拔高卷-2022-2023学年高二数学上学期期中考前必刷卷（人教A版2019选择性必修第一册）（全解全析）

2022-2023学年高二上学期期中考前必刷卷(拔高卷)

高二数学•全解全析

I23456789101112

CABABACAACABCACABD

一、单选题

1•【分析】化直线方程的一般式为斜截式，求得直线的斜率，由直线倾斜角的正切值等于斜率求得直线的

倾斜角.

【解答】解：化直线3x+Gy-4=0为，尸一百万+竽；

可得直线的斜率为-G，

设直线3x+gy-4=0的倾斜角为a(O。,，a<180。)，

则tana=-6，.'.a=120°.

故选：C.

【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题.

2.【分析】根据题意，由空间向量平行的判断方法，可得x、y的值，分析选项可得答案.

【解答】解：根据题意,向量1=(-l,2,-D,6=(x,-l,y).

若,设6=疝，即(x,-1.y)=f(-l,2,-1)=(-t,2t,-t)

解可得：r=_l,

2

则有x=y=L

2

由此分析选项：x+y=l,

故选：A.

【点评】本题考查空间向量平行的判断方法，注意空间向量的坐标表示方法，属于基础题.

3.【分析】根据已知条件，求出累计感染病例数/⑺，再求出累计感染病例数增加1倍需要的时间.

【解答】解：将飞=3.28,7=6代入0=l+rT,解得/'=0.38,

则累计感染病例数

当f=0时,/(0)=1,则成油=2,

两边取对数可得0.38，=加2,解得好妈。1.8.

0.38

故选：B.

【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查对数的运算，属于基础题.

4.【分析】根据焦点在y轴上的椭圆的方程的特点是方程中产的分母比x?分母大且是正数，列出不等式组,

求出，，，的范围.

22

【解答】解：方程」一+工=1表示焦点在y轴上的椭圆，焦距为2,

5-mm-2

二.帆―2>5—帆>0并且机一2—5+加=1,

解得加=4,

故选：A.

【点评】解决椭圆的方程，注意焦点的位置在哪个坐标轴上，方程中哪个字母的分母就大.

5.【分析】直接利用平行线间的距离公式的应用求出结果.

【解答】解：直线4：4x+2y+2=0,整理得：2x4-y+1=0,

则乙，/,的距离“=二=班.

故选：B.

【点评】本题考查的知识要点：平行线间的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基

础题.

6.【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.

STT

【解答】解：xcos，+ysin，=O,。£（0,—），

6

可得直线的斜率为：一里叱=一一!一,

sin0tan0

因为6e（0,生），

6

所以tan。e（-8,-日）。（0,+8）,

所以0）D（0，+oo）.

tan〃

—e（0,百）U（F,0）.

tan，

又。时，直线为y=0,直线的斜率为0,

所以直线xcos0+ysin9=0,（0,由）的斜率的取值范围为（-8,6）.

6

故选：A.

【点评】本题考查直线的斜率与三角函数求值，考查计算能力，是基础题.

7.【分析】通过建立坐标系，设出MN的坐标，求出P的坐标，利用距离公式得到AP长度的最小值，然后

由”长度的最小值就是圆心到(T,3)距离最小一半，得到结果.

【解答】解：以Afi为x轴，以4)为y轴建立直角坐标系系，

在矩形A88中，AB=4,AD=3,

M,N分别为边BC,CD上的动点，P为MV的中点，

设M(4,y),N(x,3),贝-.-MN=2.

'22

.•.MM=(x-4)2+(y-3>=4,

表示(x,y)以(4,3)为圆心，半径为2的圆，

AP=；J(x+4)2+(y-3)2,

小长度表示圆上的点(x,y)至U(-4,3)距离最小得一半，

距离的最小值为4+4=8，,AP长度的最小值为4.

故选：C.

【点评】本题考查轨迹方程的求法，距离公式的应用，考查分析问题解决问题的能力.

8.【分析】设对称点为(sj),运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1,解方程即可得到所

求对称点的坐标.

【解答】解：设对称点为(s,f),

.・上3=-2①，(对称点与该点的连线垂直于对称轴)

s-2

对称点与该点所成线段的中点为(审，与当在直线x-2y+l=0上，

$+2-1+4

/.--------2x——+1=0@,

22

联立①②解出对称点为(4,0).

故选：A.

【点评】本题考查点关于直线的对称点问题，考查中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1,考

查运算能力，属于中档题.

二、多选题

9.【分析】类比平面直角坐标系中点的性质，对空间直角坐标系O-Ji*中点的坐标与对称性说法，判断正

误即可.

