得的面积为，所以，所以该选项错误；D.若恒成立，所以，所以，所以该选项正确.故选：BD例2．（2023·高二课时练习）如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=.【答案】28【解析】根据题意，把椭圆的长轴AB分成8等份，设另一焦点为F2，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知，|P1F|+|P7F|=|P7F2|+|P7F|=2a，同理，其余两对的和也是2a，又|P4F|=a，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=28.故答案为：28.例3．（2023·贵州黔西·高二校考期中）已知椭圆的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则．【答案】4【解析】将椭圆方程化为标准形式为，所以长轴长为2，短轴长为，由题意得，解得．故答案为：4变式1．（2023·全国·高二专题练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为.【答案】或【解析】因为椭圆的离心率为，易知，当时，椭圆焦点在轴上，，，所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为.当时，椭圆焦点在轴上，，，所以，得，满足题意，此时，所以椭圆的长轴长为.故答案为：或.变式2．（2023·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）一个半径为1的球置于水平地面上，受到与水平地面夹角为的太阳光线照射，球在地面的影子边沿是一个椭圆，则椭圆的焦距等于.【答案】/【解析】如图：在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，故，椭圆长轴长是，过向作垂线，垂足为，则，，所以，故焦距.故答案为：.题型二：根据椭圆的有界性求范围或最值例4．（2023·湖北宜昌·高二当阳一中校考阶段练习）P点在椭圆上，B(0，3)，则BP长的最大值为.【答案】【解析】设，，，当时，的最大值是.故答案为：例5．（2023·黑龙江大庆·高二大庆中学校考开学考试）以为焦点的椭圆上有一动点M，则的最大值为.【答案】3【解析】因为为椭圆的焦点，所以，，所以由，所以椭圆的标准方程为：，如图所示：因为为椭圆的左焦点，为椭圆上的动点，故当处于右顶点时最大，且最大值为，故答案为：3.例6．（2023·广西河池·高二校联考阶段练习）已知点，点为椭圆上的动点，则.【答案】【解析】设，则，将代入上式中得：，∵，∴当时，故答案为：变式3．（2023·江苏淮安·高二江苏省郑梁梅高级中学校联考期中）设点，分别为椭圆C：的左，右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的一个取值可以为.【答案】0（答案不唯一）【解析】因为点分别为椭圆的左、右焦点,,即.设，,由,可得,又因为在椭圆上,即,所以,要使得成立的点恰好是4个,则,解得,所以的值可以是任意一个值，故答案为：0(答案不唯一)变式4．（2023·江苏宿迁·高二校考阶段练习）若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为.【答案】/【解析】易知当点为椭圆与轴的交点时，最大，因为椭圆方程为，所以，，此时，，满足，所以为等腰直角三角形，所以．故答案为：变式5．（2023·高二课时练习）已知点M是椭圆上的一动点，点T的坐标为，点N满足，且∠MNT＝90°，则的最大值是．【答案】【解析】设点，则，即，，，当时，，而，，因此，所以当点时，取得最大值.故答案为：题型三：求离心率的值例7．（2023·浙江台州·高二校联考期中）已知椭圆为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，不妨设，因为点在椭圆上，所以，解得，所以，又因为为等腰直角三角形，所以,即，即，所以，解得或（舍），故选:B.例8．（2023·内蒙古包头·高二统考期末）已知椭圆，直线依次交轴、椭圆轴于点四点．若，且直线斜率．则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设直线：，可得，设的中点为，连接OM，则，，因为，则，即为弦的中点，设，则，因为，可得，两式相减得，整理得，可得，即，可得，所以椭圆的离心率为.故选：D.例9．（2023·广东佛山·高二佛山市高明区第一中学校考阶段练习）已知椭圆经过点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为圆经过点为，则，解得，故椭圆的标准方程为，所以，，，则，因此，椭圆的离心率为.故选：A.变式6．（2023·北京·高二101中学校考期中）已知A，B，C是椭圆上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆的右焦点F，若，且，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设椭圆左焦点为，连接，设，结合椭圆对称性得，由椭圆定义得，则.因为，则四边形为平行四边形，则，而，故，则，即，整理得，在中，，即，即，故，故选：C变式7．（2023·江苏·高二假期作业）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B，该椭圆的离心率为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】设椭圆的焦距为，则，因为直线的斜率，由题意可得，则，解得，所以椭圆的离心率为.