北师大版2021-2022学年中考数学模拟试题（一模）（解析版）

【精编整理】北师大版2021-2022学年中考数学模仿试题（一模）

（解析版）

一、选一选（共13小题；每小题3分，共39分）

1.一个直角三角形有两条边长为3,4,则较小的锐角约为（）

A.37°B.4fC.37°或41°D.以上答案

均不对

【答案】C

【解析】

【详解】试题解析：①若3匚4直角边，

:两直角边为3口4口

.•.斜边长=律萍=5口

3

二较小的锐角所对的直角边为3,则其正弦值为

②若斜边长为4,则较小边="二?■之2.65口

.•.较小边所对锐角正弦值约=竺=0.6625

4

利用计算器求得角约为37。或41°

故选CD

2.已知。0的半径为5,点P到圆心0的距离为6,那么点P与。O的地位关系是（）

A.点P在。O上B.点P在。O内

C.点P在OO外D.无法确定

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：由于OP=6>5,所以点P与回。的地位关系是点在圆外.

故选C.

考点：点与圆的地位关系.

3.若田。八团。2的半径分别为4和6,圆心距。1。2=8,则回。1与d。2的地位关系是（）

A.内切B.相交C.外切D.外离

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：001，田。2的直径分别为4和6,圆心距。1。2=2,1301、团。2的半径之和为5,

只差为1,而1<。1。2=2<5,所以两圆相交

考点：两圆的地位关系

点评：考查两圆的地位关系，利用两圆的圆心距和两圆的半径之差或者之和，来判断两圆的地

位

4.在团ABC中,13c=90°,0A=72°,AB=10,则边AC的长约为（到0.1）（）

A.9.1B.9.5C.3.1D.3.5

【答案】C

【解析】

【详解】分析：在Rt回ABC中，根据三角函数的定义，易得AB、AC及鼬的关系，进而计算可得

答案.

解答：解：根据题意

A

在RtEABC中，有cosA=------，sinA=------：

ABAB

则AC=AB?cosA=10xcos72°=3.1；

故选C.

5.已知抛物线y=-x?+l的顶点为P,点A是象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的

平行线交二次函数图象于点B,分别过点B、A作X轴的垂线，垂足分别为C、D,连结PA、

PD,PD交AB于点E,®PAD与E1PEA类似吗？（）

/C0D\x

A.一直不类似B.一直类似C.只要AB=AD时类似D.无法确定

【答案】B

【解析】

ppDA

【详解】试题分析：设A（X,-x2+l）根据题意可求出PAPD、PE的值，从而得出——=——,

PAPD

X0APE=0DPA,因此，BPAD0E1PEA.

故选B.

考点：二次函数综合题.

6.已知团。的半径为r,圆心。到直线I的距离为d.若直线I与回0有交点，

则下列结论正确的是（）

A.d=rB.0<d<rC.d>rD.d<r

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：圆与直线有交点，即可能为1个交点或2个交点，当d=r=l时，圆与直

线相切，即有一个交点，当d=r=l时，有两个交点

考点：圆与直线的关系

点评：圆与直线有相交、相切、相离三种关系，其中相交、相切有交点，即当点与直线距离小

于或者等于半径时，圆与直线有交点

7.如图是二次函数丫=2*2+6*+（:的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是【】

B.x>5C.x<-l且x>5D.x<—1或x

>5

【答案】D

【解析】

【详解】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，图象可得出

ax2+bx+c<0的解集:

由图象得：对称轴是x=2,其中一个点的坐标为（5,0）,

回图象与x轴的另一个交点坐标为（-1,0）.

由图象可知：ax2+bx+c<0解集即是yVO的解集，

取<一1或x>5.故选D.

