概率论与数理统计三章

第三章一维随机变量及其分布

§3.1一维随机变量及其分布例3.1.1

投掷一个骰子一次，出现1点得0分，出现2点或3点得1分，出现其他点得2分.分别以记出现点，以记得到的分数，则是定义在样本空间上的函数:例3.1.2

从某品种水稻试验田中任选一株秧苗而记录其苗高，随而变，故为集合为该试验田秧苗}上的实值函数.定义3.1.1

设为随机变量，称函数，(3.1.1)为的分布函数.常常简记为，事件简记为，特别，事件常常简记，即例3.1.3

在喷施病毒防治害虫的田间试验中，害虫的病死时间是一随机变量，某害虫喷施病毒后，逐日病死时间的分布函数是求在喷施病毒6天以后害虫病死的概率和6天以后但不超过10天的害虫死亡概率.分布函数具有如下性质:1.单调不减性:如果.2.

右连续性:3.例3.1.4下列各函数是某随机变量的分布函数是（）（A）（B）

（C）（D）例3.1.5设随机变量的分布函数为，试求：（1）系数；（2）落在的概率。§3.2离散型随机变量

3.2.1离散型随机变量及其分布律若只取有限个值或可列个值，称随机变量为离散型随机变量.通常表示离散型随机变量的分布的方式是写出它取各个可能值的概率，表示的形式可以是式子

，(或).(3.2.1)(3.2.1)式称为离散型随机变量的概率分布或分布律。该式也可用表格形式来表示,即……性质3.2.1

上面的(3.2.1)式可以用来表示某个离散型随机变量的分布的充分必要条件是:（1)对任意的k，（2)其中表示对求和，即表示或.例3.2.1

如例3.1.1,仅取值0，1和2，故是离散型随机变量.的分布是 ， ，

.下面求的分布函数.例3.2.2一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求的概率分布、分布函数及概率。3.2.2几种常见的离散型随机变量

1．二点分布如果随机变量只取值0和1，有分布

，(3.2.2)其中，，则称服从参数为的二点分布，记为

.例3.2.3

设棉田植株被盲蝽为害的概率为0.4.若用来表示“受害”，用来表示“未受害”，则，.

即服从参数为0.4的两点分布.

2.二项分布如果随机变量只取值，且分布为，，(3.2.3)其中，，则称服从二项分布，记为

.例3.2.4大豆黄子叶种子品种与青子叶种子品种杂交后，按照等位基因分离的原则，出现黄子叶种子的概率为0.75，出现青子叶种子的概率为0.25，现在一个豆荚内有三粒种子，为黄子叶种子的数目，求的分布.例3.2.5设每发子弹打中飞机的概率为，问在发中打中飞机的最可能成功次数是多少？并求其相应的概率。例3.2.6（寿命保险问题）在某保险公司时有2500个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险。在一年时每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日付12元保险费，而在死亡时家属可从公司时领2000元。问：（1）“保险公司亏本”（记为）的概率是多少？（2）“保险公司获利不少于元”（分别记为）的概率是多少？泊松定理在伯努利试验中，以表示事件在试验中出现的概率，它与试验总数有关，如果，则当时，

(3.2.4)3.泊松分布设随机变量的可能取值为，且

(3.2.6)其中是常数，则称服从参数为的泊松分布，记为。例3.2.8某批铸件每件的缺陷数服从泊松分布，若规定缺陷数不超过一个为一等品；大于一个不多于四个的为二等品；有五个以上缺陷数为次品，求产品为一等品，二等品，次品的概率。例3.2.9设随机变量,且

,则____.例3.2.10(昆虫繁殖问题)设某昆虫产个卵的概率为泊松分布,又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率为,若卵的孵化是相互独立的,问此昆虫的下一代有条的概率是多少?4.超几何分布设随机变量的概率分布是

(3.2.7)

内的一切整数，则称服从超几何分布，记为例3.2.11设有一批产品，批量为1000件。假定该批产品的次品率为1%，若采用抽样方案（150|2），求接受这批产品为合格的概率。例3.2.12