故选：D.变式8．（2023·江苏·高二假期作业）已知椭圆E：与直线相交于A，B两点，O是坐标原点，如果是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于（）A． B．C． D．【答案】C【解析】联立方程，解得，不妨设点B在第一象限，则，由题意可知：OB的倾斜角是，则，所以椭圆的离心率.故选：C．变式9．（2023·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）法国数学家加斯帕·蒙日发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直线与椭圆分别相切，显然直线与直线垂直，且交点为，由题意点在圆上，所以，所以，故椭圆的离心率．故选：A.变式10．（2023·高二校考期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，过P作的垂线交x轴于点A，若，记椭圆的离心率为e，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，,所以,可得.在中，.由椭圆的定义可得，故，所以，所以.故选:A.变式11．（2023·河南鹤壁·高二鹤壁高中校考阶段练习）已知点，分别是椭圆：的左、右焦点，点P是椭圆E上的一点，若的内心是G，且，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设点G到各边的距离为，由，得，即，由椭圆定义知，，于是，所以椭圆E的离心率.故选：B变式12．（2023·云南昭通·高二校考期中）已知椭圆的一个焦点为，点是椭圆上的一个动点，的最小值为，且存在点，使得（点为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，要使（点为坐标原点）为正三角形，不妨设点为右焦点，则存在，即，将代入椭圆的方程得将代入上式得，化简得，则，代入，得，所以，代入，可得，所以.故选：D.题型四：求离心率的范围例10．（2023·宁夏·高二宁夏育才中学校考期中）已知椭圆的离心率为e，，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得是钝角，则满足条件的范围【答案】【解析】如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．椭圆上存在点使得是钝角，中，，中，，，即，，可得，，，，故答案为：.例11．（2023·黑龙江绥化·高二绥化市第一中学校考期中）已知椭圆上有一点，，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形的点有8个，则椭圆的离心率的范围是．【答案】【解析】由椭圆的对称性，为直角，共有4个位置，为直角，共有4个位置，于是以为直径的圆与椭圆有4个交点.又离心率越大椭圆越扁，而当点P在y轴上时，，于是，若要满足题意，.故答案为：.例12．（2023·江苏连云港·高二统考期中）已知点是椭圆的左焦点，过原点作直线交椭圆于两点，分别是的中点，若，则椭圆的离心率的范围是．【答案】【解析】如图，设椭圆的右焦点为,连接.因为,所以.同理.因为，所以.因为,所以四边形是矩形.设，所以，所以，所以，所以.故答案为：变式13．（2023·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知点是椭圆的左焦点，过原点作斜率存在且不为0的直线交椭圆于两点，分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的范围是.【答案】【解析】如图所示，当点分别是、的中点时，是的两条中位线，若以为直径的圆过原点，则有,，设点，则点,又点，所以，，,则，又，所以，，得，即只需，整理得：解得，又，所以.故答案为：变式14．（2023·高二单元测试）已知椭圆的左右焦点分别为，且，若在椭圆上存在点，使得过点可作以为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围为.【答案】【解析】如图所示，根据题意知为正方形，，故，解得答案.如图所示，根据题意知：为正方形，故，故，故，解得，又，故，故.故答案为：.变式15．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是．【答案】【解析】∵，∴，，∵是的角平分线，∴，则，由，得，由，可得，由，∴椭圆离心率的范围是．故答案为：变式16．（2023·江苏南通·高二江苏省西亭高级中学校考阶段练习）、是椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点使得则离心率范围．【答案】.【解析】分析：由椭圆定义可得，解得，由题意可得，解不等式求得离心率e的取值范围.设点P的横坐标为x，，则由椭圆定义可得，，由题意可得，.故答案为：.变式17．（2023·黑龙江·高二统考期末）已知是椭圆的两焦点，为椭圆上一点，若，则离心率的范围是.【答案】【解析】设椭圆方程为（a＞b＞0），||||在△中，由余弦定理可知，4c2＝m2+n2﹣2mncos60°．∵m+n＝2a，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4a2﹣2mn，∴4c2＝4a2﹣3mn．即3mn＝4a2﹣4c2．又mna2（当且仅当m＝n时取等号），∴4a2﹣4c2≤3a2，∴，即e．∴e的取值范围是[，1）．