【解答】解：2,3),

1a

.•・OP的中点坐标为q,1,1),故A正确；

点P关于X轴对称的点的坐标为(1,-2,-3),故5错误；

点P关于原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3),故C正确；

点尸关于面对称的点的坐标为(1，2,-3),故O错误；

故选：AC.

【点评】本题考查考查对称的性质的应用，是基础题.

10.【分析】由得出RO_L平面AEF,进而得出CC；_LEF,可判断A:取用G的中点。，连

接AQ，GQ>利用线面平行的判定定理，可判断8；连接AR,FD、,得到平面AQFE为平面AFE截正

方体所得的截面，再计算其面积即可判断C;利用反证法即可判断£).

【解答】解：对于A,若乌DLAF,

因为力Q_LAE'且4£「|4尸=A,所以RO_L平面犯L

所以〃所以此时不成立，所以线OQ与直线AF不垂直，故4正确；

对于8,如图所示，取4G的中点Q,连接AQ,GQ,

由条件可知：GQ//EF,AQ〃4E,S.GQ^\A,Q=Q,EF^\AE=E,

又GQ<t平面AE尸，EFu平面AEF,4。仁平面A£F,AEu平面

.•.6。//平面•/，A。“平面狙7，又GQnAQ=Q，

所以平面AGQ〃平面又因为AGu平面AGQ,

所以AG//平面尸，故5正确；

对于C,因为E,F为BC，CC的中点，所以EF//AR,

所以A,E,F,2四点共面，所以截面即为梯形AEF.,

由题得该等腰梯形的上底所=立，下底，腰长为亚，所以梯形面积为2,故C正确；

228

对于O,假设C与G到平面A%的距离相等，即平面AE尸将CG平分，则平面心必过CG的中点，连

接CG交EF于H,而“不是CG中点，则假设不成立，故。错误.

故选：ABC.

【点评】本题主要考查直线与直线的位置关系，线面平行的判定，立体几何中的界面问题，点面距离的计

算等知识，属于中等题.

11•【分析】直接根据函数的定义分别代入求解即可判断.

【解答】解：•.•函数/'(X)=/-4x+2,g(x)=x+l,

fig(3)]=/(3+l)=/(4)=4-4x4+2=2,

,f[g(x)]=.f(x+l)=(x+l)2-4(x+1)+2=x2-2x-\,

g"(x)]=g，-4x+2)=x?-4x+2+1=x?-4x+3,

g[f(2)]=g(22-4x2+2)=g(-2)=-2+l=-l,

故选：AC.

【点评】本题主要考查二次函数和一次函数的性质的应用，属基础题.

12•【分析】利用线面平行的判定定理，即可判断选项4；建立空间直角坐标系，利用向量的数量积判断垂

直，即可判断选项8；求出平面A8G的法向量，由向量的数量积判断砂与平面ABC,相交，即可判断选项

C；利用向量的数量积求夹角即可判断选项£(.

【解答】解：由题意，GR//CD,CQU平面C”D,CDu平面CHD,所以AG〃平面故A正

确；

建立空间直角坐标系，如图所示；

由AB=1,则A(l,0,0),B(1,1,0),£)(0,0,0),G(0,1,1),4(1,0,1),

则猬=(-1,1,1),BD=(-1,-],0),西=(1,0,1)；

所以AC；•百万=1-1+0=0,猬♦£>]=-1+0+1=0,

所以离_LB万，同_1防，

所以AG_L平面以乃，故8正确；

£(1,g,0),F(0,0,；),

所以丽=(-1,-1,1),

因为8C；=(-1,0,1),宿=(-1,I,1),西=(1,0,1),

所以D<.BC；=0,D<AC；=0，

所以DA；为平面ABC,的法向量，

乔・西=-l+g=-g,所以EF与平面ABG相交，且交点为E,

所以所与直线BG不相交，故C错误;

E户•BC；x/3

cos<EF,BC、>=

所以前与8C；所成的角是30。，故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题主要正方体的结构特征，空间中的平行与垂直关系的判断，异面直线所成角的求法，属于中

档题.

三、填空题

13.【分析】利用已知条件列出方程组求解c•即可.

【解答】解:椭圆I+£=l(a>b>0)的两个焦点分别为耳，居，离心率《=立，点P在椭圆上顶点，△PFF，

a~b2

的面积为1,

bc=\

可得,£=，解得Z?=1,c=1>a->/2,

a2

c2=a2-b2

所以右焦点F2的坐标为(1,0).