著名统计学学家皮尔逊曾研究了玩扑克牌中洗牌是否彻底的问题，这种游戏叫惠斯特，是类似桥牌的一种游戏。每次有13个“主”，四人每人各拿13张牌，他从25000局实际比赛中随机抽取了3400局，统计第一次出牌人手中的“主”，看看实际的情况与理论的情况是否吻合。从理论上，第一个人手中的“主”的数目应服从超几何分布，相应参数是，故理论值应是5.几何分布如果随机变量只取正整数值且分布为，，(3.2.8)其中，，则称服从几何分布，记为.例3.2.8

设有独立重复试验序列，事件在单次试验中发生的概率为.设为在其中首次发生的试验的次数，即“在前面的次试验中都不发生，而在第次试验中发生”.则，.即.

6.负二项分布设随机变量的概率分布为

(3.2.9)则称X服从参数为的负二项分布，记为负二项分布又称为巴斯卡或等待时间分布。例3.2.9

甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投三次.求(1)两人投中次数相等的概率;(2)甲比乙投中次数多的概率.补充例题例3.2.10

有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001.在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?§3.3连续型随机变量

3.3.1连续型随机变量的概率密度件定义3.3.1

设的分布函数，若存在非负可积函数，对任意实数，有

(3.3.1)则称是连续型随机变量，称为的概率密度函数或密度函数，也称概率密度。由分布函数的性质可知，满足

(3.3.2)例3.3.1

当随机变量的可能值充满区间

，则可以成为随机变量的概率密度函数。由定义还可得密度函数的下列性质：例3.3.2

设随机变量的概率密度函数为试求的分布函数例3.3.3设是连续型随机变量，其概率密度函数为试求：（1）常数的值；（2）例3.3.4设随机变量的分布度函数为试求：（1）（2）的密度函数

例3.3.5

设顾客在某银行窗口等待服务的时间X是一随机变量，其密度函数为X的计时单位为分钟。若等待时间超过10分钟，则他就离开。设他在一个月要来银行5次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布律及至少有一次没有等到服务的概率

3.3.2几种常见的的连续型随机变量1.均匀分布设为实数，，如果随机变量的概率密度函数为

(3.3.3)则称服从上的均匀分布，记为相应的分布函数为

(3.3.4)例3.3.6

设,求方程有实根的概率。2.指数分布如果随机变量X的概率密度函数为，(3.3.6)其中参数，则称X服从参数为的指数分布，记为.例3.3.7若已使用了()小时的电子管，在以后小时内失效的(条件)概率为，其中λ是不依赖于的正数.假定电子管寿命为零的概率是零，求电子管在小时内失效的概率.3.正态分布如果随机变量的概率密度为，(3.3.7)其中和都是参数，，可取任意实值，则称服从正态分布，记为正态分布也称常态分布或高斯分布。相应的分布函数为

(3.3.8)特别当时，相应的分布称为标准正态分布，的概率密度和分布函数分别记为，即

(3.3.9)

(3.3.10)正态分布的具有下列基本性质：例3.3.8从大气层臭氧的含量可知某一地区空气污染的程度，从统计资料发现，臭氧含量服从正态分布。今从某城市统计数据知道，，我们希望知道臭氧含量落在范围中的概率。例3.3.9电源电压在不超过这三种情况下，元件损坏的概率分别为。设电源电压，求例3.3.10设，且，求概率例3.3.11设，若，则c=______.*4.威布尔分布若连续型随机变量的密度函数为，其中是常数，则称服从参数为的威布尔分布，记为。

*5.伽玛分布若随机变量的密度函数为，其中是参数，则称服从伽玛分布

，记为。

*6.贝塔分布

若随机变量的密度函数为，其中和是参数，则称服从贝塔分布。

例3.3.12

公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?补充例题例3.3.13

将一枚硬币抛掷10000次，出现正面5800次，认为这枚硬币不均匀是否合理?试说明理由.3.4一维随机变量的函数