【中小学数学教学设计案例】人教版高中必修1案例教学设计资料汇总

人教版高中必修1案例教学设计资料汇总

集合与函数概念

吉林省延边二中周国华

一、教材分析

集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些

内容.本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有

关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力.

函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变：思维从静止走向了运动、从

运算转向了关系.函数是高中数学的核心内容，是高中数学课程的一个基本主线，有了这

条主线就可以把数学知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些.函数与

不等式、数列、导数、立体、解析、算法、概率、选修中的很多专题内容有着密切的联

系.用函数的思想去理解这些内容，是非常重要的出发点.反过来，通过这些内容的学

习，加深了对函数思想的认识.函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终.高中数学课

程中，函数有许多下位知识，如必修1第二章的幕、指、对函数数，在必修四将学习三角

函数.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.

二、学情分析

1.学生的作业与试卷部分缺失，导致易错问题分析不全面.通过布置易错点分析的任

务，让学生意识到保留资料的重要性.

2.学生学基本功较扎实，学习态度较端正，有一定的自主学习能力.但是没有养成及

时复习的习惯，有些内容已经淡忘.通过自主梳理知识，让学生感受复习的必要性，培养

学生良好的复习习惯.

3.在研究例4时，对分类的情况研究的不全面.为了突破这个难点，应用几何画板制

作了课件，给学生形象、直观的感知，体会二次函数对称轴与所给的区间的位置关系是解

决这类问题的关键.

三、设计思路

本节课新课中渗透的理念是：“强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极

性”.在本节课的学习过程中，教师没有把梳理好的知识展示给学生，而是让学生自己进

行知识的梳理.一方让学生体会到知识网络化的必要性，另一方面希望学生养成知识梳理

的习惯.在本节课中不断提出问题，采取问题驱动，引导学生积极思考，让学生全面参

与，整个教学过程尊重学生的思维方式，引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问

题.通过自主分析、交流合作，从而进行有机建构，解决问题，改变学生模仿式的学习方

式.在教学过程中，渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想、函数与方程思想.在教学

过程中通过恰当的应用信息技术，从而突破难点.

四、教学目标分析

（一）知识与技能

1.了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，集合的基本运算.

A：能从集合间的运算分析出集合的基本关系.B：对于分类讨论问题，能区分取交还是取

并.

2.理解函数的定义，掌握函数的基本性质，会运用函数的图象理解和研究函数的性

质.

A：会用定义证明函数的单调性、奇偶性.B：会分析函数的单调性、奇偶性、对称性的关

系.

（二）过程与方法

1.通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内

容网络化、系统化.

2.在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，

体会集合与函数的本质.

（三）情感态度与价值观

在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的

学习习惯，独立获取数学知识的能力.在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树

立学好数学的信心.在例4的解答过程中，渗透动静结合的思想，让学生养成理性思维的

品质.

五、重难点分析

重点：掌握知识之间的联系，洞悉问题的考察点，能选择合适的知识与方法解决问

题.

难点：含参问题的讨论，函数性质之间的关系.

六.知识梳理（约10分钟）

提出问题

问题1:把本章的知识结构用框图形式表示出来.

问题2：一个集合中的元素应当是确定的、互异的、无序的，你能结合具体实例说明

集合的这些基本要求吗？

问题3：类比两个数的关系，思考两个集合之间的基本关系.类比两个数的运算，思

考两个集合之间的基本运算，交、并、补.

问题4：通过本章学习，你对函数概念有什么新的认识和体会吗？

请结合具体实例分析，表示函数的三种方法，每一种方法的特点.

问题5：分析研究函数的方向，它们之间的联系.

在前一次晚自习上，学生相互展示自己的结果，通过相互讨论，每组提供最佳的方

案.在自己的原有方案的基础上进行补充与完善.

学生回答问题要点预设如下：

1.集合语言可以简洁准确表达数学内容.

2.运用集合与对应进一步描述了函数的概念，与初中的函数的定义比较，突出了函数

的本质函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.

3.函数的表示方法主要有三种，这三种表示方法有各自的适用范围，要根据具体情况

选用.