8.已知二次函数y=（x-h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足14X43的情况下，与其对应

的函数值y的最小值为5,则h的值为（）

10.如图，半圆0的半径OA=4,P是OA延伸线上一点，线段OP的垂直平分线分别交OP、

半圆。于B、C两点，射线PC交半圆。于点D.设PA=x,CD=y，则能表示y与x的函数关

系的图象是（）

【答案】A

【解析】

【详解】试题解析：作OE_LCD,垂足为E,如图1口

VZP=ZPDZPBC=ZPEO=90°D

.".△PBC^APEOQ

PBPC

~PE~~OP□

而PB=；OP=；」x+41PE=PC+CE=4+yy

x+4

2--4--□

4+Zx+4

2

/.y=x2+2x-4n4y/2-4xlJ4U

故选A.

11.若二次函数y=Y+6x的图象的对称轴是点（2,0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程

/+云=5的解为（

A.%=0X1-4B.%=1X]—5C.Xj—1nx2=-5D.%——1

%2=5

【答案】D

【解析】

【详解】•.•二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是点（2口0）且平行于y轴的直线，

抛物线的对称轴为直线x=2Q

贝!|----==2：

2a2

解得：b=-4D

.\x2+bx=5即为x2-4x-5=0D

则(x-5)(x+l尸0

解得：xi=5nx2=-i.

故选D.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把二次函数y=ax?+bx+cabc是常数，a/))与

X轴的交点坐标成绩转化为关于X的一元二次方程的成绩.

12.如图为二次函数yaxZ^bxEic的图象，在下列说法中：①ac<0□②方程ax?匚bx二cCjO的根

是xP：：l[Zx2Ei3□③aEJbIZcX)□④当x>l时，y随x的增大而增大.正确的有：0

【答案】②©

【解析】

【详解】试题解析：根据图象可得a>0,c<0,则ac<0,故①正确.

二次函数与x轴的交点是(-1,0)和(3,0),则方程以2+瓜+c=o的根为％=-1,%=3,故②

正确.

当x=l时，y=a+b+c<0,故匚错误.

对称轴是x=l,当x>l时，丫随x的增大而增大.故④正确.

故答案为①②④

13.如图，在RS/8C中□□/C8=90°ZJCZ>EM8口垂足为Q.若4。=石口8。=2口则sin匚4。

的值为(口

A.此B.—C.@D.-

3523

【答案】A

【解析】

【分析】在直角△/8C中口根据勾股定理即可求得”二而N8□匚ZCQ匚即可把求sinlZCD转化

为求siD

【详解】在直角△NBC中□根据勾股定理可得口/5=，4。2+3。2=向导万=3口

B+BCD90°：ACD+BCD90°；BACDsinACDsinB=—=—

AB3

故选AD

【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的运用要纯熟掌握好边角之间的关系难度适

中口

二、填空题（共10题；共30分）

14.已知抛物线y=x2-4x+3,如果点P（0,5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，那么点Q的

坐标是.

【答案】（4,5）.

【解析】

【分析】首先确定抛物线的对称轴，然后根据对称点的性质解题即可.

【详解】•；y=x2-4x+3的对称轴为x=2,

.•.点P（0,5）关于该抛物线的对称轴对称点Q的坐标为（4,5）,

故答案为（4,5）.

15.将函数yDx2的图象向右平移2个单位得函数川的图象，将y与刈合构成新图象，直线

yd"被新图象依次截得三段的长相等，则m匚

【答案】m=4或,

4

【解析】

【详解】试题解析：•.•二次函数y=x2的图象向右平移2个单位，

平移后的解析式为：y=Dx-2C2n

把y=m代入y=x2得m=x2,解得x=±0

把y=m代入产Ux-22得m=x-2D2,解得x=2土〃？口

当ODmDI时，则金-□-而匚=2-金-而,解得m=1口

4

当m匚1时，则2+诟-赤=诟-02-而），解得m=4

故答案为1或4口

4

16.已知抛物线y=-gx2-3x点（-2,m）,那么m=.

【答案】4

【解析】

【详解】试题解析：：尸-只,上点(-2Cm口口

.*.m=-^x22-3xD-2O=4

故答案为4

17.已知圆的半径是6cm，则120。的圆心角所对的弧长是cm.

