北师大版九年级数学下册第一章：解直角三角形三角函数培优综合训练（100题含答案）

北师大版九年级数学下册第一章：解直角三角形（三角函数）培优综合训练

一、单选题

1.在A4BC中，ZC=90°.tanA和tanB的值是关于x的方程+m=0的根.则加等于（）

3

A.lB.-lC.^-

33

2.将矩形ABC。按如图所示的方式折叠，得到菱形AECT.若=，则BE的长是（）

1

A.1c.一D.2

2

3.在矩形A8CO中，AO=2AB=4,E为AO的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与E重合，

将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交A&BC（或它们的延长线）于点M、N,设NAEM

=a（0°<a<90°）,给出四个结论：

①AM=CN@ZAME=NBNE③BN—AM=2④S^EMN=

上述结论中正确的个数是

A.1B.2C.3D.4

4.如图，△ABC是等边三角形，AB=4,E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时

针旋转90。，得到线段EF,当点D运动时，则AF的最小值为（）

A.2B.2V3C.y/3D.V3+1

5.如图，正方形ABC。中，对角线AC、8。相交于点。，点E是BC的中点，AE交BD于点F,BHLAE

于点G,连接OG,则下列结论中①。尸=OH,®/\AOF^/\BGF,③tan/GOH=2,④FG+CH=也GO,

正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

6.如图，在矩形ABCD中AB=8b，AD=10,点E是CD的中点，将这张纸片依次折叠两次：第

一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2,折痕为MN,连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与

点E重合，如图3,点B落到B，处,折痕为HG,连接HE,则下列结论正确的个数是（^ME〃HG；

②AMEH是等边三角形；③/EHGLAMN；④tan/EHG孝;

图1图2图3

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形0A8C绕点。顺时针旋转45°后得到正方形0A4G,

依此方式，绕点。连续旋转2019次得到正方形。4201962019c2019,那么点40I9的坐标是（）

A.B.(l,0)C.-冬-11D.(0,-l)

8.如图，矩形ABC。中，AC与8。相交于点E,A£＞：A6=G：1，将△ABO沿折叠，点A的

对应点为F,连接A尸交于点G,且BG=2,在AO边上有一点〃，使得+的值最小，此

2

A宕R^3c网

232

9.如图，4ABC中，AB=AC=10,tanA=2,BE_LAC于点E,力是线段BE上的一个动点，则好

5

的最小值是（）

E

D

B

A.2小B.46C.5gD.10

10.如图，一艘船由A港沿北偏东65。方向航行30gkm至8港，然后再沿北偏西40。方向航行至C港,

C港在A港北偏东20。方向，则A,C两港之间的距离为（）km.

A.30+30GB.30+10豆C.10+30V3D.30G

11.如图，已知AB两点的坐标分别为（8,0）,（0,8）,点C、R分别是直线x=-5和x轴上的动点，

CF=/0,点。是线段CF的中点，连接AO交）'轴于点E；当面积取得最小值时，口〃NR4O的

值是（）

8745

A.——B.—C.一D.-

171799

12.如图，已知等边三角形ABC边长为2小，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正

半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC,则线段OC长的最小值是（）

A.V3-1B.3-V3C.3D，V3

13.如图：菱形ABC。的对角线AC,8。相交于点0,47=46，80=4,动点P在线段8。上从点B

向点。运动，PF工A8于点F,PG1BC于点G,四边形与四边形尸尸BG关于点。中心对称，设菱

形A8CD被这两个四边形盖住部分的面积为S/,未被盖住部分的面积为S2,BP=X,若S/=S2,则X的

值是（）

A.8-276B.8-2底或2近C.8±2几D.不存在

14.如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD,把ABDC沿BD翻折，得到△BDC,,DC与

AB交于点E,连结AC',若AD=AC，=2,BD=3则点D到BC的距离为（）

A•当B.当C.布D

15.如图，在钝角三角形A8C中，分别以和AC为斜边向AABC的外侧作等腰直角三角形他E和等

腰直角三角形ACF,平分NAE8交AB于点M，取8C的中点£>,AC的中点N,连接ON,DE,

DF,下列结论：①EM=DN；②SACM）=；S四边形AMN；③。£=。/；④0E1DF.其中正确结论有

A.1个B.2个C.3个D.4个

16.已知：如图,在菱形ABCD中,F为边AB的中点,DF与对角线AC交于点G,过G作GEJ_AD于点E,若

AB=2,且N1=N2,则下列结论：①DF_LAB;②CG=3GA;③CG=DF+GE;④S四边形BFGC=Q-1中,说法正

确的是()