4.研究函数的性质时，一般先从几何直观观察图象入手，然后运用自然语言描述函数

的图象特征，最后抽象到用数学符号刻画相应的数量特征，也是数学学习和研究中经常使

用的方法.

设计意图：通过布置任务，让学生充分的认识自己在学习的过程中，哪些知识学习的

不透彻.让学生更有针对的进行复习，让复习进行的更有效.让学生体会到知识的横向联

系与纵向联系.通过类比初中与高中两种函数的定义，让学生体会到两种函数的定义本质

是一样的.

七、易错点分析（约3分钟）

问题6：集合中的易错问题，函数中的易错问题?主要是作业、训练、考试中出现的问

题？

（任务提前布置，由课代表汇总，并且在教学课件中体现.教师不进行修改，呈现的是原始

的）

教师展示学和成果并进行点评.

对于问题6主要由学生讨论分析，并回答，其他学生补充.这个过程尽量由学生来完

成，教师可以适应的引导与点评.

设计意图：让学生学会避开命题者制造的陷阱，通过不断的分析，让学生了解问题出

现的根源，充分暴露自己的思维，在交流与合作的过程中，改进自己的不足，加深对错误

的认识.通过交流了解别人的错误，自己避免出现类似的错误.

八、考察点分析（约5分钟）

问题7：分析集合中的考察点，函数中的考察点.

问题8：知识的横纵联系.

学生回答问题要点预设如下:

1.集合中元素的互异性.

2.AQB,则集合A可以是空集.

3.交集与并集的区分，即何时取交，何时取并，特别是含参的分类讨论问题.

4.函数的单调性与奇偶性的证明.

5.作业与试卷中出现的问题.

6.学生分析本章的考察点，主要分析考察的知识点、思想方法等方面.

设计意图：让学生了解考察点，才能知道命题者的考察意图，才能选择合适的知识与

思想方法来解答.例如如果试题中出现集合，无论试题以什么形式出现，考察点基本是集

合间的基本关系、集合的运算.

九、典型问题分析

例1：设集合，=(x|/+4x=0}

B-a|W+2(a+l)x+=(I)若3=/,求实数a的值；

(2)若幺。3=3,求a的值;

(3)若5113=8,求a的值.教师点评，同时板书.

(1)答案：或a=l；

(2)答案：a=1或aVI；

⑶答案：a=l.

由学生分析问题的考察点，包括知识与数学思想.(预设有以下几个方面)从知识点

来分析，这是集合问题.考察点主要为集合的表示方法、集合中元素的特性、集合间的基

本关系、集合的运算等.学生在解第1个问时，可能漏掉特殊情况.第2、3问可能会遇到

一定的障碍，可以给学生时间进行充分的思考.

设计意图：让学生体会到分析考察点的好处，养成解题之前分析考察点的习惯.能顺

利的找到问题的突破口，为后续的解答扫清障碍.通过一题多问、一题多解、多题归一，

让学生主动的形成发散思维，主动应用转化与化归的思想.

例2：已知函数JO)是定义在R上的奇函数，当xNO时，

/(X)=X(1+K),求函数的解析式.

变式：函数是偶函数

教师对生回答进行点评.并板书.

x(1+x),x20

xO-x),x<0

学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充.

学生回答问题要点预设如下：

1.考察点为函数的奇偶性与函数图象的关系.

2.函数的奇偶性的定义.

3.转化与化归的思想.

法一：本题即求X<0,函数的解析式，可先利用函数的奇偶性绘制函数的图象，把本题

转化为二次函数的图象与解析式的问题.

法二：本法更具有一般性，已知

X20时，函数的解析式，要分析x<0时的函数对应关系，即当一个数小于零时，函数值

应当怎样计算.由于函数具有奇偶性，即一个数与它的相反数的函数值之间有关系，

-x>0,所以可以研究一x的函数值.

设计意图：学生在思考的过程中，体会数形结合思想.函数的奇偶性与函数的图象的

关系，可以根据奇偶性绘制函数图象，也可以通过函数的图象分析函数的奇偶性，两者是

相辅相承的.体会转化与化归的思想，把要研究的转化为已知的.考察函数的单调性的证

明，函数的奇偶性与单调性之间的关系，体会知识的纵向联系.体会转化与化归的思想、

特殊与一般的数学思想，让学生体会到问题后面隐含的本质.