故答案为变式18．（2023·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考期中）已知，分别为椭圆的左、右焦点，若直线上存在点，使为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是．【答案】【解析】为等腰三角形，只可能即，又因为点在直线上，即又因为椭圆所以故填变式19．（2023·高二课时练习）已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】因为以为直径的圆与椭圆有四个交点，所以，即，，，所以，即，又因为，所以椭圆离心率的取值范围为．故选：A．变式20．（2023·高二课时练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题得：，所以故选：A．变式21．（2023·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，即，所以点P落在以为直径的圆上，所以有解，即有解，所以.即，所以，所以，又椭圆的离心率，所以.故选：D变式22．（2023·四川成都·高二石室中学校考阶段练习）已知P为椭圆上一点，为椭圆焦点，且，则椭圆离心率的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由P为椭圆上一点，.又，所以又，即.即，得，即故选：D题型五：点与椭圆的位置关系例13．（2023·全国·高二专题练习）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（

）A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系【答案】C【解析】点与点关于原点对称，点与关于轴对称，点与关于轴对称，若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上，故选：C例14．（2023·全国·高二专题练习）已知点和焦点在轴上的椭圆：，且过作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得，点在椭圆的外部.所以，，所以.又椭圆焦点在轴上，所以，所以.又，所以，所以.故选：C.例15．（2023·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考学业考试）若直线与圆没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】C【解析】圆的圆心，半径为，因为直线与圆没有公共点，所以圆心到直线的距离大于半径，得，即，所以，则点在椭圆内部，所以过点的直线与椭圆必有2个公共点.故选：C.变式23．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由椭圆方程为，因为，所以点在椭圆内部，A错误；因为，所以点在椭圆内部，B错误；因为，所以点在椭圆外部，C正确；因为，所以点在椭圆内部，D错误.故选：C.变式24．（2023·全国·高二专题练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为点在椭圆的外部，所以,解得,故选：B.题型六：直线与椭圆的位置关系例16．（2023·高二课时练习）若直线与椭圆有唯一公共点，则实数．【答案】【解析】直线的方程与椭圆的方程联立，消去，得①.方程①的判别式.因为直线l与椭圆C有唯一公共点．则，解得.故答案为：.例17．（2023·上海闵行·高二校考阶段练习）直线与椭圆恒有两个不同的交点，则a的取值范围是．【答案】【解析】椭圆长半轴长为，由题意得，则若恒有两个不同的交点，则，故答案为：.例18．（2023·上海闵行·高二闵行中学校考期中）直线与曲线的公共点的个数是.【答案】【解析】当时，曲线可化为，表示椭圆的右半部分，因为直线过点，所以此时直线与曲线曲线有两个交点，当时，曲线可化为表示双曲线的上支和下支的左半部分，此时直线与曲线没有交点，综上可知：直线与曲线的公共点的个数是.故答案为：.变式25．（2023·全国·高二专题练习）直线和曲线的位置关系为.【答案】相交【解析】曲线为：可得直线恒过，由知定点在椭圆内部，所以直线与椭圆的位置关系为相交.故答案为：相交.题型七：弦长问题例19．（2023·高二课时练习）过椭圆的左焦点且斜率为的弦的长是．【答案】/【解析】设点、，在椭圆中，，，，所以，椭圆的左焦点坐标为，则直线的方程为，联立，可得，，由韦达定理可得，，所以，.故答案为：.例20．（2023·高二课时练习）直线被椭圆所截得的弦长为，求实数的值．【解析】联立方程组，整理得，设直线与椭圆的交点为，可得，解得，且，由弦长公式可得，因为直线截椭圆所得的弦长为，所以，解得，即实数的值为或.例21．（2023·浙江台州·高二校联考期中）已知点与定点的距离和它到定直线的距离比是.(1)求点的轨迹方程；(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.【解析】（1）设点坐标为，化解可得：.（2）设，联立直线和椭圆方程可得：，AI消去可得：，所以，即，则，，，把韦达定理代入可得：，整理得，满足，又，而点到直线的距离，所以，把代入，则，可得是定值1.变式26．（2023·江苏·高二校联考开学考试）已知椭圆C：，左，右焦点分别为，，椭圆C经过，．(1)求椭圆C的方程；(2)若点P使得，求的面积．【解析】（1）因为椭圆C经过，．则，解得，．所以椭圆C的方程为．（2）由（1）知，，假设椭圆C上存在点，使得，则，即，联立，解得，．