【答案】471

【解析】

【分析】直接利用扇形的弧长公式计算即可得出结论.

【详解】解：由题意知，，=6cm,"=120,

nrtr_120^x6

—(cm),

180-18()

故答案为：47t.

【点睛】此题次要考查了扇形的弧长公式，解本题的关键是熟记扇形的弧长公式.

18.一个扇形的面积为671cm2,弧长为mm,则该扇形的半径为一.

【答案】12cm.

【解析】

【详解】试题解析：设半径是r,

国一个扇形的弧长是ncm,扇形的面积为6Tlem2,

E)6n=；xTixr,

0r=12.

考点：1.扇形面积的计算；2.弧长的计算.

19.在平面直角坐标系中，将函数y=-2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个

单位长度，所得图象的函数表达式是.

【答案】y=2(x-1)2+5.

【解析】

【详解】试题分析：由“左加右减"的准绳可知，抛物线y=-2x2的图象向右平移1个单位所得函

数图象的关系式是：y=-2(x-1)2；

由"上加下减"的准绳可知，抛物线y=-2(x-1)2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象

的关系式是：y=2(x-1)2+5.

考点：二次函数图象与几何变换.

20.如图，CA±AB,DB±AB,已知AC=2,AB=6,点P射线BD上一动点，以CP为直径作

。0,点P运动时，若。O与线段AB有公共点，则BP值为.

D

9

【答案】

2

【解析】

【详解】试题分析：首先判断当AB与回。相切时，PB的值，设AB与团0相切于E,连接0E,则

OE0AB,过点C作CFEIPB于F,由CA®AB,DBBAB,得至ACBOEISPB,四边形ABPC是矩形，证得

CF=AB=6,在直角三角形PCF中，由勾股定理列方程求解.

试题解析：当AB与回。相切时，PB的值，

如图，设AB与m0相切于E,连接0E,则OEG1AB,

过点C作CF0PB于F,

0AC0OES1PB,

四边形ABPC是矩形,

BCF=AB=6,

BCO=OP,

0AE=BE,

设PB=x,贝ljPC=2OE=2+x,PF=x-2,

0(x+2)2=(x-2)2+62,

9

解得；x=—，

2

9

国BP值为：一.

2

考点：直线与圆的地位关系.

21.已知函数y=（k-3'）x1+2x+\的图象与x轴有交点，则k的取值范围为.

【答案】R

【解析】

【分析】分为两种情况：①当上3切时，（h3）f+2x+l=0,求出/=62_4“c=4+16K）的解集即

可；②当h3=0时，得到函数尸2x+l,与x轴有交点；即可得到答案.

【详解】解：①当七39时，（七3）/+%+1=0,

/l=b2-4ac=22-4（A-3）xl=-4^+16>0,

解得：仁4；

②当％-3=0时，尸2x+l,与x轴有交点；

故〃的取值范围是依4,

故答案为：陋4.

【点睛】本题次要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，函数的性质等知识点的理解和掌

握，能进行分类求出每种情况的％是解此题的关键.

22.某服装店购进单价为15元的童装若干件，一段工夫后发现：当价为25元时平均每天能售

出8件，而当价每降低1元，平均每天能多售出2件,当每件的定价为元时，该服装店

平均每天的利润.

【答案】22

【解析】

【详解】试题分析：设定价为x元时，利润为w元，由题意建立w与x的二次函数关系：w=

25-xh88

（x-15）（二一X4+8）,化简得：«/=—2/+88尤一870,42<0,回当x=——=—=22时，w有值国

22a4

当每件的定价为22元时，该服装店平均每天的利润.

考点：利用二次函数处理实践成绩..

23.E10AB是以正多边形相邻的两个顶点A,B与它的。为顶点的三角形，若回0AB的一个内角为

70°,则该正多边形的边数为.

【答案】9

【解析】

360

【详解】分两种情况讨论：若EIOAB=iaOBA=70。，则回BOA=40。，边数为：——=9；

40

若［3BOA=70。，则边数为：理不为整数，故不存在.综上所述，边数为9.