例3：已知/（＞）是偶函数，而且在（0，-8）上是减函数，判断了（＞）在（-8,0）上是增函数

还是减函数，并证明你的判断.

变式1:函数为奇函数

变式2：你能分析奇函数（偶函数）在对称区间上的单调性的关系吗?试从数形两个方面来分

析.

学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充.

学生回答问题要点预设如下：

1.考察点为函数的奇偶性与单调性的关系.

2.函数的单调性的定义.

3.数形结合、转化与化归的思想.

法一：通过函数的图象分析.

法二：把要研究的范围转化为已知的范围.

设计意图：明确函数的性质是一个有机的整体，不是一个个知识点的简单罗列.同时

体会知识的纵向联系与横向联系，在第二个方法中进一步感受转化与的思想.通过两个变

式的研究过程，学生体会研究探索性问题的一般思路，即通过特殊情况分析结果，再对结

果的正确性进行证明.

例4：求/(x)=--2a-lx-1在区间［0,2］上的最大值和最小值.

(_3

变式：/(x)=4+(2a・1)x-3在区间I2,」上的最大值是1,求4的值.

教师用几何画板演示，二次函数对称轴的变化对函数的最值的影响.

答案：a<0时，最大值是3-牝，最小值是-l；0Wa<0时，最大值是3-4a,最小值

是一1-a'；lMa£2时，最大值是一1,最小值是>2时，最大值是-1,最小值

是3-4a.

-a=-1(3+272)

变式答案:4或2

学生通过直观的演示，思考问题的考察点与解答策略.

学生回答考察点分析(预设):

1.二次函数的图象与性质.

2.分类与整合.

3.逆向思维.

学生回答解题思路分析（预设）：

研究二次函数的对称轴方程与所给的区间的关系.

设计意图：通过几何画板的动态性，给学生直观的感知，从而建立最近发展区，进而

突破难点.

通过对二次函数的研究，学生巩固了上位知识函数的图象与性质，充分体会数形结合

的优势.学生在解答变式的过程中，体会逆向思维与正向思维的关系，体会函数与方程思

想，感受到动静结合.

十、课后小结

1.知识网络

2.知识的来龙去脉

3.问题中体现的数学思想

4.分析问题的基本思路

学生总结，教师板书.

设计意图：让学生把知识窜串，形成网络，能迅速而准确的选用知识来解答问题.

十一、课后总结

巩固所学，补充课上的不足.主要是本节课中没有涉及的问题，本节课中理解有困难

的问题.

1.已知人力是定义在R上的函数，设队’2,二

（1）试判断以（脂反。的奇偶性；（2）试判断鼠。第1）与门力的关系；

（3）由此你猜想得出什么样的结论，并说明理由？

2.设函数了（x）=x'+|x-2|+l,xeR,

（1）讨论/（X）的奇偶性；（2）求/（X）的最小值.

3.己知集合4=（刀|/_皿+“_】9=。），3=3|1y_»+6=0）,

C=（Z|Z3+2Z-8=0）,是否存在实数冽，同时满足/n3w0./nc=0.

4.将长度为20C7M的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面

积之和最小，正方形的周长应为多少？

十二、教学反思

在复习课中，教师要充分调动学生学习的自主性，让学生独立制定出适合自己的知识

结构、整理出自己在本章学习中出现的问题.在课堂上，学生通过交流与合作，体会解决

问题成功的喜悦.从而养成良好的学习习惯、树立信心.感受知识的横向联系与纵向联

系，洞悉知识的本质、问题的根源，从而形成深刻的印象，少出现或避免出现类似的问

题.通过分析知识的来龙去脉，明确知识的用途.通过典型题分析，回顾主干知识，重要

的数学思想，感受知识与数学思想的有机融合.

函数的单调性

北京景山学校许云尧

【教学目标】

1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调

性定义判断、证明函数单调性的方法.

2.通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归

纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力.

3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，

让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程.

【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明.

【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.

【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习.

【教学手段】计算机、投影仪.

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

课前布置任务：

(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8

日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.