∴椭圆C上存在点P使得．∴．变式27．（2023·陕西商洛·高二校考阶段练习）已知椭圆的下焦点、上焦点为，离心率为.过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于，两点.(1)求的值；(2)求（为坐标原点）面积的最大值.【解析】（1）由题意可得，，因为离心率，所以，又，所以，解得；（2）由（1）知，椭圆的上焦点为，设，直线，联立，整理得：，则，且，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.题型八：中点弦问题例22．（2023·新疆伊犁·高二统考期末）过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是【答案】【解析】椭圆即，设弦的两端点分别为,，,，则，则，，两式作差可得：，．直线过点，这条弦所在直线的方程是，即．故答案为：．例23．（2023·上海黄浦·高二格致中学校考期末）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，、在椭圆上，且是线段的中点.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为.【答案】/【解析】如下图所示：由题意可知，点为椭圆的左焦点，因为点、，易知点为线段的中点，又因为为的中点，所以，，取线段的中点，连接，则，所以，，所以，，故，设点、，则点，所以，，两个等式作差可得，可得，所以，，所以，椭圆的离心率为.故答案为：.例24．（2023·全国·高二专题练习）已知过点的直线，与椭圆相交于A，B两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是.【答案】【解析】设，，根据中点坐标公式，，，且，，两式相减，化简可得，所以，即直线的斜率为，根据点斜式，得到直线的方程为，即.故答案为：变式28．（2023·全国·高二专题练习）直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为．【答案】/【解析】设线与椭圆的交点坐标为，则，可得，因为在椭圆上，则，两式相减得，整理得，即所以.故答案为：.变式29．（2023·全国·高二专题练习）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为．【答案】【解析】由题意，在椭圆中，一个焦点为，设椭圆的方程为,∴，设直线与椭圆的交点为,弦中点为∵直线截得弦的中点的横坐标为，∴，，∴即∴.∴，解得：∴椭圆的方程为：，故答案为：.故答案为：.变式30．（2023·河南焦作·高二统考期末）过椭圆内一点，且被这点平分的弦所在直线的方程是.【答案】【解析】设该直线与椭圆的两个交点分别为，则又，，两式相减得则，则，则所求直线方程为，即经检验符合题意.故答案为：变式31．（2023·全国·高二专题练习）已知焦点在轴上的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则正数.【答案】【解析】由题意焦点在轴上的椭圆，把直线方程代入椭圆方程整理得．设弦的两个端点为,，,，则由根与系数的关系可得，，椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，由中点坐标公式可得，，，可得，．故答案为：．变式32．（2023·广东深圳·高二统考期末）已知O为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点，P为的中点，直线的斜率为，若，则椭圆的离心率的取值范围为．【答案】．【解析】设，，则，所以，得.将A、B两点坐标代入椭圆方程，得，两式相减，得，有，所以，由，得，即，由，得，即，解得，所以椭圆的离心率的取值范围为.故答案为：.变式33．（2023·四川成都·高二校考阶段练习）已知斜率为k的直线与椭圆交于A、B两点，弦AB的中垂线交轴于点，则的取值范围是.【答案】【解析】当时，弦AB的中垂线为轴，此时，当时，设直线的方程为，联立方程组可得，消可得，，解得，，，设的中点为，则，，直线的方程为令，解得，，解得，且综上故答案为：变式34．（2023·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线(1)求的方程；(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．【解析】（1）设动圆的半径为，依题意得，所以为定值，且，所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，，，，，所以，所以椭圆的方程为.（2）假设存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，设，，则，两式相减得，得，即，由点斜式得直线方程为，即.所以存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，且该直线方程为.变式35．（2023·高二课时练习）已知椭圆：，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点，记线段的中点为．(1)若，求直线的斜率；(2)记，探究：是否存在直线，使得，若存在，写出满足条件的直线的一个方程；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意，设，，点，均在椭圆上，，，两式相减，可得，根据点坐标为，可得，，则，则，即直线的斜率为；（2）假设存在满足题意的直线，由题意知直线的斜率存在且不为，故可设直线：，，联立，消去得，则，解得，则，，则，故线段垂直平分线方程为：，若直线过点，则把点坐标代入以上直线方程得：，联立消去得，无解，故不存在直线，使得．变式36．（2023·江苏南通·高二统考期中）已知椭圆的离心率为e，且过点和．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线对称，求．【解析】（1）由题意知：，∴，∴，所以椭圆；（2）法一