70

三、解答题（共5题；共51分）

24.如图，00直径AB垂直弦CD于点E,点F在AB的延伸线上，H0BCF=0A.

A

（1）求证：直线CF是回。的切线；

（2）若回。的半径为5,DB=4.求sin!3D的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【详解】试题分析：（1）连接。C,由OA=OA可知0ACCM3A,再根据EIFCBWA可知团ACO=（3FCB,

由于AB是团0的直径，所以EIACO+iaOCB=90o故国FCB+IBOCB=90°故可得出结论；

（2）由AB是团。的直径，CDE1AB可知

试题解析：（1）连接OC,

BOA=OC,

0E)ACO=0A,

又00FCB姬A

E0ACO=fflFCB,

又回AB是130的直径

00ACO+EOCB=9O°,0FCB+EOCB=9O-

回直线CF为囿。的切线，

(2)I3AB是130直径

ffl0ACB=9O0

EIDCEAB

回BC=BO

BBC=BD,0A=0D

HsinND=sinNA=----=——=—

AB1（）5

考点：1.切线的判定：2.圆周角定理；3.解直角三角形.

25.如图，AB是10的直径，AC是弦，半径ODAC于点E,过点D的切线与BA延伸线交

于点F口

⑴求证：CDB=BFD；

⑵若AB=1OE1AC=8,求DF的长.

【答案】（1）证明见解析（2）y

【解析】

【分析】（1）根据切线的性质得到DF囱OD,由于0D回AC,推出DFI3AC,根据平行线的性质得

到I3CAB=®BFD,再根据圆周角定理即可得到结论；

（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用类似三角形的判定与性质得出DF的长.

【详解】解：（IDYDF与。0相切，D为切点，

ADF1OD,

VOD±AC,

；.DF〃AC,

；.NCAB=/BFD,

VZCAB=ZCDB,

；./CDB=/BFD：

2CT.•半径OD垂直于弦AC于点E,AC=8,

；.AE=!AC=!X8C]4,

22

TAB是。0的直径,

，OA=OD=yAB=1x]0=5,

RtAAEO中，0E=7OA2-AE2=A/52-42=3，

VAC//DF,

.,.△OAEcoAOFD,

■OE_AE

^~OD~~DFf

34

:.—―---,

5DF

20

；.DF=—□

3

【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理、平行线的判定与性质、类似三角形的

判定与性质、勾股定理等知识，纯熟掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.

26.水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.如图

所示，已知迎水坡面AB的长为16米，回B=60。，背水坡面CD的长为166米，加固后大坝的

横截面积为梯形ABED,CE的长为8米.

(1)已知需加固的大坝长为150米，求需求填土石方多少立方米？

(2)求加固后的大坝背水坡面DE的坡度.

BCE

【答案】解：(1)需求填土石方150x326=4800百立方米.

(2)加固后的大坝背水坡面DE的坡度为3.

4

【解析】

【分析】(1)分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G.在RtDABF中，已知坡面长和坡角

的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；以CE为底，DG为高即可求出UCED

的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体积.

(2)在Rt匚CDG中，由勾股定理求CG的长，即可得到GE的长；Rt匚DEG中，根据DG、

GE的长即可求得坡角的正切值，即坡面DE的坡比.

【详解】解：(1)如图，分别过A、D作AF匚BC,DGOBC,垂点分别为F、G.

sinZB=—

AB

□AF=16x—=8N/3-即DG=8厅.

2

又二CE=8,S&DCE=；,CE-DG=；x8x8>/3=32y/3.

又「需加固的大坝长为150,需求填方：150x326=4800百.

答：需求填土石方150x326=48(X)6立方米.

(2)在REDGC中，DC=166DG=86

□GC=VDC2-DG2=24.□GE=GC+CE=32.

DE的坡度i=2^=^=@.