A.①③④B.②③C.①③D.①②③

17.如图，四边形A8CO是矩形纸片，AB=2\对折矩形纸片ABC。，使AO与8C重合，折痕为EF；

展平后再过点8折叠矩形纸片，使点A落在E尸上的点N,折痕80与£尸相交于点。；再次展平，连

接BN,MN,延长MN交6C于点G.以下结论：①NA8N=60。；②4W=1；③QN=4；④△BMG

是等边三角形；⑤尸为线段上一动点，〃是8N的中点，则PN+P”的最小值是6.其中正确结

论的序号是().

E

BGC

A.①②④B.①④⑤C.①③④D.①②③⑤

18.如图：已知菱形A8CD的顶点B(-2,0),且NA8C=60。，点A在y轴的正半轴上.按以下步骤作

图：①以点3为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、8C于点“、N；②分别以点M、N为圆心，

大于g的长为半径作弧，两弧在/4BC内交于点尸；③作射线8P,交菱形的对角线AC于点E,则点

2

E的坐标为（)

11二、

C.(彳，1)D.(—,5/3)

19.如图,在菱形ABC。中,NA=60。,点E在边3C上,CE=3,尸是CD延长线上一点QF=4,连接。区BF,若

N。破=2/则菱形ABCD的面积为（）

A.166B.246C.32后D.3673

20.如图，正方形ABC。中，以BC为边向正方形内部作等边ABCE.连接AE.DE,连接B。交CE于凡

DF

下列结论：①NAED=150。②△DEF〜△BAE；③tan/ECQ=——④ZXBEC的面积：△8FC的面积（也

FB

+1）：2,其中正确的结论有（）个.

A.4B.3C.2D.1

21.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+4与x轴交于点A,与），轴交于点8,与直线y=近交于

点C（4,〃），则tan/OCB的值为（）

C.在

5

22.如图，在R3ABC中，ZABC=90°,AB=BC=五,将44BC绕点C逆时针转60°,得到△MNC,则

BM的长是（）

A.lB.V3C.2D.l+V3

23.如图，在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点，连接。P,将直线DP绕点P顺时针

旋转使NDPG=ND4C,且过。作DGJLPG,连接CG,则CG最小值为（）

噫

24.AABC中，BC=6,AB=2y/3,/A2C=30。，点P在直线AC上，点尸到直线A3的距离为1,则CP

的长为（）

B鲤c逗或犯!D鲤或晅

33333

25.如图，菱形A8CD中，点E,F分别在边AB,8c上.将菱形沿EF折叠，点2恰好落在边AO上的

点G处.若/B=45。，AE=y/2,8E=2/,贝ljtanNEFG的值是（）

.5D包

A-3C.2

2

26.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE±BD,垂足为F,则cos/BDE的值是（）

2>/2££D,巫

A.B.C.

3434

27.如图，在正方形纸片ABC。中，对角线AC、8。交于点。，折叠正方形纸片ABC。，使A。落在

8。上，点A恰好与8。上的点尸重合.展开后，折痕。E分别交A3、AC于点E、G.连接GE.下

列结论:①ZAGD=112.5;②tanZAED=2；③SMGD=SSOCD；④四边形AEFG是菱形;⑤BE=2OG.

其中正确结论的序号是（）

A.①②③④⑤B.①②③④C.①③④⑤D.①④⑤

28.如图，QABCO的顶点B、C在第二象限，点A（-3,0）,反比例函数y=&（k<0）图象经过点C和

X

AB边的中点D,若NB=a,则k的值为（）

A.-4tanaB.-2sinaC.-4cosaD.-2tan

29.矩形ABC。中，AD=2AB=2血,E是AD的中点，RfNFEG顶点与点E重合，将NFEG绕点

E旋转,角的两边分别交AB,8c（或它们的延长线）于点M,N,设NAME=a（0°<a<90°）,有下

列结论：①8M=CN；②AA/+CN=亚；③SAEMN=，-，其中正确的是（）

D

.w

B----TT~c

\G

A.①B.②③C.①③D.①②③

30.如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ,观测点P的仰角是45，向前走6m到达B点，测得顶端点P