设及AB中点，由题意知，，以上两式相减得：，可化为：即，故，又∵M在直线上，所以，解得：，即，直线，化简为：联立整理得：，由韦达定理知由弦长公式得：．法二

设直线，联立，整理得：，则中点，满足直线方程，解得所以AB：联立整理得：，由韦达定理知由弦长公式得：．变式37．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．(1)求C的方程；(2)若，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】（1）设，则∵在椭圆上，则两式相减得，整理得∴，即，则又∵点在椭圆C：上，则联立解得∴椭圆C的方程为（2）不存在，理由如下：假定存在P，Q两点关于l：对称，设直线PQ与直线l的交点为N，则N为线段PQ的中点，连接ON∵，则，即由（1）可得，则，即直线联立方程，解得即∵，则在椭圆C外∴假定不成立，不存在P，Q两点关于l对称变式38．（2023·高二课时练习）已知椭圆过点，直线：与椭圆交于两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆上存在两点，使得关于直线对称，求实数的范围．【解析】（1）设，则，即．因为A，B在椭圆C上，所以，两式相减得，即，又，所以，即．又因为椭圆C过点，所以，解得，所以椭圆C的标准方程为；（2）设的中点为，所以，因为P，Q关于直线l对称，所以且点N在直线l上，即．又因为P，Q在椭圆C上，所以．两式相减得．即，所以，即．联立，解得，即．又因为点N在椭圆C内，所以，所以所以实数的范围为．题型九：椭圆的实际应用例25．（2023·全国·高二专题练习）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（

）A．39 B．52 C．86 D．97【答案】D【解析】根据椭圆方程，得长半轴，半焦距，近日点距离为，远日点距离为，近日点距离和远日点距离之和是，近日点距离和远日点距离之积是，解得，则.故选：D.例26．（2023·广东深圳·高二统考期末）运用微积分的方法，可以推导得椭圆（）的面积为．现学校附近停车场有一辆车，车上有一个长为的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为，短轴长为，则该储油罐的容积约为（）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，椭圆的长轴长为，短轴长为，所以所以椭圆面积为.因为储油罐为一个柱体，所以体积为.故选：B例27．（2023·河北石家庄·高二河北新乐市第一中学统考期中）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人连地球卫星“东方红一号”，从此我国开向了人造卫层的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普物行星运动定律；卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，如图建系，设椭圆道的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c，下列结论正确的是（

）A．卫星向径的最大值为2aB．卫星向径的最小值为2bC．卫星绕行一周时在第三象阻内运动的时间小于在第四象限内运动的时间D．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆【答案】D【解析】由题意得：向径为卫星与地球的连线，即椭圆上的点与焦点的连线的距离，由椭圆的几何性质可知卫星向径的最小值为ac，最大值为a+c，故AB错误；由开普勒行星运动定律卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，在第二象限运动时扫过的面积大于在第一象限运动时扫过的面积，故卫星在第二象限内运动的时间大于在第一象限运动时扫过的时间，由椭圆的对称性可知，卫星绕行一周时在第三象限内运动的时间大于在第四象限运动的时间，故C错误；当卫星向径的最小值与最大值的比值越大时，由，可得e越小，椭圆越圆，故D正确，故选：D变式39．（2023·高二课时练习）在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为cm.【答案】【解析】设小椭圆的长半轴长为，，依题意，，则，解得，所以小椭圆的长轴长为.故答案为：变式40．（2023·高二课时练习）某操场的正前方有两根高度均为6m、相距10m的旗杆（都与地面垂直）.有一条26m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内.假定这条绳子在系到旗杆上时长度没有改变，求绳子与地面（水平面）的接触点到两根旗杆的距离各是多少.【解析】建立如图所示的直角坐标系：因为，所以点是以为焦点的椭圆上，设方程为，显然，所以方程为，因为旗杆的高度为6m，所以有，所以绳子与地面（水平面）的接触点到两根旗杆的距离各是.变式41．（2023·高二课时练习）如图，赛马场的形状是长100m，宽50m的椭圆.