(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.

课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，

平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.

下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.

T(°C),

32

31

30

29

居

〃

M

2M5

。1I234s678910II1213M1516171819加212223Mt(时)

引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考.

问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到：

(2)在某时刻的温度：

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.

在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活

是很有帮助的.

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？

预案：水位高低、燃油价格、股票价格等.

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小.

K设计意图》由生活情境引入新课，激发兴趣.

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没

有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.

1.借助图象，直观感知

y=x+2,/=-x+2,y=xl,y=—

问题1：分别作出函数x的图象，并且观察自变

量变化时，函数值有什么变化规律？

预案：（1）函数丁=X+2在整个定义域内y随x的增大而增大；函数尸=一4+2在整

个定义域内y随x的增大而减小.

（2）函数尸=/在〔°，*°）上y随x的增大而增大，在（-8,0）上了随入的增大而减小.

1

（3）函数-在（0・+8）上y随x的增大而减小，在（-8.0）上y随x的增大而减小.

引导学生进行分类描述（增函数、减函数）.同时明确函数的单调性是对定义域内某

个区间而言的，是函数的局部性质.

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？

预案：如果函数J。）在某个区间上随自变量A■的增大，y也越来越大，我们说函数

/*）在该区间上为增函数；如果函数了（乃在某个区间上随自变量x的增大，y越来越

小，我们说函数了（X）在该区间上为减函数.

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认

识.

K设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识.

2.探究规律，理性认识

2,小

y=x+—（x>0）

问题1：下图是函数x的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函

数和减函数吗？

学生的困难是难以确定分界点的确切位置.

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精

确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.

K设计意图1使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.

问题2：如何从解析式的角度说明/（x）=X'在为增函数？

预案：（1）在给定区间内取两个数，例如1和2,因为所以在

[0,*。）为增函数.

（2）仿（1）,取很多组验证均满足，所以了（."）=♦在[°，田）为增函数.

（3）任取州,血€[0.-H0）.且M<勺，因为X：-XJ=（X1+与）。1-<0,即

X1<X2,所以/（X）=X在为增函数.

对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到

问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量

工设计意图H把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次

认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.

3.抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.

（1）板书定义

（2）巩固概念

判断题：

已知/（X）=」.因却（-1）〈/⑵，所以屈蜘（X）是增函数

①X

②若函数〃x）满足〃2）</（牝则函如。应区|可23]±为增函数.

③若函数/（X）在区间QZ和（2,3）上均为增函数，则函数了⑶在区间（1,3）上为增

函数.

/（x）aA/（x）=1

④因为函数」’’-X在区间（-00）和（°，+°。）上都是减函数，所以‘’"X在

（-8,0）U（0,-KO）上是减函数.

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域（如一次函数），可以是定义域内

某个区间（如二次函数），也可以根本不单调（如常函数）.

③函数在定义域内的两个区间46上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在

/UB上是增（或减）函数.

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？

K设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断

题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.

三、掌握证法，适当延展

2

例证明函数一3-'；在（3，*°）上是增函数.

1.分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流.

证明：任取X1・X2£（及•♦8）.且为＜与，设元

X】X]求差

=（毛-^a）+（---）

X1X2变形

=(Xi-xa)(l--)

—

Xi丐

断号

■：J2<x,<x3.

xt-x3<0,^X3>2,

】）-/（即/

.•J（xX2）<0,5）<f（x3）,

2

函数'x-"输在（匾,田）上是增函数.定论

2.归纳解题步骤

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论.

练习：证明函数/（X）=石在［0.+8）上是增函数.

问题：要证明函数/*）在区间（43上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得

对任意的X1，4e（a,b）,且ANX?有工2-%可以吗？

引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数

/（X）=J7在［0.48）上是增函数.

K设计意图》初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.等价形式进一步发展

可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔.

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共

同完成小结.

1.小结

(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.

(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论.

(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等.

2.作业

书面作业：课本第60页习题2.3第4,5,6题.

课后探究：

(1)证明：函数/(X)在区间(°演)上是增函数的充要条件是对任意的

〃了+町・/5)>0

x.x+heg.b),且AwO.有h

>»=x+—(x>0)

(2)研究函数-X'的单调性，并结合描点法画出函数的草图.

