镇江市第一中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题

第1页（共16页）2020-2021学年江苏省镇江一中高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）某校的足球，乐器演奏，航模爱好三个兴趣小组的人数分别为200，150，100，若用分层抽样方法抽取名学生参加某项活动，已知从航模小组中抽取了2名学生，则的值为A．9 B．10 C．11 D．122．（5分）已知一组数据1，2，3，4，5，那么这组数据的方差为A． B．2 C． D．33．（5分）对某同学7次考试的数学成绩和物理成绩进行分析，下面是该生7次考试的成绩．数学888311792108100112物理949110896104101106发现他的物理成绩与数学成绩是线性相关的，利用最小二乘法得到线性回归方程为，若该生的数学成绩达到130分，估计他的物理成绩大约是A．114.5 B．115 C．115.5 D．1164．（5分）设是等差数列的前项和，已知，，则等于A．13 B．35 C．49 D．635．（5分）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为4，则A．1 B．2 C．4 D．86．（5分）如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为A． B．截面 C． D．异面直线与所成的角为7．（5分）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大街之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，记该数列为，则A． B． C． D．8．（5分）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且．记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）是衡量空气质量的重要指标，如图是某地7月1日到10日的日均值（单位：的折线图，则下列关于这10天中日均值的说法正确的是A．众数为30 B．中位数是31 C．平均数小于中位数 D．后4天的方差小于前4天的方差10．（5分）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C．此人第三天走的路程占全程的 D．此人后三天共走了42里路11．（5分）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆锥的表面积最小12．（5分）已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，2，3，，，，，组成公差为的等差数列，则A．该椭圆的焦距为6 B．的最小值为2 C．的值可以为 D．的值可以为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有种．14．（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．15．（5分）已知数列为等差数列，其前项和为，且，若存在最大值，则满足的的最大值为．16．（5分）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，则的坐标为，直线与椭圆交于，两点，且的重心恰为点，则直线斜率为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图．（1）求值；（2）估计该地学生跳绳次数的中位数和平均数．18．（12分）（1）用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？（2）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则有多少个不同的排法？19．（12分）（1）已知．求：①；②．（2）在的展开式中，求：①展示式中的第3项；②展开式中二项式系数最大的项．20．（12分）已知数列数列的前项和且，，，且．（1）求的值，并证明：；（2）求数列的通项公式．21．（12分）如图1，在梯形中，，，，，梯形的高为1，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面，连接，，如图2．（1）证明：平面平面；（2）求图2中平面与平面所成锐二面角的余弦值．22．（12分）如图，已知椭圆，左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为椭圆上在第一象限内一点．（1）若，求椭圆的离心率；（2）若，求直线的斜率；（3）若成等差数列，椭圆的离心率，求直线的斜率的取值范围．

2020-2021学年江苏省镇江一中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：由分层抽样的定义可得，解得，故选：．2．【解答】解：根据题意，数据1，2，3，4，5，其平均数，则其方差；故选：．3．【解答】解：由题意可知，，因为回归直线经过样本中心，所以，解得，线性回归方程为，该生的数学成绩达到130分，估计他的物理成绩大约是：．故选：．4．【解答】解：因为，所以故选：．5．【解答】解：由题意，设，，可得，，，，可得，可得，解得．故选：．6．【解答】解：因为截面是正方形，所以、，则平面、平面，所以，，由可得，故正确；由可得截面，故正确；异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；，．，，而当时，由，知，故错误．故选：．7．【解答】解：奇数项分别为0，4，12，24，40，，即，，，，，，所以为正奇数），所以，所以．故选：．8．【解答】解：不妨取点在第一象限，设，，，在△中，由余弦定理知，，即①，由椭圆的定义知，，即②，由双曲线的定义知，，即③，由①②可得，，，由①③可得，，，，化简得，，两边同时除以，得，当且仅当时，等号成立，，的最大值为．故选：．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．【解答】解：把折线图中的日均值按照由小到大的顺序排列为：17，25，30，30，31，32，34，38，42，126．所以众数为30，选项正确；最中间的两位数为31，32，所以中位数为，选项错误；平均数为，选项错误；后4天的日均值更集中，所以方差更小，选项正确．故选：．10．【解答】解：设此人第天走里路，则是首项为，公比为的等比数列，由等比数列前项和公式得，解得，在中，，此人第二天走了九十六里路，故正确；在中，，，此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故正确；在中，，，故错误；在中，，故正确．故选：．11．【解答】解：对于，圆柱的底面直径和高都与一个球的直径相等，圆柱的侧面积为，故错误；对于，圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，圆锥的侧面积为，故错误；对于，圆柱的侧面积为，球面面积为，圆柱的侧面积与球面面积相等，故正确；对于，圆柱的表面积为，圆锥的表面积为，球的表面积为，圆锥的表面积最小，故正确．故选：．12．【解答】解：由椭圆的方程可得：，，所以，正确，由椭圆的性质可得，即，所以的最小值为2，正确，设，，，组成公差为的等差数列为，则，，又，所以，即，所以的最大值为，故正确，错误，故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①甲同学选择牛，乙有2种选择，丙有10种选择，此时选法有种，②甲同学选择马，乙有3种选择，丙有10种选择，此时选法有种，所以总共有种；故答案为：5014．【解答】解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线，底面半径，则其高，不妨设该内切球与母线切于点，令，由，则，即，解得，，故答案为：．15．【解答】解：由，可得：，数列的前项和为有最大值时，，，因此，，，满足的的最大值为19．故答案为：19．16．【解答】解：由椭圆的方程可得：，，所以，可得，所以上顶点，所以椭圆的方程为：；设直线的方程为：，设，，，，将直线的方程与椭圆的方程联立整理可得：，△，可得：，，所以，所以的中点，，因为为三角形的重心，所以，即，，，所以，即两式相比可得，故答案分别为：，．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（1）由题意，，解得．（2）设中位数为，则，解得．平均数为．18．【解答】解：（1）根据题意，考虑“0”是特殊元素，分2种情况讨论：当0排在末位时，有个三位偶数，当0不排在末位时，有个三位偶数，则符合题意的偶数共有个；（2）根据题意，分2种情况讨论：最左端排甲，共有种排法，最左端只排乙，最右端不能排甲，有排法，共有种排法．19．【解答】解：（1）令，则，令，则．①．②展开式中，、、、都大于零，而、、、都小于零，，令，则．．（2）的展开式中第项为，①当时，所以展示式中的第3项为．②或3时，二项式系数最大，时，由（1）知，时，．20．【解答】解：（1）在中，令，得，，，又由，得，两式相减得，，；（2）由（1）可知，数列，，，，为等差数列，公差为2，首项为1，当为奇数时，，数列，，，，为等差数列，公差为2，首项为，当为偶数时，，综上所述，．21．【解答】（1）证明：如图，梯形中，过点作于点，连接，由题意知，，．由，可得，则，（2分），．又，，四边形为正方形，．（4分）在四棱锥中，平面平面，平面平面，，平面．平面