和杆底端点Q的仰角分别是60和30，则该电线杆PQ的高度（）

A.6+2&B.6+73C.10一百D.8+73

31.已知。为锐角，且Gtan?。一（l+6）tanC+1=0,则a的度数为（）

A.30°B.45°C.30°或45°D.45°或60°

32.如图，已知直线1：y=x3x,过点A（0,1）作y轴的垂线交直线1于点B,过点B作直线1的垂线交y

3

轴于点Ai；过点Ai作y轴的垂线交直线1于点Bi,过点&作直线1的垂线交y轴于点A2；…按此作法继

续下去，点B2013的坐标为（）

A.(420,2x73，42°12)B.QMGxG，24026)c.(24°26x百，2蚀4)D.(44024X73，44024)

33.如图，正方形ABCD的边长为2,P为CD的中点，连结AP,过点B作BELAP于点E,延长CE交

AD于点F,过点C作CHLBE于点G,交AB于点H,连接HF.下列结论正确的是（）

34.如图，在△ABC中,ZC=90°,ZA=30°,D为AB上一点，且AD：DB=1：3,DE_LAC于点E,连

接BE,则tanZCBE的值等于（）

4R2G「373D.竽

A.-D.-----

334

35.如图，RtZiABC中，ZBCA=90°,AC=BC,点。是BC的中点，点尸在线段AD上，DF=CD,BF

交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G,下列结论：①CF=EF・BF；②AG=2£>C；③AE

=EF；④AF・EC=EF,EB.其中正确的结论有（）

C.①③④D.②③④

36.如图，正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC、ED,则sinNCED=（）

D

A3同B叵c.匹D.匹

10101015

37.如图，△ABC和aCDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列

BC

结论：©tanZAEC=一；@SAABC+SACDE^SAACE；③BMJ_DM；④BM=DM,正确结论的个数是()

CD

A.1个B.2个C.3个D.4个

38.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE1AC,垂足为点F,连接DF,分析下列四个结论:

①△AEFsMAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan/CAD咚其中正确的结论有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

39.如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=JL将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形EBGF,

此时恰好四边形AEHB为菱形，连接CH交FG于点M,则HM=()

C-TDf

40.如图，正方形ABC。的边长为2,点E、尸分别为边A。、BC上的点，EF=5点、G、”分

别为AB、CO边上的点，连接G",若线段G”与EF的夹角为45，则G”的长为（）

A.75B.^2C.拽D.百

33

3

41-如图’直线y2X+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点。，另两个顶

3

点M、N恰落在直线y=—x+3上，若N点在第二象限内，则tan/AON的值为（）

4

1

D.-

8

42.如图，小黄站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来.此时，测得小船。的

俯角是NEDC=30，若小黄的眼睛与地面的距离OG是1.6米，8G=0.7米，BG平行于AC所在的直

线，迎水坡的坡度为i=4:3,坡长A8=10.5米，则此时小船C到岸边的距离。的长为（）

米.（&1.7，结果保留两位有效数字）

A.11B.8.5C.7.2D.10

43.如图，将△ABC沿角平分线BD所在直线翻折，顶点A恰好落在边BC的中点E处，AE=BD,那么

tanZABD=（）

5

C.一D.显

62

44.如图，四边形ABCD中，ZABC=RtZ.已知NA=a,外角/DCE邛，BC=a,CD=b,则下列结论错

误的是（）

A.ZADC=90°-a+pB.点D到BE的距离为b»sinp

a+b-cosB

C.AD=.................-D.点D到AB的距离为a+bcosp

cosa

45.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点B的坐标为（0,2），点A在第一象限内，将

△OAB沿直线0A的方向平移至△（TAB，的位置，此时点A，的横坐标为3,则点B，的坐标为（）

A.（273，4）B.（26,3）C.（3技4）D.（3班，3）

46.如图，一张三角形纸片ABC,其中NBAC=60。，BC=6,点D是BC边上一动点，将BD,CD翻折使

得B，，。分别落在AB,AC边上，（B与B：C与C，分别对应），点D从点B运动至点C,△BCD面

积的大小变化情况是（）

A

c

B"'DC

A.一直减小B.一直不变C.先减小后增大D.先增大后减小

47.将一副三角板如下图摆放在一起，连接AD,,则NADB的正切值为（）

D

二

AL

百+1口67

A-V3-1B.6+1C.