《函数的单调性》教学设计说明

一、教学内容的分析

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一

个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据.

对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：(1)要求用准确的数学符号语

言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是

比较困难的；(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生

在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本

节课的重点和难点.

二、教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不

同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、

证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能

力的培养和良好思维习惯的养成.

三、教学方法和教学手段的选择

本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过

创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.本节课使用了多媒体投影和

计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的

材料，有助于学生对问题的理解和认识.

四、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：

(1)在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的

认知过程，完成对单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入.

(2)在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性

的方法和步骤.

(3)考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的

延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔.

”方程的根与函数的零点”教学设计(2)

刘宗良

内容和内容解析

本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在

性定理.

函数零点是研究当函数/(X)的值为零时，相应的自变量X的取值，反映在函

数图象上，也就是函数图象与，轴的交点横坐标.

由于函数/(X)的值为零亦即其本身已是方程的形式，因而函数的

零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程了(灯・°有解，则函数

存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与，轴的交点

横坐标.顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题.这是

函数与方程关系认识的第一步.

零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件.如果函

数了一/⑶在区间1物上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足

f（a）・f（8）＜0,则函数尸・/（丫）在区间（a,6）内至少有一个零点，但零点的个

数，需结合函数的单调性等性质进行判断.定理的逆命题不成立.

方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊

的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后

将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同

样采用了类似的方法，同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思

想”.

方程的根与函数零点的关系研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”的

学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数

学重要思想方法一一“函数与方程思想”的理论基础.可见，函数零点概念在

中学数学中具有核心地位.

本节的教学重点是，方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理.

目标和目标解析

通过本课教学，要求学生：理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，

在此基础上，学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题；理解零

点存在性定理，并能初步确定具体函数存在零点的区间.

1.能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与，

轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系；

2.正确理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道

定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点只能不止一个；

3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数；

4.能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应

的函数；并会判断存在零点的区间（可使用计算器）.

三.教学问题诊断分析

学生已有的认知基础是，初中学习过二次函数图象和二次方程，并且解过“当函数值为0时，求相应自变

量的值”的问题，初步认识到二次方程与二次函数的联系，对二次函数图象与，轴是否相交，也有一些直

观的认识与体会.在高中阶段，已经学习了函数概念与性质，掌握了部分基本初等函数的图象与性质.

教学的重点是方程的根与函数零点的关系及零点存在性定理的深入理解与应用.

以二次方程及相应的二次函数为例，引入函数零点的概念，说明方程的根与函数零点的关系，学生并不会

觉得困难.学生学习的难点是准确理解零点存在性定理，并针对具体函数（或方程），能求出存在零点

（或根）的区间.

教学过程中，通过引导学生通过探究，发现方程的根与函数零点的关系；

而零点存在性定理的教学，则应引导学生观察函数图象与，轴的交点的情况，

来研究函数零点的情况，通过研究：①函数图象不连续；②③

/⑷小）＜。,函数在区间上不单调;④/⑷/⑼函数在区间上单调,等各

种情况，加深学生对零点存在性定理的理解.

四.教学支持条件分析

本节教学目标的实现，需要借助计算机或者计算器，一方面是绘制函数图象，通过观察图象加深方程的

根、函数零点以及同时函数图象与工轴的交点的关系；另一方面，判断零点所在区间过程中，一些函数值

的计算也必须借助计算机或计算器.

五.教学过程设计

1.方程的根与相应函数图象的关系

复习总结一元二次方程与相应函数与X轴的交点及其坐标的关系：

A：UA-0A<0

一元二次方程根的个

数

图象与X轴交点个数

图象与X轴交点坐标

意图：回顾二次函数图象与，轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备.

问题一、上述结论对其他函数成立吗？为什么？

在《几何画板》下展示如下函数的图象：

y=2x-4「=(x-l)(x+2)(x-3)y=(/7)(x+2)(2x-6)¥=2"-8、

y=!n[x-2)

比较函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系。

函数尸・/卜)的图象与x轴交点，即当了(灯-0,该方程有几个根，/卜)的图象与X轴就有几个

交点，且方程的根就是交点的横坐标.