故答案为：(1,0).

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题.

14•【分析】根据题意，将两个圆的方程变形为一般方程，联立两个圆的方程，计算可得答案.

【解答】解：根据题意，圆C：(x+3r+(y+2)2=4,即f+y2+6x+4y+9=0,

圆C2：(x-iy+y2=9,即f+y2-2x-8=0,

联立两个圆的方程：卜：+1+6x+4y+9=0,有81+分+17=0,

x~+y~-2x—8=0

即直线Afi的方程为8x+4y+17=0；

故答案为：8x+4y+17=0.

【点评】本题考查圆方程的综合应用，涉及圆与圆的位置关系，属于基础题.

15•【分析】利用已知条件求解正方体的外接圆的半径，然后求解球的半径，即可求解球的体积.

【解答】解：面积为16的正方形的四个顶点均在球O的球面上，。01为正方形反CD的外接圆,

正方体的棱长为：4,所以外接圆的半径为，20,

△A«。为等腰直角三角形，所以外接球的半径为：275x0=4.

所以球O的体积为：9x4'=空万.

33

故答案为：—

3

【点评】本题考查几何体的外接球的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

16•【分析】首先写出圆的标准方程，然后结合面积公式可得他的长度，最后结合圆的性质分类讨论即可

求得cosNAOB的值.

【解答】解：圆的方程即（x—2）2+（y+2）2=8,

I产厂

由三角形面积公式可得：Si4BC=-|C4|x|CB|xsinC=ysinC=4sinC=2V3,

则sinC=3,三角形为锐角三角形，则。=工，AABC为等边三角形，

23

从而|AB|=|AC|=r=2夜，

如图所示，点A,O,8的位置如图所示，其中B'是与点8不同的位置，

由于圆的圆心角是同一段弧对应的圆周角的2倍，

故cosZ.AOB=cos—=或cosZAOB=cos—=--.

6262

故答案为：20,且或-3.

22

【点评】本题主要考查圆的方程及其应用，数形结合的数学思想，分类讨论的数学思想等知识，属于中等

题.

四、解答题

17•【分析】（1）连结AC交应）于点O,连结。E,由中位线定理可得SV/OE,利用线面平行的判定定理

证明即可；

（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求解两条直线的方向向量的坐标，然后利用向量的

夹角公式求解即可.

【解答】（1）证明：连结AC交班）于点O,则O为AC的中点，连结OE,

因为£为SC的中点，所以&4//OE,

因为部《平面比花，OEu平面83E,

所以54〃平面也比：

（2）解：因为S-钻8是正四棱锥，所以O为顶点S在底面的射影，

故50，底面他6»,且4cl.

故以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

因为幺=4,AB=2,SE=3EC,

则A(42,0,0),S(0,0,Vl4),fi(0,y/2,0),C(-72,0,0),E(-述,0,恒),

44

所以玄=(0,0,-4?),BE=(--,-y/2,—),

44

故异面直线SA与BE所成角的余弦值为-.

8

【点评】本题考查了线面平行的证明以及异面直线所成角的求解，对于空间角问题，经常选择建立空间直

角坐标系，将问题转化为空间向量进行研究，属于中档题.

18•【分析】（口）由题意利用待定系数法确定圆的方程即可；

（□）由圆心到直线的距离与半径的大小关系可确定直线与圆的位置关系，利用弦长公式可求得弦长.

【解答】解：（口）设圆M的方程为：（x-a）2+（y-b）2=，（r>（））,

(l-a)2+(-1-6)2=户a=l

根据题意得(-1-4)2+(1-6)2=,=></?=1，

。+力一2=0r=2

故所求圆”的方程为：（x-l>+（y-l）2=4.

（□）圆心（1,1）到直线的距离d=13：4-2|=]<2,

79+16

故直线与圆相交，

由弦长公式可得直线m被圆M截得的弦长为2Hi=2x/3.

【点评】本题主要考查圆的方程的求解，直线与圆的位置关系，圆的弦长公式等知识，属于基础题.

19.【分析】（1）当4=1时，CE//平面FBD.连接AC,交6。于点M,连接〃尸.推出E4:EF=2:1.得

3

到MF//CE.然后证明CE//平面8。尸.

（2）取的中点O,连接EO,OD.EOLAB.然后推出OE»_LAB,由08,OD,OE两两垂直，建

立如图所示的空间直角坐标系如，z.求出平面次站的法向量，利用空间向量的数量积求解直线旗与平面

瓦）厂所成角的正弦值.

【解答】解：（1）当/l=L时，CE//平面FBD.