2'2

48.如图，正方形ABCD的边长是3,BP=CQ,连接AQ,DP交于点0,并分别与边CDBC交于点

F,E,连接AE,下列结论：®AQ±DP；@O/^=OEOP-.③SAOD=S四边物9ECF；④当BP=1

时，tan/0AE=j1,其中正确结论的个数是（）

0

ABP

A.lB.2C.3D.4

49.如图，在菱形纸片ABCD中，ZA=60°,将纸片折叠，点A,D分别落在点A，，D，处，且ATT经过

CF

点B,EF为折痕，当D，FJ_CD时，=的值为（）

D

D与

"T-1

50.如图，点A的坐标为（3,近），点B的坐标为（6,0）,将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定

的角度后得到△403,点A的对应点4在x轴上，则点。'的坐标为（）

213匚、253G

A<|，卡）C.(—,—>/5)D.(彳,耳。5)

51.如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O,且EG〃BC,将矩形折叠，使点C与点O重

合，折痕MN恰好过点G若AB=份，EF=2,ZH=120°,则DN的长为（）

A.咚B.叁毡C.指_抬D.2括-指

52.如图，在等腰R/A4BC中，ZC=90°,AC=6,。是AC上一点，若tan/r>8A=J,则AO的

长为（).

A.2B.V3C.V2D.1

53.如图，将一张正方形纸片A8CD对折，使CO与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上一点,

将△C£>E沿QE所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接AF,BF,BD则下列结论中：

①△AOF是等边三角形;②tan/EBF=2一下）^SAAOF=gs1K方形相°;④B产=QF-EF.其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

54.如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于为半径作弧，

2

两弧交于点M,N；②作直线MN,且MN恰好经过点A,与CD交于点E,连接BE,则下列说法错误的

是（）

所

A.ZABC=60°B.S=2SC.若AB=4,则3E=4A/7D.sinZCBE=-—

ABFMDE14

二、填空题

55.正方形A8C。中的边长为4,对角线AC、2。交于点O,E为0c边上一点，连接AE交于F,BG

1AE于点G,连接0G,若ZDGE=45°,则SAFGO=

4

56.如图，直线产-x+6与x轴、y轴分别交于4,B两点,P是反比例函数y=—(x>0)图象上位于直线

X

下方的一点，过点尸作X轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E,过点P作y轴的垂线，垂足为点N,交

AB于点尺则A尸.

57.如图，在菱形纸片A8C。中，AB=3,/A=60。，将菱形纸片翻折，使点A落在C。的中点E处，折

痕为尸G,点尸，G分别在边A8,ADk,则tan/EFG的值为.

58.如图，在反比例函数y=-2的图象上有一点A,连接A0并延长交图象的另一支于点B,在第一象限

X

内有一点C,满足AC=BC,当点A运动时，点C始终在函数y二人的图象上运动，若tanNCAB=3频lJk=.

x

59.(2017辽宁省盘锦市，第18题，3分)如图，点4(1,1)在直线尸上，过点4分别作y轴、x

轴的平行线交直线,=乎”于点囱，&,过点&作,轴的平行线交直线于点4,过点A?作'轴的平

行线交直线于点按照此规律进行下去，则点A“的横坐标为.

60.如图所示，己知：点A(0,0),B(括，0),C(0,1)在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x

轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AAjB”第2个ABIA2B2,第3个

△B2A3B3,…，则第〃个等边三角形的边长等于.

61.如图,在四边形ABCO中，对角线4cm交于点E,点E为8。的中点，ZBAC+ZBDC=180°,AB=CD=5,

tanZACB=—,则AD=

2

D

62.已知：如图，在△ABC中，COSNABC=Y2,sinNACB=①，AC=2,分别以AB,AC为边向△ABC

22

形外作正方形ABGF和正方形ACDE,连接EF,点M是EF的中点，连接AM,则AM的长为.

