2023人教版新教材高中数学必修第一册同步练习-全书综合测评

2023人教版新教材高中数学必修第一册

全书综合测评

（满分150分,考试用时120分钟）

一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的）

1.设集合A={x10<x<4},B={2,3,4},则AGB=（）

A.{2,3}B.{1,2,3}

C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

2.命题“*£R,x'Wl”的否定是（）

A.VxGR,x2=lB.Vx^R,x2=l

C.3xGR,x2=lD.3x^R,x2=l

3.将函数y=cos2x的图象向左平移!个单位长度,再将各点的横坐标变为原来的

6

X纵坐标不变），则得到的图象对应的函数解析式是（）

A.y=cos（6%+三）B.y=-cos6x

C.y=cos（|x+9D.y=-cos|x

4,函数f（x）=log21x|+cosx的大致图象是（）

f()

5.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这

一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足

N=No,2-5730(No表示碳14原有的质量).经过测定,某遗址文物样本中碳14的质

量是原来的;至|,据此推测该遗址存在的时期距今约年到5730年之间

(参考数据：logz3⑥1.6,log25^2.3)()

A.4011B.3438C.2865D.2292

6.设an),若sina=|,贝ij2cos(2a-%()

A31V2D17V2

A.------D.------

2525

7V2V2

rC-右Dn.一云

7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-8,0］上单调递减,设

a=f(log45),b=f(log20,c=f(0.2°'),则a,b,c的大小关系为()

A.c<a<bB.b<a<c

C.b<c<aD.a<b<c

8.定义在R上的奇函数f(x)满足f(l+x)=f(l-x)恒成立,若f(1)=2,则

f(20)+f(21)+f(22)的值为()

A.6B.4C.2D.0

二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

9.下列命题中正确的是()

A.若a>b,则ac2>bc2

B.若2<a<3,-2<b<-l,则3<a-b<5

C.若a>b>0,m>0,则竺叱&

a+ma

D.若c>a>b>0,则-->二

c-ac-b

10.下列各式的值为1的是（）

Atan20°4-tan25°

tan20°tan25°-1

1

C.sin72°cos18°-cos108°sin18°

D.2cos?22.5°-1

IL某校高一数学研究性学习小组的同学为研究课题“碳排放与气候变化问题”，

观察记录了某天从6时到14时的温度变化,其变化曲线近似满足函数

y=f(x)=Asin(wx+4))+b(A>0,3>0,0<@<n),如图，贝！|()

fy/T

~（y^68101214r/h

A..(.b=—3TE

4

B.函数f(x)的最小正周期T为16n

C.VxeR,f(x)+f(x+8)=40

D.若g(x)=f(x+m)是偶函数,则|m|的最小值为2

12.定义f(x)={x}(其中{x}表示不小于x的最小整数)为“取上整函数”.例如

{2.1}=3,{4}=4.以下关于“取上整函数”的结论正确的是()

A.f(2x)=2f(x)

B.若f(x)=f(y),则x-y<l

C.Vx,y£R,f(x+y)Wf(x)+f(y)

D.f(x)+f(%+0=f(2x)

三、填空题(本题共4小题,每小题5分，共20分)

13.已知扇形A0B的圆心角NA0B号,弧长为2n,则扇形的面积为.

14.已知定义在R上的奇函数f(x)是增函数,若f(a)+f(3aT)<0,则a的取值范围

是.

15.若函数f(x)=lg[(a-l)x2+ax+l]的值域为R,则实数a的取值范围

是.

fl

—丫2Q2乂j-2xV0

16.设函数f(x)=2%十।zx十Z,X_u,若关于x的方程f(x)初有四个不同的解

Jlog2x|,x>0,

X|,x2,x3,x4,且XI<X2<X3<X,|,则m的取值范围是,正程+4X：3靖的取值范围

是•

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)设集合A={x|(x+1)(x-5)<0},集合B={x12-a«l+2a}，其中aWR.

⑴当a=l时，求AUB;

(2)若“x£A”是“x£B”的必要不充分条件，求a的取值范围.

//八\cos(n+e)•cos(y-e)

18.(12分)已知f(。)=——.()第"

sin(2n-0)

⑴若f(。)=3,求cos20的值；

(2)若f(0-^)4且江6濯,求sin9的值.

\6/363

19.(12分)已知函数f(x)=2sinxsin(%+f+cos2x.

⑴求f(x)的单调递增区间和最值；

⑵若函数g(x)=f(x)-a在x£［。，，上有且仅有两个零点，求实数a的取值范围.

20.(12分)某企业决定开发生产一款大型净水设备,生产这款设备的年固定成本

为600万元,每生产x(x£N*)台需要另投入成本c(x)万元.当年产量x不足100

台时,c(x)=3?+40乂-650;当年产量x不少于100台时,c(x)=101x+10000-3600.

3x~2

若每台设备的售价为100万元,且该企业生产的净水设备能全部售完.