3

证明如下：连接AC,交比>T•点M,连接M/L

因为AB//8,

所以AM:MC=A8:C£>=2:1

又EF=—£A,

3

所以E4:EF=2:1.

所以4W:A7C=AF:瓦'=2:1.

所以MF//CE.

又MFu平面BDF,CE丈平面BDF,

所以CE//平面比厅.

(2)取回的中点O,连接EO,OD.

则EO1.AB.

又因为平面ME_L平面A8CD,平面A3EC平面A88=A8,EOu平面ABE,

所以EOL平面4JCD,

因为Q£)u平面ABCD,

所以EO_LO£).

由8c_LC£>,及AB=2CD,AB"CD,得OD上AB,

由03,OD,OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系。与，z.

因为AE45为等腰直角三角形，AB=2BC=2CD,

所以。4=08=8=OE,

设08=1,

所以。(0,0,0),A(-l,0,0),8(1,0,0),C(1,1,0),0(0,1,0),E(0,0,1).

所以A£i=(2,O,O),BZ5=(-l,l,O),(7分)EF=1M=(--,0,--),F(--,0,-),

33333

__.4a

所以FB=(3,O,-/

设平面8。b的法向量为："=(尤，y,z),

则有卜初二°，

n-FB=0

一x+y=0

所以，42，

-x一一z=0

133

取x=1,得”=(1,1,2).

设直线AB与平面BDF所成的角为0,

|2xl+0xl+0x2|_瓜

则sin0=|cos〈A反万〉|=1'

\AB\\n\2712+12+226

即直线AB与平面BDF所成角的正弦值为逅.

6

【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行与垂直的判断，考查空间想象能力以及逻辑

推理能力，计算能力.

20•【分析】(1)直接利用中点坐标公式求出B的坐标；

(2)利用点到直线的距离公式求出圆的半径，进一步确定圆的方程.

【解答】解：(1)点C(l,-2)和A(3,O),且3是线段AC的中点，

故8(2,-1).

(2)利用点到直线的距离公式，

故圆的方程为(X-1)2+(y+2)2=2.

【点评】本题考查的知识要点：中点的坐标公式，圆的方程的确定，点到直线的距离公式，主要考查学生

的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

21.【分析】(1)设M(x,y),由加_18。=。疝1.加=的/〃M=0,转化为坐标求解.

(2)圆心E(0,l),求出T(-3,1)关于直线-2=0的对称点「(3,-5),

\TP\+\PQ\+\QE\=\T'P\+\PQ\+\QE\...\T'E\=^32+62=^45=375,再减去圆的半径即可求解.

【解答】解：(1)设M(x,y),

因为丽，赭・胸=0,

所以(x,y)•(0-x,2-y)=0,

即x2+y(y-2)=0,

所以M点的轨迹方程为：x2+>'2-2y=0；

(2)圆£的方程为：x2+(y-l)2=l,圆心E(0,l),

设7(-3,1)关于直线/:x-y-2=0的对称点为r(x0,%),

则J%(,+3

22

解得收=[,

1%=-5

所以T(3,-)5,

连接线段交圆E于。，交直线/于产,

则|TP|+|PQ|+|QE|=|T'P\+\PQ\+\QE\...\T，E\=斥格=届=3亚,

当且仅当E,Q,P,7共线时，达到最小值3石，

因为|。£|=1,

所以(|研+|「。|篇=3后一1.

【点评】本题考查了轨迹方程，点关于直线的对称点，直线与圆相关的最值问题，属于中档题.

22.【分析】(1)证明8E//平面PCD即可得出8E//尸G;

(2)求出平面BEF的法向量弁，计算方和万的夹角得出直线P3与平面BE尸所成角的大小；

(3)求出。到平面麻户的距离，与平面BE尸所成角的大小，计算OM的长，得出丽的坐标，从而

得出BM的坐标，进而求出BM的长.

【解答】⑴证明：•.■£；是4)的中点，BC//AD,BC=-AD,

2

四边形是平行四边形，

:.BE//CD,又5EU平面PCD,CDu平面「8,

.1BE//平面尸CD,

又8Eu平面BEF,平面3砂C平面PCD=FG,

:.BEHFG.

(2)解：NADC=90。，.•.平行四边形3CDE是矩形,

：.BEYAD,

以E4,EB,EP为坐标轴建立空间直角坐标系E-型，如图所示,

贝I]p(o,0,76),B(0,1,0),E(0,0,0),F(--,1_

22

1

/.PB=(0»1,-x/6),丽=(0,1,0),BF=(--,-一,

22