63.如图，铁路的路基是等腰梯形ABC。，斜坡A。、8c的坡度i=l：1.5,路基AE高为3米，现由单线

改为复线，路基需加宽4米，(即A”=4米)，加宽后也成等腰梯形，且GH、BF斜坡的坡度『=1：2,若

路长为10000米，则加宽的土石方量共是立方米.

H4B

64.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A(6,0),B(0,8),点C在OB

上运动，过点C作于点E；。是x轴上一点，作菱形CDEF,当顶点尸恰好落在)，轴正半轴上时，

点C的纵坐标的值为.

65.如图：正方形ABCQ的边长为1,点E,F分别为BC,CQ边的中点，连接AE,8F交于点尸，连接

PD,则tanNAPD=

3

66.如图，已知。ABCD中，AB=16,AD=10,sinA=），点M为AB边上一动点，过点M作MN_LAB,

交AD边于点N,将NA沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处，当△CDE为直角三角形时，

AM的长为.

三、解答题

67.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，oABCD的顶点A的坐标为（-2,0）,点D的坐标为（0,

2百），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点.

（1）如图1,求NDAO的大小及线段DE的长；

（II）过点E的直线1与x轴交于点F,与射线DC交于点G.连接OE,△0£卜是4OEF关于直线OE对

称的图形，记直线EF与射线DC的交点为H,AEHC的面积为36.

①如图2,当点G在点H的左侧时，求GH,DG的长;

②当点G在点H的右侧时,求点F的坐标（直接写出结果即可）.

68.定义：在等腰三角形中，对于顶角的每一个确定的值，其底边与腰的比值都是唯一确定的，这个比值

BC

是顶角的正对函数.例如：图①，在^ABC中，AB=AC,顶角A的正对函数记作sadA,sadA=-----或sadA

AC

BC

(I)在图①中，若NB=60。，贝UsadA=.

(2)如图②，在△ABC中，AB=AC,若/BAC=120。，求sad/BAC.

4

(3)在RtAABC中，ZC=90°,sinA=y,直接写出三个内角的正对函数值.

69.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因

此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰

三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图1,在△ABC中，AB=AC,顶角A的正对记作sadA,

这时sadA=与g=史.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正

腰AB

对定义，解答下列问题：

(l)sad60°=；

(2)对于0°<ZA<180°,ZA的正对值sadA的取值范围是

3

(3)如图②，已知sinA=),其中NA为锐角，试求sadA的值.

70.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=30cm,BC=40cm.点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AC

向终点C匀速移动.过点P作PQLAB,垂足为点Q,以PQ为边作正方形PQMN,点M在AB边上，连

接CN.设点P移动的时间为t(s).

(1)PQ=；(用含t的代数式表示)

(2)当点N分别满足下列条件时，求出相应的t的值；①点C,N,M在同一条直线上；②点N落在BC

边上；

(3)当△PCN为等腰三角形时，求t的值.

71.已知△ABC中，ZA=2ZB,NC为钝角，且/A、B、C所对的边为a,b,c的长度均为整数，则△ABC

的周长最小值为多少？

72.点E是正方形ABC。内一点，连接BE、CE、DE,JiAB=CE.

(1)如图1,求NBED的度数;

EH

(2)如图2,过点E作EFLBE,KBE=EF,连接。F,〃为的中点.求——的值.

EC

73.在RSABC中，ZACB=90°,AC=BC,D为AB边的中点，点P为BC边上一点，把△PBD沿PD

翻拆，点B落在点E处，设PE交AC于F,连接CD

A

(1)求证：APCF的周K=&CD；

PE5

(2)设DE交AC于G,若*=2CD=6,求FG的长

EF3

74.如图，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZC=90°,BC=16,DC=12,AD=21.动点P从点D出发，沿

射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速

度向点B运动，点P,Q分别从点D,C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动.设运动的

时间为t(秒).

(1)设ABPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式；

(2)当t为何值时，以B、P、Q三点为顶底的三角形是等腰三角形？

(3)当线段PQ与线段AB相交于点0,且2A0=0B时，求NBQP的正切值；

(4)是否存在时刻t,使得PQJ_BD?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

75.如图(1),已知正方形ABCD,E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直

线BC的上方作正方形AEFG.