GE324

答：加固后的大坝背水坡面DE的坡度为IL

4

27.如图，在ABC中，IC=90°,DBAC的平分线交BC于点D,DECJAD,交AB于点E,

AE为匚O的直径.

(1)判断BC与匚O的地位关系，并证明你的结论；

(2)求证：ABDil匚DBE；

(3)若。0=毡~,AE=4,求CD.

3

【答案】（1）BC与口0相切；（2）证明见解析；（3）二三.

3

【解析】

【详解】试题分析：（1）结论：BC与匚0相切，连接0D只需证明0D匚AC即可.

（2）欲证明匚ABDCmDBE,只需证明OBDEMEIDAB即可.

（3）在RtODB中，由8=器=¥^,设BD=2应k,OB=3k,利用勾股定理列出方程求

出k,再利用DODAC,得处=也列出方程即可处理成绩.

CDAO

试题解析：（1）结论：BC与口0相切.

证明：如图连接OD.

□OA=OD,□□OAD=DODA,DAD平分EiCAB,□OCAD=：ZDAB,□□CAD=DADO,

□ACDOD,EACOBC,OODDBC,匚BC是口0的切线.

（2）[BC是O切线，□ODB=90°,BDE+DODE=90°,AE是直径，口[6口£=90。，

：□DAE+CAED=90°,OOD=OE,□EODE=EOED,□□BDE=EDAB,CnB=OB,

□OABDODDBE.

⑶在RtODB中，：co=—,设BD=2正k,OB=3k,OD2+BD2=OB2,

OB3

□4+8k2=9k2,Dk=2,nBO=6,BD=4正，CDODAC,□—=—,=-,ECD=

CDAOCD2

4>/2

"V

考点：圆的综合题；探求型.

28.如图1,二次函数丫|=8口2口”口4）的图象与x轴交于AE1B两点（点A在点B的左

侧），其对称轴1与x轴交于点C,它的顶点为点D

：1）写出点D的坐标□

2）点P在对称轴1上，位于点C上方，且CP=2CD,以P为顶点的二次函数

2

y2=ax+bx+cna/0）的图象过点A口

①试阐明二次函数y2=ax2+bx+cOa^O）的图象过点B0

②点R在二次函数y尸匚以口2口八口4）的图象上，到x轴的距离为d,当点R的坐标为

时，二次函数y2=ax2+bx+cE）a#））的图象上有且只要三个点到x轴的距离等于2dl

③如图2,已知0m2,过点作x轴的平行线，分别交二次函数

y户口*口2口口*口4匚口丫2=2*2+6*+（:匚a/0）的图象于点EEIFEIGEJH（点EEIG在对称轴I左侧），

过点H作x轴的垂线，垂足为点N,交二次函数yi=dxC2D[JxlZ4）的图象于点Q,若

△GHN^AEHQ,求实数m的值.

【答案】口1口匚3口口1口口

2口①证明见解析；（2）13口亚口1口口口3+夜口1）或（3口」11口③当AGHNs/xEHQ,实数

m的值为1口

【解析】

【详解】试题分析：□□利用配方法将二次函数3=口光口2口口》口4）变形为顶点式，由此即可得

出结论；

匚2口①由点尸在对称轴/上，可得出二次函数为=©2+区+。的图象的对称轴为直线/,再点

4口3关于对称轴/对称，二次函数）＞2=。/+乐+。口。#））的图象过点/,即可得出二次函数

=ax2+bx+cDa^O）的图象过点8口

②由二次函数为=©?+及+C匚存0）的图象上有且只要三个点到X轴的距离等于2d,即可得

出d=l,再令二次函数3=口%口2口口》口4）中/=±1求出x值，即可得出结论；

③设N”0）,则//口〃□匚2口”口2口〕〃4匚口匚。匚“口匚〃2口口〃口4））,由此即可得出

HN22HNHG2

­=7—7=7.根据类似三角形性质即可得出二=工六=三，再根据对称性可得出

HQ2+13HQHE3

KG]

一=一,设KG=f1f0）,则G