⑴求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；

(2)当年产量x为多少时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大?最大年利

润是多少万元？

21.(12分)已知函数f&)=掌&三0).

%+1

⑴证明：f(x)在区间［0,+8)上为增函数；

⑵若在［0,2］上存在实数X。,使得f&。)q+1成立,求正数m的取值范围

22.(12分)已知函数f(x)=筌J是定义在R上的奇函数.

⑴求实数a的值；

(2)解关于x的不等式f(X2+2X-3)+f(l-3x)<0;

⑶是否存在实数k,使得函数f(x)在区间［m,n］上的取值范围是“封?若存在,

求出实数k的取值范围;若不存在,请说明理由.

答案全解全析

1.A

2.A

3.A将函数y=cos2x的图象向左平移於单位长度,得到y=cos(2%+以的图象,

再将所得图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变)，得到y=cos(6%+以的

图象.故选A.

4.C因为f(-x)=log2〔-x|+cos(-x)=log21x|+cosx=f(x),且f(x)的定义域为

{x|xW0},关于原点对称，

所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,排除B,D.

当X趋近于0时,y=log21x|趋近于负无穷，y=cosx趋近于1,所以f(x)趋近于负

无穷，排除A.故选C.

5.A因为碳14的质量是原来的称至|,所以］W2至为W|,两边同时取以2为底的对

数得-1忘-』忘1082|,所以-57301og2(WtW5730,

又-57301og2|=-5730(log23-log25)^4011,所以推测该遗址存在的时期距今约

4011年到5730年之间.故选A.

6.B因为a£管,n),且sina=|,

所以cosa=-Vl~sin2a=-Jl-

所以sin2a=2sinacosa=2x|x(-

cos2a=2cos'a-1=2X-1=^,

所以2cos(2a-；)=2(cos2acos:+sin2asin

=2(Zx直-上x匹)=-坨.故选B.

7.A因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,且

b=f^log21)=f(log23).因为f(x)在(-8,0］上单调递减,所以f(x)在(0,+8)上单

55

调递增.因为log23>log2V5=log45>l,0<0.2°-<0,2°=1,所以log23>log.5>0.2°->0,

05

所以f(log23)>f(log45)>f(0.2,),即c<a<b.故选A.

8.C•.•定义在R上的奇函数f(x)满足f(l+x)=f(bx)恒成立，

.*.f(0)=0,f(2+x)=f(-x)=-f(x),

f(4+x)=-f(x+2)=f(x),

是周期为4的函数，

，f(20)=f(5X4+0)=f(0)=0,f(21)=f(5X4+l)=f(l)=2,

f(22)=f(5X4+2)=f(2)=f(0)=0,

...f(20)+f(21)+f(22)=2.故选C.

9.BCD对于A选项，当c=0时命题不成立，故A错误;

对于B选项,由-2<b〈T,得K-b<2,又2<a<3,所以3<a-b<5,故B正确;

对于C选项，由于a>b>0,m>0,因此也二基等"=半々>（）,故C正确；

对于D选项，由c>a>b>0得0<c-a<c-b,故」所以上〉S-,故D正确.

c-ac-bc-ac-b

故选BCD.

tan200+tan25°tai2025

10.BC?_-=-tan(20°+25°)

tan20°tan25°-11-tan20°tan25°

=-tan45°=T,A不符合题意;

sin72°cos18°-cos108°sin18°=sin72°cos18°+cos72°sin

18°=sin(72°+18°)=sin90°=1,C符合题意;

2COS222.5°-l=cos45°=?,D不符合题意.

故选BC.

n.ACD由题图可知伫*T=3；o所以｛,效

所以f(x)=10sin(<ox+<i))+20.

由题图可知|=14-6=8,所以T=16,故B选项错误.

3=午啜=/故f(x)=10sinQx+(p)+20,

又f(6)=10sin(手+<p)+20=10,所以sin(*+(p)=T,

由0<6<n,得*〈4+6年

所以于6=9,故。A选项正确.

424

由上述分析可得f(x)=10sin信x+乎)+20,

所以f(x+8)=10sin植(x+8)+斗卜20=10sin6x+斗+冗)+20

=-10sinQx+乎)+20,所以f(x)+f(x+8)=40,C选项正确.

若g(x)=f(x+m)=10sin(x+m)+乎+20=10sinQx++乎)+20是偶函数,

贝lFm+^=kn+2,k£Z,所以m=8k-2,keZ,所以ImI的最小值为2,D选项正确.

842

故选ACD.