图（1）图（2）

（1）连接GD,求证：DG=BE；

（2）连接FC,求/FCN的度数；

（3）如图（2）,将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=m,BC=n（m、n为常数），E是线段

BC上一动点（不含端点B、C）,以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD

上.判断当点E由B向C运动时，NFCN的大小是否总保持不变？若NFCN的大小不变，请用含m、n

的代数式表示tan/FCN的值；若NFCN的大小发生改变，请画图说明.

76.两块等腰直角三角形纸片AOB和按图1所示放置，直角顶点重合在点。处，AB=25,

CD=17.保持纸片AOB不动，将纸片C。。绕点。逆时针旋转a（0<a<90）角度，如图2所示.

（1）利用图2证明AC=8。且AC，80；

（2）当8。与CO在同一直线上（如图3）时，求AC的长和a的正弦值.

77.如图，△ABC中，ZBAC=60°,AB=2AC.点P在△ABC内，且PA=U，PB=5,PC=2,求△ABC

的面积.

A

78.如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC的边OA,OC在坐标轴上，点B(12,4),

点D(3,0),点E(0,2),过点D作DFLDE,交AB于点F,连结EF,将△DEF绕点E逆时针方向

旋转，旋转角度为。(0°<0<180°).

(1)求tan/DFE.

(2)在旋转过程中，当△DFE的一边与直线AB平行时，求直线AB截△DFE所得的三角形的面积.

(3)在旋转过程中，当NDFE的两边所在直线与y轴围成的三角形为等腰三角形时，求点F的坐标.

备■用图

79.如图，回ABCD在平面直角坐标系中，AO=6,若。4、。8的长是关于龙的一元二次方程式一"+12=0

的两个根，且OA>OB.

(1)求sinNABC的值.

(2)若E为龙轴上的点，且，"OE=g，求经过E两点的直线的解析式，并判断^AOE与△D4。是

否相似?

(3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线A3上是否存在点F,使以A、C、F、M为顶点的四边形为

菱形？若存在，请直接写出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

80.已知:RsABC中,NACB=90。,点。为斜边AB的中点,△OEF的顶点E、F分别在边AC、BC±.

EFR

⑴如图①,△DEF的面积为VL/EZ)F=90。,若，求AABC的面积;

AB3

4

⑵若4c=6,sinA=亍翻折NC,使点C与点。重合，折痕为EF,如图②所示，求EF的长和四边形CEDF的面积;

⑶若AC=BC,A8=4,/EDF=90。,如图③所示.

①EC+CF的值是否为定值?若是,请予以证明;若不是，请说明理由;

Ar3

②连接CD交EF于点P,若铲=丁，求DP的值.

BC8

B

②

81.如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为(-2逐，

0)、(0,-6)，直线DEJ_DC交AC于E,动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A—D—C

的路线向终点C匀速运动，设APDE的面积为S(S8)，点P的运动时间为t秒.

(1)求直线DE的解析式；

(2)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

(3)当t为何值时，ZEPD+ZDCB=90°?并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值.

82.把两个全等的A4BC和AD所纸片重叠在一起，固定A4BC,将△£)石尸进行如下变换:

(1)如图1：将ADE厂沿线段C8向右平移(即点F在线段C8上移动)，连结AF、AD,DB，请直接写

出SMCF与S\ADB的大小关系•

(2)如图2,当点产平移到线段CB的中点时，若四边形4月3。为正方形，则A4BC应满足什么条件？请

给出证明.

(3)在(2)的条件下，将&D所沿。尸折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连结CG.

①请根据题意画出图形；

②求出sinNACG的值.

83.如图，AC是某市环城路的一段，AE,BF,CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交

叉路口分别是A,B,C.经测量花卉世界D位于点A的北偏东45。方向、点B的北偏东

30。方向上，AB=2km,NDAC=15。。

(1)求B、D之间的距离；

(2)求C、D之间的距离。

84.如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM,点E是线段AM上一点，/CDE的平分线

交AM延长线于点F.

(1)如图1,若点E为线段AM的中点，BM：CM=1：2,BE=而，求AB的长;

(2)如图2,若DA=DE,求证：BF+DF=&AF.

85.（1）证明推断：如图（1）,在正方形ABC。中，点、E,。分别在边8C,A8上，力QJ_AE于

点。，点G,尸分别在边CD,AB上，GF1AE.

①求证：DQ-AE；

②推