求距离顶点10m的宽度是多少.【解析】以椭圆横向对称轴为直角坐标系的横轴，以椭圆纵向对称轴为直角坐标系的纵轴，两条对称轴的交点为坐标原点建立直角坐标系，如下图所示：设椭圆的标准方程为：，由题意可知：，因此，所以该椭圆方程为，当时，，因此所以距离顶点10m的宽度是.变式42．（2023·高二课时练习）水星运转的轨道是以太阳的中心为一个焦点的椭圆，轨道上离太阳中心最近的距离约为，最远的距离约为.假设以这个轨道的中心为原点，以太阳中心及轨道中心所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求水星轨道的方程.【解析】设太阳中心为，轨道中心为，，由题意，水星轨道是以太阳的中心为一个焦点的椭圆，且轨道的中心为原点，焦点在x轴，所以设它的标准方程为，已知轨道上离太阳中心最近的距离约为，最远的距离约为，则，解得，故，故所求水星轨道的方程为，即.变式43．（2023·高二课时练习）2016年8月16日，中国自主研制的世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”成功发射升空，已知它的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，近地点A距地面498km、远地点B距地面503km，地球半径为6371km，求“墨子号”卫星的轨道方程（结果保留整数）.【解析】如图所示：建立直角坐标系，设椭圆的标准方程为：，由题决可知：，，解得：，所以“墨子号”卫星的轨道方程为：.变式44．（2023·高二课时练习）某颗小行星的运行轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点处.如图所示，小行星离太阳的最近距离是天文单位，最远距离是天文单位（1天文单位是指太阳与地球之间的平均距离，约为，是天文学的一种长度单位）.求椭圆轨道的长半轴和短半轴之长各是多少个天文单位（参考数据）.【解析】如图，设椭圆的焦点为，，焦距为，太阳位于焦点处，小行星位置到两焦点的距离之和等于一个固定值.要使最大，必须距离之差最大，但，仅当，，成一条直线且在和之间时，达到最大值，达到最大值.而仅当达到最大值时，达到最小值，可见，解得，，因此，故椭圆的长半轴长为天文单位，短半轴长为天文单位.题型十：定点定值问题例28．（2023·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知椭圆C：的左顶点为A，椭圆C的离心率为且与直线相切．(1)求椭圆C的方程；(2)斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于M，N两点（异于点A），且．则直线l是否恒过定点，如果过定点求出该定点坐标，若不过定点请说明理由．【解析】（1）椭圆C的离心率为，可得，所以，所以椭圆方程为，由可得，由题意可得，解得，，所以椭圆方程为；（2）直线l恒过定点，理由如下：由（1）得，设直线的方程为，，由联立得，由得，且，由得，即,可得,整理得，解得，或舍去，即时，不论为何值时都符合，此时直线的方程为，则直线恒过定点.例29．（2023·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）已知中心在原点的椭圆右焦点，点为椭圆上一点．(1)求的方程；(2)过点的两条直线分别交椭圆于、两点，且满足，问：直线是否过定点，如果过定点，请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由．【解析】（1）因为中心在原点的椭圆右焦点，点为椭圆上一点,不妨设椭圆的标准方程为，由题意可得，解得，因此，椭圆的标准方程为.（2）①直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，联立，可得，，可得，由韦达定理可得，，，同理可得，由题意可得，整理可得，当时，直线的方程为，直线过点，不合乎题意；当时，直线的方程为，直线过定点；②当直线的斜率不存在时，设点，则，则，且，，，所以，，即，解得（舍）或，此时，直线过点.综上所述，直线过定点.例30．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点.【解析】（1）由题知，，，，由的面积为，得，又，代入可得，，∴椭圆的方程为.（2）联立得，设，，可得，，由题知，即，即，解得，∴直线的方程为，故直线恒过定点.变式45．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆经过点，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.【解析】（1）由题意可知：，又，解得，所以椭圆方程为（2）证明：由题意可知直线有斜率，由于与点的连线的斜率为，且的横纵坐标恰好与相反，因此直线有斜率满足且，直线的方程为：，联立直线与椭圆方程：，设，则，，将代入可得故直线AP与AQ的斜率之和为1，即为定值，得证.变式46．（2023·高二课时练习）如图，过原点O的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长，交椭圆于另一点B，求证：kPA·kPB为定值．【解析】证明设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(－x1，－y1)，C(x1，0)，可得kAB·kPB＝·－.又kAC＝，kPA＝，所以kPA＝2kAC，从而kPA·kPB＝－1，为定值．变式47．