意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数。

2.函数零点概念

对于函数把使了田一°的实数，叫做函数了・/(工)的零点.

说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值.

3.方程的根与函数零点的关系

方程/(x)■。有实数根函数了■/(x)的图象与x轴有交点函数F-/(x)有零

点

以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化

为函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为方程问题.这正是函数与

方程思想的基础.

4.零点存在性定理

问题二、观察图象(气温变化图)片段，根据该图象片段，将其补充成完

整函数图象，并问：是否有某时刻的温度为0℃?为什么？(假设气温是连续

变化的)

意图：通过类比得出零点存在性定理.

给出零点存在性定理：如果函数y-fW在区间上的图象是连续不断一

条曲线，并且有那么，函数了-/⑴在区间色⑼内有零点.即存在

。€（叫,使得今）・0,这个C也就是方程/付・0的根.

问题三、不是连续函数结论还成立吗？请举例说明。

^=-+2

在《几何画板》下结合函数x的图象说明。

问题四、若/（a）,®",函数在区间在上一定没有零点吗？

问题五、若‘（a）,e）＜0,函数了・/卜）在区间在上只有一个零点吗？可

能有几个？

问题六、/（司/0）＜°时，增加什么条件可确定函数了一/（X）在区间在口珏上

只有一个零点？

在《几何画板》下结合函数y=x'+2P-2--2x的图象说明问题四、五、

八。

意图：通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理.

5.例题：求函数」门）=^^+2/-6的零点的个数.

问题七、能否确定一个区间，使函数在该区间内有零点.

问题八、该函数有几个零点？为什么？

意图：通过例题分析，学会用零点存在性定理确定零点存在区间，并且结

合函数性质，判断零点个数的方法.

六.目标检测设计

1.已知函数f(X)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几

个区间内有零点？为什么？

X1234610

f⑻20-5.5-2618-3

2.函数，(X)=(»4)(X-4)(X+2)在区间［_5,6］上是否存在零点？若存

在，有几个？

3.利用函数图象判断下列方程有几个根

⑴2x(x-2)=-3

(2)e""+4=4x

4.指出下列函数零点所在的大致区间

(1)〃X)=T3-3X+5

(2)/(x)=3(X+2)(X-3)(X+4)+X

最后，师生共同小结(略)

思考题：函数/(x)=bx+2x-6的零点在区间23］内有零点，如何求出这

个零点？设计意图：为下一节“二分法”的学习做准备.

指数函数说课稿

塘沽一中阚学雯

我本节课说课的内容是高中数学第一册第二章第六节“指数函数”的第一课时一一指

数函数的定义，图像及性质。我将尝试运用新课标的理念指导本节课的教学。新课标指

出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线,

在原有知识的基础上，建构新的知识体系。我将以此为基础从教材分析，教学目标分析，

教法学法分析和教学过程分析这几个方面加以说明。

一、教材分析

1、教材的地位和作用

函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是

学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及

指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生

得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，

研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对

知识起到了承上启下的作用。

2、教学的重点和难点

根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况,学生对抽象的指数函数及其图象缺乏

感性认识。为此，在教学过程中让学生自己去感受指数函数的生成过程以及图象和性质是

这一堂课的突破口。因此，指数函数的图像、性质及其运用作为教学重点，本节课的难点

是指数函数图像和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。

3,课前思考与准备

包括学生在学习新课前的知识储备，和能力储备，这不意味着我们形式化的给予学生

一个预习任务，所以我将通过课前思考题让问题引领学生自觉地投入对新知识的探究之

中。我设计了几个简单问题，如下:

1、若时，总有意义，求的范围？

2、计算并完成以下表格

n-3-2-10123

二、教学目标分析

新课标指出教学目标应包括知识目标、能力目标和情感目标这三个方面，而这三维目

标又应是紧密联系的一个有机整体，学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学

习，形成正确的价值观的过程。以此为指导我制定了以下的教学目标

1、知识目标（直接性目标）：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及

其简单应用

2、能力目标（发展性目标）：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体

会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力

3、情感目标（可持续性目标）：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性

之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。

三、教法学法分析

1、教法分析

遵循“教师的主导作用和学生的主体地位相统一的教学规律”，本节课我采用引导

发现式的教学方法并充分利用多媒体辅助教学。通过教师在教学过程中的点拨，启发学生

通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受。

2、学法分析

本节课所面对的是高中一年级的学生，这个年龄段的学生思维活跃，求知欲强，但

在思维习惯上还有待教师引导，本节课从学生原有的知识和能力出发，教师将带领学生创

设疑问，通过合作交流、共同探索来寻求解决问题的方法。

四教学过程分析

根据新课标的理念，我把整个的教学过程分为六个阶段，即：创设情境，形成概念

发现问题，探求新知深入探究，加深理解强化训练，巩固双基

小结归纳，拓展深化布置作业，提高升华

1、创设情境，形成概念

在本节课的开始，我设计了一个游戏情境，学生分组，通过动手折纸，观察对折的次

数与所得的层数之间的关系，得出对折次数x与所得层数y的关系式。在学生动手

操作的过程中激发学生学习热情和探索新知的欲望。此时教师给出指数函数的定义，即形

如(a>0且a#l)的函数称为指数函数，定义域为R。教师将引导学生探究为什么

定义中规定a>0且a#l呢？对a的范围的具体分析，有利于学生对指数函数一般形式的掌

握，同时为后面研究函数的图象和性质埋下了伏笔。在给出学生定义之后可能会有同学感

觉定义的形式十分简单，此时教师给出问题，打破学生对定义的轻视，你能否判断下列函

数哪些是指数函数吗？

(1)(2)(3)(4)