12.BC作出函数f(x)的部分图象如图所示：

4----------<?——t

3Ti

2-H：：

-4\\\

~~~~Mi234

由图可知,对任意的xbX2^R且X1<X2,f(X1)Wf(X2).

当x=l.5时,f(2x)=3,2f(x)=4,f(2x)W2f(x),故A错误;

设x=m-a(m£Z,0Wa<l),y=n-b(n£Z,0Wb〈l),

若f(x)=f(y),贝ljm=n,因此x-y=b-aWbCl,故B正确；

f(x+y)=f(m+n-a-b)Wf(m+n)={m+n}=m+n,f(x)+f(y)=f(m-a)+f(n-b)=m+n,所以

f(x+y)Wf(x)+f(y),故C正确；

当x=1.9时，f(1.9)+f(1.9+0.5)=2+3=5Wf(2X1.9)=4,故D错误.

故选BC.

13.答案3n

解析设扇形AOB的半径为r,则厂票=3,

3

故扇形的面积为2JiX3=3Ji.

14.答案(-oo,1)

解析因为f(x)为奇函数，所以f(a)+f(3a-l)<0等价于f(a)<-f(3a-l)=f(l-3a),

又f(x)在R上为增函数,所以a<l-3a,即a《,故a的取值范围是(-8,

15.答案[1,+8)

解析若f(x)的值域为R,

则或a+。，解得心1.

16.答案0<mW2;(0,15]

解析若关于x的方程f(x)初有四个不同的解,则y=m与y=f(x)的图象有四个交

点.作出y=m和y=f(x)的图象如图所示，

由图可知0<m<2,0&3<1奴£4,甘纭-2,即X1+x2=-4.

因为110g2X3|=|10g2X4|,所以-10g2X3=10g2X,i,IPx3x4=l,

所^^ii^+4x3x^=4x.--.

X4%4

设y=4t-^（Kt^4）,

易知y=4t9在（1,4]上单调递增,所以y£（0,15],

故❷+4x3媛的取值范围是（0,15].

17.解析（1）由题意得人=收|-l〈x<5}.（2分）

当a=l时,B={x1WXW3},故AUB={x|T〈x<5}.(4分)

⑵由“x£A”是“x£B”的必要不充分条件，可得B是A.(5分)

当B=0时，2-a>l+2a,解得a<1,满足题意；(7分)

卜41

当BW。时,则有,1+力<5,解得#a<2.(9分)

<2~a>-1,

综上,a的取值范围为(-8,2).(10分)

cos（TI+6）•cos切=3^=COS0.（4分）

18.解析(l)f(0)二sin（2ir-0）-sin。

因为f（0）=cos9=1,所以cos29=2cos2。-1=-（（6分）

⑵由题意可得f(0-^=cos(0-^)=|.

因为,0§所以。<。-汉,

所以sin（6-]=平.（9分）

所以sin0=sin+B）=sin（e-£）cos：+cos（eT）sin

12V6+1

义争N26（12分）

19.解析（l）f（x）=2sinxQsinx+-^-cosx^+cos2x

=sin2x+—sin2x+cos2x=1cos2^+—sin2x+cos2x

222

=—sin2x+-cos2x+*=sin（2%+（2分）

222\6/2

令凸2kn<2x+XE+2k耳，k£Z,

262

解得-E+knWxW^+kJi,kez,

36

故f(x)的单调递增区间为[T+kn,^+k7r],kGZ.(4分)

易得f(x)的最大值为右最小值为彳.(6分)

(2)若函数g(x)=f(x)-a在x£0,手上有且仅有两个零点，

则函数y=f(x),xG0,1与y=a的图象有2个交点.(9分)

由⑴可得当x£[0,，时，f(x)在[0,手上单调递增，在旨1上单调递减,

/\3

f

(71-!--

又f(0)=1,\672fe)=0,所以实数a的取值范围为1,I).(12分)

20.解析(1)由题意可得y=100x-[600+c(x)]

100X-600-Qx2+40x-650),x<100,x£N*,

(3分)

、1。。％-6。。-(101x+岩-3600),x>100,xeN%

-x2+60x+50,x<100,x£N*,

即y=«3(6分)

3

(x+3詈)+000-x>100,x£N*.

(2)当x<100时,y=-|x2+60x+50=-1(x-90)2+2750,

...当x=90时，y*=2750;(8分)

当xl100时，y=-(x+与罗)+3000=-(x-2+牛詈)+2998^-2710000+2998=2

798,当且仅当x-2)号,即x=102时，等号成立,故ymax=2798.

x-2

V2798>2750,.•.当年产量为102台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利

最大,最大年利润是2798万元.(12分)

21.解析(1)证明：易得f(x)=分=2-三.

x+lX+1

任取xi,x2e[0,+8),且xi>x2,

则f(xAf(X2)TT\六：2,(3分)

x2+l%1+1(%1+1)(%2+1)

因为x1>X220,所以x-x2>0,X1+l>0,x2+l>0,

所以f(xi)-f(x2)>0,即f(xi)>f(X2),

故f(x)在［0,+8)上是增函数.(6分)

(2)由(1)可知，f(x)是［0,+8)上的增函数,

故f(x)在［0,2］上的最大值为f(2)=|.(9分)

若在［0,2］上存在实数xo,使得f(x°)>£+l成立,则(10分)