（2023·高二课时练习）已知椭圆：，其长轴的两个端点分别为，，点为椭圆上任意一点（除，外），(1)设直线，的斜率分别为，，求的值；(2)若直线，分别与轴交于，两点，为坐标原点.试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【解析】（1）由题意知：，设，则,在椭圆上，即.（2）由(1)可知直线，的方程分别为，则.所以为定值，该定值为3.变式48．（2023·四川凉山·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，上顶点，M、N为椭圆上异于点P且关于原点对称的两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证为定值．【解析】（1）由题意知，，根据得：，故：椭圆C的标准方程为．（2）依据题意可设，，则，．因此，又因为在椭圆C上，满足，即，所以：，得证．一、单选题1．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】在椭圆中，，，，则，，设点，则，且，则，所以，，，所以，，所以当时，取最小值，故选：D2．（2023·高二课时练习）若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】若直线轴，则点、关于轴对称，则直线的中点在轴，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设点、，则，所以，，两式作差可得，即，即，可得直线的斜率为，所以，直线的方程为，即.故选：B.3．（2023·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为、，点为该椭圆上位于轴上方一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】由，得，则、，设，则，设，则，直线的方程为，则的坐标为，直线的方程为，则的坐标为，所以，解得或．故选：C.4．（2023·内蒙古包头·高二统考期末）已知椭圆，直线依次交轴、椭圆轴于点四点．若，且直线斜率．则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设直线：，可得，设的中点为，连接OM，则，，因为，则，即为弦的中点，设，则，因为，可得，两式相减得，整理得，可得，即，可得，所以椭圆的离心率为.故选：D.5．（2023·江苏镇江·高二统考开学考试）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星H看作一个质点，H绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星P在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星C的近日点距离和远日点距离之和是20（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是81，则（

）A．181 B．97 C．52 D．19【答案】A【解析】设某行星运行轨道（椭圆）的长半轴长和短半轴长分别为，则半焦距为，所以行星C的近日点距离为，远日点距离为，由题意，解得，所以.故选：A6．（2023·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如下图所示：根据题意可知，当点在第三象限且椭圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离取得最大值，可设切线方程为，联立，消去整理可得，，因为，解得，所以，椭圆在点处的切线方程为，因此，点到直线的距离的最大值为,联立，可得点的坐标为.故选：B.7．（2023·北京·高二101中学校考期中）已知A，B，C是椭圆上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆的右焦点F，若，且，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设椭圆左焦点为，连接，设，结合椭圆对称性得，由椭圆定义得，则.因为，则四边形为平行四边形，则，而，故，则，即，整理得，在中，，即，即，故，故选：C8．（2023·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）设椭圆的焦点为为椭圆上的任意一点，的最小值取值范围为，其中，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，，设，因为，所以，又，，所以，因为，则，当时，取得最小值，即，即，所以，即椭圆的离心率为.故选：D.二、多选题9．（2023·江苏·高二南京市人民中学校联考开学考试）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半粗圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有（

）A．椭圆的长轴长为B．线段长度的取值范围是C．面积的最小值是4D．的周长为【答案】ABD【解析】对于A，∵半圆所在圆过点，∴半圆的半径，又椭圆短轴为半圆的直径，∴，即，又，∴，即，∴椭圆长轴长为，故A正确；对于B，∵，，∴，故B正确；对于C，设，则，当时，，故C错误；对于D，由题意知：，则为椭圆的下焦点，由椭圆定义知：，又，∴的周长为，故D正确.故选：ABD.10．（2023·江苏·高二校联考开学考试）如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