在学生判断的过程中教师给予适时指导，学生体会哪些是指数函数的过程也是学生头

脑中不断完善对定义理解的过程。教师提醒学生指数函数的定义是形式定义,就必须在形式

上一摸一样才行，进而得出只有(D是指数函数。通过这一环节使学生对定义有了更进一

步的认识。此时教师把问题引向深入，我们要研究一个函数，光有定义是远远不够的，还要

对一个函数的图像和性质进行进一步的研究。教师带领学生进入下一个环节一一发现问

题，探求新知。

2、发现问题，探求新知

指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到的第一个具体函数，所以在

这部分的安排上我更注重学生思维习惯的养成，即应从哪些方面，那些角度去探索一个具

体函数，所以我设置了以下三个问题，(1)怎样得到指数函数的图像？(2)指数函数图

像的特点(3)通过图像，你能发现指数函数的那些性质？以这三个问题为载体，带领学生

进入本节课的发现问题，探求新知阶段。这也是本节课的重点环节。

(1)函数图像

学生分成四个小组，分别完

成通过前面知识的学习，学生可以

较快的通过描点法将图像画出，最后教师在多媒体上将这四个图像给予展示，这样做既避免

了学生在画图过程中占用过多时间又让学生体会到了合作交流的乐趣。此时教师组织学生

讨论，并引导学生观察图像的特点，得出a>l和0<a〈l这两种情况在图像上的特点。这

里，我将通过几何画板的动态演示给予学生更加直观的体验，从而得出结论。在此环节

中，学生对具体的函数进行观察归纳，通过合作交流，加之多媒体的动态演示，将具体化

为抽象，并感受了对底的分类讨论的思维方式，从而达到了重点的突破。

（2）根据函数图像研究函数性质

a>l0<a<l

图

像

定义域R值域（0,+8）

性恒过（0,1）点

在R上是增函数在R上是减函数

质

我将给出表格，引导学生根据图像填写。让学生充分感受以图像为基础研究函数的性

质这一重要的数学思想。表格的完成将会使学生体会到很大的成功感，也将学生思考的热

情带入高峰，此时教师再次提出问题，底的变化与图像位置之间是否也与存在着联系呢，

由此将带领学生进入本节课的第三个环节一一深入探究，加深理解，这也是本节课所要突

破的一个难点。

3、深入探究，加深理解

问题的提出将带领学生进入本节课研究与探索的高潮。学生可能从不同的视角观察图

像，从而得出自己发现的规律，但此时教师并不急于给出结论，而是让学生充分经历知识

的形成过程，从而形成自己对本节课难点的理解和解决策略，培养学生的直觉和感悟能

力。最后教师通过多媒体，让学生更直观的体会指数中图像的变化规律，即（1）在第一象

限中，随着底增大图像位置升高；同时引导学生从对称性的角度上观察图像得到（2）底互

为倒数的两个函数图像关于y轴对称。在这一环节中，通过教师的指引和学生的积极思考

使图像与低的关系自然浮出水面，而非强加给学生，真正实现本节课难点的突破。

通过前面几个环节，学生已基本掌握了本节课指数函数的相关知识，此时我将带领学

生体验运用新知识去解决问题的乐趣，进入本节课的下一个环节一一当堂训练，共同提

高。

4、当堂训练，巩固双基

例1：比较下列各题中两值的大小

01

（1）L72S,173,（2）0.8,0.8初;一一同底指数暴比较大小

同底数基比大小，构造指数函数，利用函数单调性

(3)与(4)与一一不同底但可化同底

(5)(0.3)一叱@2)小一一底不同但同指数

不同底数幕比大小，利用图像与底之间的关系，结合函数图像进行比较

(6)1.703,0.931——底不同，指数也不同

利用函数图像或中间变量进行比较

例2：已知下列不等式，比较的大小：

(1)

(2)

(3)(且)

一本例题诣在对知识的逆用，建立学生的函数思想及分类讨论思想。

5、小结归纳，拓展深化

在小结归纳中我将从学生的知识，方法和体验入手，带领学生从以下三个方面进行小

结：

(1)通过本节课的学习，你学到了那些知识？

（2）你又掌握了哪些学习方法？

（3）你能将指数函数的学习与实际生活联系起来吗？

让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下

基础。所以在这一部分我的设计意图是回顾知识，拓展深化。

6、布置作业，提高升华

将作业分为必做题和选作题两个部分，必做题面向全体，注重知识反馈，选作题更注

重知识的延伸性和连贯性，可让让有能力的同学去探求。最后我布置两道思考题

（1）今天我们所学的性质是由观察图像得到的，那么这些性质能否通过推理的方法得

到呢?

（2）目的在于让学生认识到除了通过观察图像，演绎推理也是研究数学常用的思想，

将学生思维引领向更高的层次

（2）探究签合同问题

A先生从今天开始每天给你10万元,而你承担如下任务:第一天给A先生1元,第二天

给A先生2元,，第三天给A先生4元,第四天给A先生8元，依次下去，…,A先生要和你签

定15天的合同,你同意吗?又A先生要和你签定30天的合同,你能签这个合同吗？

答案：15天的合同可以签，而30天的合同不能签.

目的在于让学生体会指数的增长速度之快，同时让学生感受指数的用途，激发学生的

兴趣。

以上六个环节环环相扣，层层深入，并充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整

体调控下，学生通过动手操作，动眼观察，动脑思考，层层递进，学生亲身经历了知识的

形成和发展过程，以问题为驱动，使学生对知识的理解逐步深入。而最终的思考题又将激

发学生兴趣，带领学生进入对指数函数更进一步的思考和研究之中，从而达到知识在课堂

以外的延伸。

函数的单调性

湖北省黄石实验高中杨瑞强

教学目标

知识目标：初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念,

并掌握判断一些简单函数单调性的方法。

能力目标：启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造地解

决问题；通过观察一一猜想一一推理一一证明这一重要的思想方法，进一步培

养学生的逻辑推理能力和创新意识。

德育目标：在揭示函数单调性实质的同时进行辩证唯物主义思想教育。：

教学重点：函数单调性的有关概念的理解

教学难点：利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性

教具：多媒体课件、实物投影仪

教学过程:

一、创设情境，导入课题

［引例1］如图为2006年黄石市元旦24小时内的气温变化图.观察这张气

温变化图：

问题1：气温随时间的增大如何变化?

问题2：怎样用数学语言来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特

征？

［引例2］观察二次函数/的图象，从左向右函数图象如何变化？并总结

归纳出函数图象中自变量x和y值之间的变化规律。

结论：（1）y轴左侧：逐渐下降；y轴右侧：逐渐上升